空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系

河北衡水第二中學(xué)2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（實(shí)驗(yàn)）作業(yè)組編：審核：學(xué)號(hào)：姓名：日期： 認(rèn)真細(xì)致分分必爭(zhēng)空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系限訓(xùn)1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點(diǎn)”的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件2．下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面②梯形可以確定一個(gè)平面③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是()①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④4.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，過頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1成60°角的條數(shù)為 ()A．1 B．2C．3 D．45、如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過 ()A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M6、已知空間中有三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．AB∥CDB．AB與CD異面C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交7.l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是 ()A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面8已知A、B表示不同的點(diǎn)，l表示直線，α、β表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A∈α，A∈l，l?α?l∩α＝A9、如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是()10、直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1A．30° B．45°C．60° D．90°11．以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()．①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．312．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)A．A1、M、O三點(diǎn)共線 B．M、O、A1、A四點(diǎn)共面C．A、O、C、M四點(diǎn)共面D．B、B1、O、M四點(diǎn)共面13．一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中 ()．A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°14.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()．A．45° B．60°C．90° D．120°15．空間四邊形ABCD中，各邊長均為1，若BD＝1，則AC的取值范圍是________．16．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．17．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與18．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱CD、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與19、如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1(1)求證：AC⊥平面BDD1；(2)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值．20、如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．21．在長方體ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D(1)過P點(diǎn)在空間作一直線l，使l∥直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由；(2)過P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系答案1答案A解析若兩條直線無公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行．若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn)．2答案C解析經(jīng)過不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，∴①不正確；兩條平行線可以確定一個(gè)平面，∴②正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)或三個(gè)平面，∴③正確；命題④中沒有說清三個(gè)點(diǎn)是否共線，∴④不正確．3答案D解析當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確．4答案B解析有2條：A1B和A1C15答案D解析∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．6答案D解析若三條線段共面，如果AB、BC、CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線，故選D.7解析當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1與l3也可能相交或異面，故A不正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C不正確；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D不正確．答案B8答案C9．C[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．]10．C將直三棱柱ABC—A1B1C1由已知易知：該幾何體為正方體．連接C1D，則C1D∥BA1.∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補(bǔ)角)，在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60°.11—14BDDB15答案(0，eq\r(3))解析如圖所示，△ABD與△BCD均為邊長為1的正三角形，當(dāng)△ABD與△CBD重合時(shí)，AC＝0，將△ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，到A，B，C，D四點(diǎn)再共面時(shí)，AC＝eq\r(3)，故AC的取值范圍是0<AC<eq\r(3).16無數(shù)條17答案eq\f(2,3)解析取A1B1的中點(diǎn)F，連接EF，AF.∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF∥B1C1，B1C1∥∴EF∥BC，∴∠AEF即為異面直線AE與BC所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，則AF＝eq\r(a2＋\f(1,2)a2)＝eq\f(\r(5),2)a，EF＝a.∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，∴AE＝eq\r(AF2＋EF2)＝eq\f(3,2)a.∴cos∠AEF＝eq\f(EF,AE)＝eq\f(a,\f(3,2)a)＝eq\f(2,3).18答案90°解析如圖，取CN的中點(diǎn)K，連接MK，則MK為△CDN的中位線，所以MK∥DN.所以∠A1MK為異面直線A1M與DN連接A1C1，AM則A1K＝eq\r(4\r(2)2＋32)＝eq\r(41)，MK＝eq\f(1,2)DN＝eq\f(1,2)eq\r(42＋22)＝eq\r(5)，A1M＝eq\r(42＋42＋22)＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.19．(1)證明由已知有D1D⊥平面ABCD得AC⊥D1D，又由ABCD是正方形，得AC⊥BD，∵D1D與BD相交，∴AC⊥平面BDD1.(4分)(2)解延長DC至G，使CG＝EB，連接BG、D1G∵CG綊EB，∴四邊形EBGC是平行四邊形．∴BG∥EC.∴∠D1BG就是異面直線BD1與CE所成的角．(6分)在△D1BG中，D1B＝2eq\r(3)，BG＝eq\r(5)，D1G＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).∴cos∠D1BG＝eq\f(D1B2＋BG2－D1G2,2D1B·BG)＝eq\f(12＋5－13,2×2\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),15).∴異面直線BD1與CE所成角的余弦值是eq\f(\r(15),15).(8分)(3)解連接A1B，∵△A1AE≌△CBE，∴A1E＝CE＝eq\r(5).又∵A1C＝2eq\r(3)，∴點(diǎn)E到A1C的距離d＝eq\r(5－3)＝eq\r(2).∴S△A1EC＝eq\f(1,2)A1C·d＝eq\r(6)，S△A1EB＝eq\f(1,2)EB·A1A＝1.(11分)又∵VB—A1EC＝VC—A1EB，設(shè)點(diǎn)B到平面A1EC的距離為h，∴eq\f(1,3)S△A1EC·h＝eq\f(1,3)S△A1EB·CB，∴eq\r(6)·h＝2，h＝eq\f(\r(6),3).∴點(diǎn)B到平面A1EC的距離為eq\f(\r(6),3).(14分)20解(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面積S＝2×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴四棱錐P—ABCD的體積VP—ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.[6分](2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．[8分]在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，由余弦定理得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)[10分]＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(