23數(shù)學(xué)歸納法課件

我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全歸納猜：四毛！完全歸納？我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全1解:猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為驗(yàn)證:同理得啊,有完沒完啊?

正整數(shù)無數(shù)個(gè)!提出問題：對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？解:猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為驗(yàn)證:同理得啊,有完沒完啊?正整數(shù)2?本題有沒有行之有效,步驟有限的方法呢?下面我們看看下列的情景對(duì)我們解決本題證明有什么啟示？問題情景你見過多米諾骨牌游戲嗎?請(qǐng)欣賞一下那場景!?本題有沒有行之有效,步驟有限的方法呢?下面我們看看下列的情31、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請(qǐng)同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件數(shù)學(xué)歸納法.1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致42.3數(shù)學(xué)歸納法2.3數(shù)學(xué)歸納法5多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題的相似性。多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。通項(xiàng)公式為的證明方法（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即。多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題的相似性。多米諾6對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項(xiàng),并猜想其通項(xiàng)公式;同學(xué)們,你能驗(yàn)證你的猜想是不是正確的呢?證明:(1)當(dāng)猜想成立。(2)那么,當(dāng)解:猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為1nan=根據(jù)(1)和(2)，猜想對(duì)于任何都成立。見書P93對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項(xiàng),并猜想其7

1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即n＝n0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n的值，如n0＝1)；

2.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立.(歸納奠基）數(shù)學(xué)歸納法:關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

由(1)、(2)知，對(duì)于一切n≥n0的自然數(shù)n都成立！(歸納遞推）注意:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可.1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即n＝n0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n8證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)即當(dāng)n=k+1等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何都成立.湊出目標(biāo)用到假設(shè)例1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明見書P94例1證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)9練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N

）.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左＝1，右＝12＝1∴n=1時(shí)，等式成立

(2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時(shí)等式成立由(1)、(2)可知等式對(duì)任何nN*都成立遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2(10錯(cuò)誤！錯(cuò)誤原因：沒有第一步n=1等式成立的證明其實(shí)n=1等式并不成立，左邊=1，右邊=2例2.試判斷下列用數(shù)學(xué)歸納法證明過程是否正確?那么，當(dāng)n=k+1時(shí)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立可知等式對(duì)任何都成立.錯(cuò)誤！錯(cuò)誤原因：沒有第一步n=1等式成立的證明其實(shí)n=1等式11那么，當(dāng)n=k+1時(shí)－證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=1,右邊=21－1=1等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即－即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何都成立.錯(cuò)誤原因：由證明n=k+1等式成立時(shí)沒有用到n=k命題成立的歸納假設(shè)錯(cuò)誤！那么，當(dāng)n=k+1時(shí)－證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=112例3.已知數(shù)列計(jì)算,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想

………見書P94例2（略）例3.已知數(shù)列當(dāng)13經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量寫14感謝聆聽不足之處請(qǐng)大家批評(píng)指導(dǎo)PleaseCriticizeAndGuideTheShortcomings結(jié)束語講師：XXXXXXXX年XX月XX日

感謝聆聽結(jié)束語講師：XXXXXX15我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全歸納猜：四毛！完全歸納？我是一毛我是二毛我是三毛我是誰？我不是四毛！我是小明！不完全16解:猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為驗(yàn)證:同理得啊,有完沒完啊?

正整數(shù)無數(shù)個(gè)!提出問題：對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，（1）求出數(shù)列前4項(xiàng),你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？解:猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為驗(yàn)證:同理得啊,有完沒完啊?正整數(shù)17?本題有沒有行之有效,步驟有限的方法呢?下面我們看看下列的情景對(duì)我們解決本題證明有什么啟示？問題情景你見過多米諾骨牌游戲嗎?請(qǐng)欣賞一下那場景!?本題有沒有行之有效,步驟有限的方法呢?下面我們看看下列的情181、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K+1塊也倒下請(qǐng)同學(xué)們思考所有的骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個(gè)條件數(shù)學(xué)歸納法.1、第一塊骨牌倒下2、任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致192.3數(shù)學(xué)歸納法2.3數(shù)學(xué)歸納法20多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題的相似性。多米諾骨牌游戲原理（1）第一塊骨牌倒下。（2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。（1）當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。通項(xiàng)公式為的證明方法（2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即。多米諾骨牌游戲與我們前面所提到的要解決的問題的相似性。多米諾21對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項(xiàng),并猜想其通項(xiàng)公式;同學(xué)們,你能驗(yàn)證你的猜想是不是正確的呢?證明:(1)當(dāng)猜想成立。(2)那么,當(dāng)解:猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為1nan=根據(jù)(1)和(2)，猜想對(duì)于任何都成立。見書P93對(duì)于數(shù)列｛｝，已知，寫出數(shù)列前4項(xiàng),并猜想其22

1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即n＝n0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n的值，如n0＝1)；

2.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k＋1時(shí)命題也成立.(歸納奠基）數(shù)學(xué)歸納法:關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：

由(1)、(2)知，對(duì)于一切n≥n0的自然數(shù)n都成立！(歸納遞推）注意:運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題,以上兩步缺一不可.1.驗(yàn)證第一個(gè)命題成立(即n＝n0第一個(gè)命題對(duì)應(yīng)的n23證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即那么,當(dāng)n=k+1時(shí)即當(dāng)n=k+1等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何都成立.湊出目標(biāo)用到假設(shè)例1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明見書P94例1證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=12=1右邊=1等式成立(2)24練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2(n∈N

）.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左＝1，右＝12＝1∴n=1時(shí)，等式成立

(2)假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1時(shí)等式成立由(1)、(2)可知等式對(duì)任何nN*都成立遞推基礎(chǔ)遞推依據(jù)練習(xí):用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2(25錯(cuò)誤！錯(cuò)誤原因：沒有第一步n=1等式成立的證明其實(shí)n=1等式并不成立，左邊=1，右邊=2例2.試判斷下列用數(shù)學(xué)歸納法證明過程是否正確?那么，當(dāng)n=k+1時(shí)即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立可知等式對(duì)任何都成立.錯(cuò)誤！錯(cuò)誤原因：沒有第一步n=1等式成立的證明其實(shí)n=1等式26那么，當(dāng)n=k+1時(shí)－證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=1,右邊=21－1=1等式成立（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即－即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)和(2),可知等式對(duì)任何都成立.錯(cuò)誤原因：由證明n=k+1等式成立時(shí)沒有用到n=k命題成立的歸納假設(shè)錯(cuò)誤！那么，當(dāng)n=k+1時(shí)－證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=20=127例3.已知數(shù)列計(jì)算,根據(jù)計(jì)算的結(jié)果,猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想

………見書P94例2（略）例3.已知數(shù)列當(dāng)28經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道