微積分課件及其答案-黎傳奇高數(shù)

第六節(jié)微分法在幾何上的空間曲線的切線與法平面曲面的切平面與法線小結(jié)思考題作業(yè)1PAGEPAGE2一、空間曲線的切線與法平空間曲線的方程為參數(shù)方設(shè)空間曲線的方

xyyzz

x(ty(tz(t

MzMOy(1)式中的三MzMOyMx0

y0z0),

t0M(

x,

y,

z)

t.xPAGEPAGE3

的方程xx0yy0zxx0yy0zzMMOy

切線的過x y zz0 當M

M,即

曲線在Mxx0

y

zx(t0

y(t0

z(t0zMzMMOyx

切線的方向向量稱為曲線的切向量過M點且與切線垂直的平面x(t0)(x

x0)

y(t0)(y

y0)

z(t0)(zz0)4PAGEPAGE5空間曲線的方程為兩個柱面的交x yx y zx(t0y(t0z(t0

z(x) x令x為參數(shù)

曲線的參數(shù)方程是

y(x)yz z(x)yz由前面得到的結(jié)果,在M(x0y0z0)處切線方程

x

y

z 1法平面方程

y(x0

z(x01(x

x0)

z(x0)(z

z0)PAGEPAGE6xteucosudux

y

z求曲線

y

2sin

cos

x(t0

y(t0

z(t0x(t)(xx(t)(xx00)y(t)(yy)z(t)(zz)0000

e3t當

時

x0,

1,zx

etcost,

y

2cos

t,

z

3e3t

y(0)

z(0)切線方

x01

y12

z3法平面方

x2(

3(z

2) x

2y

3z8PAGEPAGE8例在拋物

y6x2

z12x2的交線上求對x2

的點處的切向量

x取x為參數(shù)

交線的參數(shù)方程為

y6x2

y

12x,

z

12x2所以交線上與x

1對應(yīng)點的切向量為2T

空間曲線的方程為兩個曲面的交設(shè)空間曲線方程為F(G(x,

y,z)y,z)0,確定了隱函數(shù)y

y(x)z z z(x)

xy(此曲線方程仍可用方程組y

y(

表示F(

y(x),z(x))

z

z(x)G(

y(x),z(x))

0,兩邊分別對x求全導(dǎo)數(shù)PAGEPAGE9xFx

Fdyy

Fdzzxxx0yy0z

Gy

GzdxGxGxGx y(x0 z(x0GyGyGy利用2.結(jié)果

x y zF(x,F(x,y(x),z(x))G(x,y(x),z(x)),兩邊分別對x求全導(dǎo) y(x0 z(x0F(G(x,

y,z)GyGzyGyGz

0,

0,

0)處切線方程

x

y

z GxGxGxGy Gy

(x0

Gx0)Gz

(yGxG

Gy0)Gx

y (zy0

z0x2y2z2求曲線

x2

y2z2

在點0

切線方程和法平面方程直接用公式Fx,G(

y,z)y,z)

x2x2

y2z2y2z2Fx

2x,

Fy

2

Fz

2z;Gx

2

Gy

2

Gz

2z.切線方

x

y

z GyGzGyGzGxGxGy Gy

(x0

Gx0)Gz

(yGxG

Gy0)Gx

y (zy0

z0 求曲線求曲線x2y2z2x2y2z2在點 切線方程和法平面方程將所給方程的兩邊對x求2x

2y

2zdz 3 32x2y

2z切線方

x1y3 3

z0法平面方

1(

1)

(y333

3)

0(z

2)3 3x y63設(shè)曲線x

x(t),y

y(t),z

z(t)在任一x(t0)(xx(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)

證明此曲線必在以原點證任取曲線上一點x(t

y(t),z(t曲線過該點的法平面方程x(t)[

x(t)]

y(t

z(t)[Z

z(t)]因原點

在法平面上,故x(t)x(t)

y(t)y(t)

z(t)z(t)即x2(t

y2(t)

z2(t

于 x2(t)

y2(t)

z2(t)二、曲面的切平面與法

設(shè)曲面Σ

F(

y,z)

0M(x0

y0z0,函數(shù)F

y,z)z

F(x,y,z)時為零過點M的曲線Γ,設(shè)其參數(shù)

M(x0,y0,z0 xx(t),yy(t),zz(tx點Mt

t0,且x(t0

y(t0z(t0不全為零微分法在幾何上的應(yīng) 由于曲線Γ在曲面Σ上 所

nF(T

y,z)F[x(t

y(t),z(t)]

M(x0,y0,z0在恒等式兩端對t求全導(dǎo)數(shù) t

t0 0xFx(x0,y0,z0)x(t0)xFy(x0

y0,z0)y(t0)

Fz(x0

y0,z0)z(t0) n(Fx(x0

y0,z0),Fy(x0

y0,z0),Fz(x0

y0,z0曲線Γ在點MT(x(t0

y(t0

z(t0則※

垂直n

n與線,所有這些曲線在點M的切線都與同一向量n垂直,因此這些切線必共面平面,稱為曲面Σ在點M z切平面過點M點M的n稱為曲

F(x,y,z)M(x0,y0,z0面Σ在點M的n又是法線的方向向量 x曲面在M(x0,y0,z0)處的法向量n(Fx(x0

y0,z0),Fy(x0

y0,z0),Fz(x0

y0,z0所以曲面Σ上在點M

切平面方程法線方程 ,z0

,

,

(0,a,a

(3a2,0,3a2)切平面方

1(

0)

