專轉(zhuǎn)本數(shù)學(xué)微分方程81課件

第一節(jié)微分方程的概念一.實(shí)例例1.曲線過(0,1),且曲線上每個(gè)點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo),求此曲線方程.設(shè)曲線方程為y=y(x),則例2.質(zhì)量為m的物體自由落下,t=0時(shí),初始位移和初速度分別為求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.則設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),兩次積分分別得出:條件代入:第一節(jié)微分方程的概念一.實(shí)例例1.曲線過(0,1),且1二.概念1.微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.(前例)未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本章內(nèi)容2.階:未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例1是一階微分方程,例2是二階微分方程.n階方程一般形式:必須出現(xiàn)3.解:如果將函數(shù)y=y(x)代入方程后恒等,則稱其為方程的解.如果解中含有任意常數(shù),且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同通解不含任意常數(shù)的解特解必須獨(dú)立n階方程通解一般形式:二.概念1.微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未24.定解條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要和階數(shù)相同,才能確定唯一特解;定解條件中自變量取相同值時(shí),叫做初始條件.5.幾何意義:通解積分曲線族特解積分曲線例:驗(yàn)證是的通解對(duì)用隱函數(shù)求導(dǎo)法得:故是方程的解,且含有一個(gè)任意常數(shù).通解4.定解條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要3第二節(jié)一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類型.一階微分方程一般形式:我們研究其基本形式:如果可化成:(1)則(1)稱為可分離變量的方程.解法:1.分離變量:2.兩邊積分:3.得出通解:只寫一個(gè)任意常數(shù)一、可分離變量的方程第二節(jié)一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類4例:任意常數(shù),記為C絕對(duì)值號(hào)可省略定解條件代入:C=2故特解為:例:任意常數(shù),記為C絕對(duì)值號(hào)可省略定解條件代入:C=2故特解5二.齊次方程的解法如果方程(1)可化成:齊次方程解法:令化成可分離變量方程.例:二.齊次方程的解法如果方程(1)可化成:齊次方程解法:令6三.一階線性方程微分方程一般形式:(2)(3)一階線性齊次方程一階線性非齊次方程自由項(xiàng)方程(3)是可分離變量方程,其通解為:方程(2)的通解常數(shù)變易法設(shè)(2)的通解:代入方程(2):三.一階線性方程微分方程一般形式:(2)(3)一階線性齊次方7則方程(2)的通解:(4)注:1.一階線性非齊次方程的通解可用常數(shù)變易法或公式(4)計(jì)算皆可;.2.公式(4)中不定積分只求一個(gè)原函數(shù)即可;3.非齊次方程的特解齊次方程的通解非齊次方程解的結(jié)構(gòu)例:則方程(2)的通解:(4)注:1.一階線性非齊次方程的通解8例:求方程滿足初始條件的特解.將y視為自變量,可以變成關(guān)于x的線性方程:由得:故所求特解為:例:求方程9四.伯努利方程一般形式為:當(dāng)n=0或1時(shí),這是線性方程.當(dāng)時(shí),可以化成線性方程:兩端同除以令則關(guān)于z的線性方程求出通解后再還原回y的方程稱為伯努利方程四.伯努利方程一般形式為:當(dāng)n=0或1時(shí),這是線性方程10例:兩端同除以令代入通解為例:兩端同除以令代入通解為11五.全微分方程對(duì)于微分方程則通解為全微分方程注:(1).當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且時(shí),上述方程為全微分方程.(2).(3).對(duì)于非全微分方程,有時(shí)可以找到函數(shù),使得全微分方程積分因子(4).觀察法往往很實(shí)用.五.全微分方程對(duì)于微分方程則通解為全微分方程注:(1).當(dāng)P12例:因?yàn)槿⒎址匠倘〗夥ㄒ?解法二:例:因?yàn)槿⒎址匠倘〗夥ㄒ?解法二:13例:非全微分方程由于則是積分因子,同乘以積分因子并積分得通解:易知也是積分因子例:非全微分方程變形則是積分因子,例:非全微分方程由于則是積分因子,同乘以積分因14精品課件！