函數(shù)的基本性質(zhì)(總結(jié)版)

函數(shù)的基本性質(zhì)(總結(jié)版)函數(shù)的基本性質(zhì)(總結(jié)版)函數(shù)的基本性質(zhì)(總結(jié)版)資料僅供參考文件編號：2022年4月函數(shù)的基本性質(zhì)(總結(jié)版)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：函數(shù)的基本性質(zhì)基礎(chǔ)知識：1．奇偶性（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性.如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。注意：eq\o\ac(○,)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；eq\o\ac(○,)由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）。（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：eq\o\ac(○,)首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；eq\o\ac(○,)確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；eq\o\ac(○,)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。（3）簡單性質(zhì)：①圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱；②設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．單調(diào)性（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；注意：eq\o\ac(○,)函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；eq\o\ac(○,)必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。（3）設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射g:x→u=g(x)的象集：①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。（4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：eq\o\ac(○,)任取x1，x2∈D，且x1<x2；2、作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,)變形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,)定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；eq\o\ac(○,)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（5）簡單性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。3、函數(shù)的周期性

如果函數(shù)y＝f(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0的常數(shù)T，使得

f(x＋T)＝f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期.

性質(zhì)：①如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。

例題：1、討論函數(shù)的單調(diào)性。2、的遞減區(qū)間是；的單調(diào)遞增區(qū)間是。3、已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實數(shù)的取值范圍。4、函數(shù)的圖象()A.關(guān)于軸對稱B.關(guān)于軸對稱C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線對稱5、設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x≥0時，f（x）=log3（1+x），則f（－2）=____6、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x－2)，若f(x)在[﹣2，0]上遞增，則AA．f(1)>f;B．f(1)<fC．f(1)=fD．以上都不對.7、已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x，都有

f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)習(xí)題：題型一：判斷函數(shù)的奇偶性1、以下函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），(6)；其中奇函數(shù)是______，偶函數(shù)是______，非奇非偶函數(shù)是_________2、已知函數(shù)=,那么是()A.奇函數(shù)而非偶函數(shù)B.偶函數(shù)而非奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)題型二：奇偶性的應(yīng)用1、已知偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義域都是(-4,4),它們在上的圖像分別如圖（2-3），則關(guān)于的不等式的解集是_____________________。2、已知，其中為常數(shù)，若，則_______3、下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）（A）（B）（C）（D）4、已知函數(shù)在R是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則時，的解析式為_______________5、若是偶函數(shù),且當(dāng)時,,則的解集是（）A.B.C.D.題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性1、判斷并證明在上的單調(diào)性2、判斷在上的單調(diào)性題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2、下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.3、函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）（A）（B）（C）（D）4、下列函數(shù)中，在(0，2)上為增函數(shù)的是()(A)y=-3x+1(B)y=|x+2|(C)y=(D)y=x2-4x+35、函數(shù)y=的遞增區(qū)間是()(A)(-∞，-2)(B)[-5，-2](C)[-2，1]．(D)[1，+∞)．題型五：單調(diào)性的應(yīng)用1、函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞，4)上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是()(A)[3，+∞)(B)(-∞，-3](C){-3}(D)(-∞，5]2.已知函數(shù)f(x)=2x2-mx+3，當(dāng)x∈(-2，+∞)時是增函數(shù)，當(dāng)x∈(-∞，-2)時是減函數(shù)，則f(1)等于() (A)-3(B)13(C)7(D)由m而決定的常數(shù)．3、若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)a,b一定滿足的條件是（） A．B． C． D． 4、函數(shù)恒成立，則b的最小值為.5、已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。題型六：周期問題1、奇函數(shù)以3為最小正周期，，則為()2、設(shè)f(x)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(x)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，則下面正確的結(jié)論是()(A)f<f<f (B)f<f<f(C)f<f<f (D)f<f<f3、已知為偶函數(shù),且,當(dāng)時,,則（）A．2006B．4C．D． 4、設(shè)是上的奇