一階微分方程

關(guān)于一階微分方程第一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日一、可分離變量方程可分離變量的微分方程.解法為微分方程的解.分離變量法第二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例1

求解微分方程解分離變量?jī)啥朔e分典型例題第三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日通解為解第四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解由題設(shè)條件衰變規(guī)律第五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例4

有高為1米的半球形容器,水從它的底部小孔流出,小孔橫截面積為1平方厘米(如圖).開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律.解由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度第六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,比較(1)和(2)得:第七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為第八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解例5

某車間體積為12000立方米,開始時(shí)空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含的的新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問(wèn)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量第九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到第十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式可分離變量的方程1.定義第十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例6

求解微分方程微分方程的解為解第十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例7

求解微分方程解第十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日微分方程的解為第十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例8

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖第十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日得微分方程由夾角正切公式得第十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日分離變量積分得第十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日平方化簡(jiǎn)得拋物線第十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日可化為齊次的方程為齊次方程.（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程.2.解法1.定義第二十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日有唯一一組解.得通解代回未必有解,上述方法不能用.第二十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.可分離變量.第二十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解代入原方程得第二十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)榈诙捻?yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為第二十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性方程第二十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日齊次方程的通解為1.線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第二十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日2.線性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:第二十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換第二十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日積分得一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第三十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解例10第三十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例11如圖所示，平行與軸的動(dòng)直線被曲線與截下的線段PQ之長(zhǎng)數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程第三十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日所求曲線為第三十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.伯努利方程解法:

需經(jīng)過(guò)變量代換化為線性微分方程.第三十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日求出通解后，將代入即得代入上式第三十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解例12第三十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例13

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為第三十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解分離變量法得所求通解為第三十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解代入原式分離變量法得所求通解為另解第三十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日四、全微分方程1.定義:則若有全微分形式例如全微分方程或恰當(dāng)方程所以是全微分方程.第四十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日2.解法:應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).通解為用直接湊全微分的方法.全微分方程第四十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解是全微分方程,原方程的通解為例14第四十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解是全微分方程,將左端重新組合原方程的通解為例15第四十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日積分因子法定義:問(wèn)題:如何求方程的積分因子?第四十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日1.公式法:求解不容易特殊地:第四十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第四十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日2.觀察法:憑觀察湊微分得到常見的全微分表達(dá)式第四十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日可選用的積分因子有解例16則原方程為第四十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日原方程的通解為(公式法)可積組合法第四十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解將方程左端重新組合,有例17求微分方程原方程的通解為第五十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解將方程左端重新組合,有原方程的通解為可積組合法例18求微分方程第五十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解1整理得A常數(shù)變易法:B公式法:例19第五十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日解2整理得A用曲線積分法:B湊微分法:第五十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日C不定積分法:原方程的通解為第五十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日五、一階方程的近似解法定義1第五十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第五十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日定義2等斜線的方程為在這條等斜線上的各點(diǎn)處方向場(chǎng)畫法第五十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例20畫出方程所確定的方向解方程的等斜線為畫出五條等斜線,場(chǎng)示意圖.第五十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日定義3如圖，的三條積分曲線．經(jīng)過(guò)點(diǎn)根據(jù)方向場(chǎng)即可大致描繪出積分曲線．第五十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日歐拉-柯西近似法問(wèn)題:方法：近似積分法——?dú)W拉—柯西近似法．一階微分方程初值問(wèn)題的解存在及唯一的充分條件如下定理：第六十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日注意第六十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第六十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第六十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日如此一段接一段地作下去，得一條折線，稱歐拉折線．第六十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日注意初值問(wèn)題的近似解第六十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日例21解列表計(jì)算如下第六十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第六十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.六、小結(jié)齊次方程齊次方程的解法可化為齊次方程的方程第六十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日齊次方程線性非齊次方程伯努利方程第六十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日思考題2求解微分方程方程是否為齊次方程?思考題1第七十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日思考題1解答為所求解.第七十一頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日思考題2解答方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo):原方程是齊次方程.第七十二頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題1第七十三頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第七十四頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題1答案第七十五頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題2第七十六頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題2答案第七十七頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題3第七十八頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第七十九頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日第八十頁(yè)，共八十八頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)題3答案第八十一頁(yè)，共