0(

a)1(z

a) xz

法線方

x01

ya0

z1例切平面方程法線方程平例切平面方程法線方程平解F曲面在M處的法向量:(FFF曲面方程FxyzFx3 3xz,nxy, ,z0yF3xy3zzy在曲面

2

3z2

2xy

2xz

4yzyOz平面上求一點的坐yOz平面

使此點處的切平面平行設(shè)所求點為

y,z),則切平面的法向n(

2(x

y

2(x

2y

2z),

2(x

2y

3z)∥(x

yz,x

2y

2z,x

2y

3z)由題意,

(x

yz,x

2y

2z,x

2y

3z)

xx由此得x

2y2z2y3zx

2y,

0.所求之點(4,2,0)及曲面方程形為z

f(

y)的情F

y,z)

f(

y)

顯式方Fx

fx

Fy

fy

Fz

n

fx

fy曲面在M處的切平面方程fx(x0

x0)

fy(x0

y0)(z

z0)fxx0

x0)

fy(x0

y0)

zz0曲面在M處的法線方程x

y zz0fx(x0,y0

fy(x0,y0 例證明曲面z一定點

zfzf(x,y),n(fx,fyy證設(shè)x0

y0z0是曲面上任一點

z0

xe0y則法向量0y n((1

0)ex0

ex0

1)切平面方程

0)e

(x

x0)

e

(y

y0)(z

z0)證明曲面z一定點

yzxeyzxe

0)e

(x

x0)

e

(y

y0)(z

z0)00 00

0)ex0x

e

y

0)ex0x

ex0

z0]

0)e

e

所以這些平面都過原點20032003年考研數(shù)學(一),3

x2

y2與平面2x

4yz平行的切平面的方程是

2x

4yz 例證明曲面

ax

f

(f(u)可微

b曲面方程F

yz M平曲面在M處的法向量:n(FxFy,FzM令Fxyzaxf(bycz則曲面在任一點處的法向量n(

a,

cf

cz)1取A

b,a

bn

b

cz)

cz)b所以,所有的切平面均與常向量

b,c,b)平行a3求過直線

2y

5且與曲xyzxyz020

2

2z

5相切之切平面方程8過直線L的平面束方程3x

2y

z5

(x

yz)(3

)

2)

1)z5其法向量為(3

,

2,

令F

y,z)

2

2

2z8Fx

4

Fy

4

Fz過直線L的平面束方程其法向量(3,

2,F(x,

y,z)2x2

2

2z58Fx

4x, Fy

4

Fz設(shè)曲面與切平面的切點

(x0

y0z0),3

21 4

4 (3

)x0(2)5

5020

2y22z0 0

因而

3,2過直線L過直線L3x2yz5(xyz)13,2故所求切平面方程3或3

2y2y

zz

3(x7(x

yz)yz)6x

y2z

10

5y6z微分法在幾何上的應(yīng)現(xiàn)采用向微分法在幾何上的應(yīng)x2y2z2例求曲線x2

y2

在點

切線方程和法平面方程分 曲線在點P0分

3,2)處切線向應(yīng)同時垂直于曲面x2

y2

8和x2

y2z2Fx,yz

x2

y2z2n1(2x,2

3,2)

令G

y,z)

x2

y2z2n2(2x,2y,

2z)(1,

n1n1

3,2)

s

3,2)(1,

求曲x2求曲x2y2z2 2 22在點0,切線方程和法平面方程

333全微分的幾何因為曲面在M處的切平面方程函數(shù)zfx,y)在點x0,y0)的全微切平上點的增 曲面zfxy)在點x0y0z0)處切平面上的點的豎坐標的增量zfxy)在點xy)的全微分,表fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0z若

表示曲面的法向量的方向角并假定法向量的方向是向上的,即使得它fx1f2fxy1f2fx1f2fxy1f2fxycos

cos

f 1f1f2fxy

其中

fx(x0

y0xfyx

fy(x0

y0法法向n(fx,fy,1)n求旋轉(zhuǎn)拋物面z

x2

y2

在任意P(xyz)處向上的法向量(即與z軸夾角為銳角解因為

(

y)

x2

y21,(fx

fy

(2x,2y,1為向下的法向(第三個分量為負故向上的法向量應(yīng)為:(2x,

23x2

2

z

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點

2)處的指向外側(cè)單位法向量為

1 3)5旋轉(zhuǎn)面方5

3x2

3z2

2

12令F

y,z)

3x2

2

12n(Fx,Fy,Fz

(6x,4y,6z)(0, 3, 21993考題,填空,3(0,4 1993考題,填空,3

n0

n5|n5

1 2, 3)三、小空間曲線的切線與法平求法.當空間曲線方程為一般式時,求切向量可曲面的切平面與

F(tx,F(tx,ty,tz)tkF(x,y,z)實數(shù)t

(k

N試證曲面F

y,z)

0上任一點的切平面相xFF 于一定點(設(shè)在