精品課件！15精品課件！精品課件！16注意:其他類型的微分方程往往可以化成上述類型例:視x為y函數(shù),可化成線性方程通解為:注意:其他類型的微分方程往往可以化成上述類型例:視x為17第一節(jié)微分方程的概念一.實(shí)例例1.曲線過(0,1),且曲線上每個(gè)點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo),求此曲線方程.設(shè)曲線方程為y=y(x),則例2.質(zhì)量為m的物體自由落下,t=0時(shí),初始位移和初速度分別為求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.則設(shè)運(yùn)動(dòng)方程為S=S(t),兩次積分分別得出:條件代入:第一節(jié)微分方程的概念一.實(shí)例例1.曲線過(0,1),且18二.概念1.微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.(前例)未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本章內(nèi)容2.階:未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例1是一階微分方程,例2是二階微分方程.n階方程一般形式:必須出現(xiàn)3.解:如果將函數(shù)y=y(x)代入方程后恒等,則稱其為方程的解.如果解中含有任意常數(shù),且個(gè)數(shù)與階數(shù)相同通解不含任意常數(shù)的解特解必須獨(dú)立n階方程通解一般形式:二.概念1.微分方程:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.未194.定解條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要和階數(shù)相同,才能確定唯一特解;定解條件中自變量取相同值時(shí),叫做初始條件.5.幾何意義:通解積分曲線族特解積分曲線例:驗(yàn)證是的通解對(duì)用隱函數(shù)求導(dǎo)法得:故是方程的解,且含有一個(gè)任意常數(shù).通解4.定解條件:確定通解中任意常數(shù)值的條件.定解條件的個(gè)數(shù)要20第二節(jié)一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類型.一階微分方程一般形式:我們研究其基本形式:如果可化成:(1)則(1)稱為可分離變量的方程.解法:1.分離變量:2.兩邊積分:3.得出通解:只寫一個(gè)任意常數(shù)一、可分離變量的方程第二節(jié)一階微分方程本節(jié)介紹一階微分方程的基本類型和常見類21例:任意常數(shù),記為C絕對(duì)值號(hào)可省略定解條件代入:C=2故特解為:例:任意常數(shù),記為C絕對(duì)值號(hào)可省略定解條件代入:C=2故特解22二.齊次方程的解法如果方程(1)可化成:齊次方程解法:令化成可分離變量方程.例:二.齊次方程的解法如果方程(1)可化成:齊次方程解法:令23三.一階線性方程微分方程一般形式:(2)(3)一階線性齊次方程一階線性非齊次方程自由項(xiàng)方程(3)是可分離變量方程,其通解為:方程(2)的通解常數(shù)變易法設(shè)(2)的通解:代入方程(2):三.一階線性方程微分方程一般形式:(2)(3)一階線性齊次方24則方程(2)的通解:(4)注:1.一階線性非齊次方程的通解可用常數(shù)變易法或公式(4)計(jì)算皆可;.2.公式(4)中不定積分只求一個(gè)原函數(shù)即可;3.非齊次方程的特解齊次方程的通解非齊次方程解的結(jié)構(gòu)例:則方程(2)的通解:(4)注:1.一階線性非齊次方程的通解25例:求方程滿足初始條件的特解.將y視為自變量,可以變成關(guān)于x的線性方程:由得:故所求特解為:例:求方程26四.伯努利方程一般形式為:當(dāng)n=0或1時(shí),這是線性方程.當(dāng)時(shí),可以化成線性方程:兩端同除以令則關(guān)于z的線性方程求出通解后再還原回y的方程稱為伯努利方程四.伯努利方程一般形式為:當(dāng)n=0或1時(shí),這是線性方程27例:兩端同除以令代入通解為例:兩端同除以令代入通解為28五.全微分方程對(duì)于微分方程則通解為全微分方程注:(1).當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在單連域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且時(shí),上述方程為全微分方程.(2).(3).對(duì)于非全微分方程,有時(shí)可以找到函數(shù),使得全微分方程積分因子(4).觀察法往往很實(shí)用.五.全微分方程對(duì)于微分方程則通解為全微分方程注:(1).當(dāng)P29例:因?yàn)槿⒎址匠倘〗夥ㄒ?解法二:例:因?yàn)槿⒎址匠倘〗夥ㄒ?解法二:30例:非全微分方程由于則是積分因子,同乘以積分因