《拋物線》復(fù)習(xí)課件

1.2022/12/101.2022/12/101.(文)了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程及

簡單幾何性質(zhì)．

(理)理解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，

知道它的簡單幾何性質(zhì)．

2．理解數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡單應(yīng)用．2.2022/12/101.(文)了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程及3.2022/12/103.2022/12/101．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離

的點的軌

跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的

，直線l叫做拋物

線的

，定點F不在定直線l上．相等焦點準(zhǔn)線4.2022/12/101．拋物線的定義相等焦點準(zhǔn)線4.2022/12/10[思考探究]當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線．5.2022/12/10[思考探究]提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過點F2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)圖形6.2022/12/102．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)y2＝2px(p>0)y2標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)對稱軸焦點坐標(biāo)F(，0)F(－

，0)準(zhǔn)線方程x＝2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)x軸x軸x＝－7.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性對稱標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)焦半徑公式|PF|＝|PF|＝范圍x0＋－x0＋x≤0x≥08.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)焦標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)頂點坐標(biāo)離心率e原點(0,0)e＝19.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)頂標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)圖形10.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)圖形10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)對稱軸焦點坐標(biāo)F(0，－)F(0，)準(zhǔn)線方程y＝－y軸y軸y＝11.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性對稱標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)焦半徑公式|PF|＝|PF|＝范圍y0＋－y0＋y≥

0y

≤

012.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)焦標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)頂點坐標(biāo)離心率e原點(0,0)e＝113.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)頂1．已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在x軸上，其上點

P(－3，m)到焦點F的距離為5，則拋物線方程為(

)A．y2＝8x

B．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p<0)，由拋物線定義知，|－＋3|＝5，解得p＝－4，∴拋物線方程為y2＝－8x.答案：B14.2022/12/101．已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在x軸上，其上點解析2．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(

)A.B．－

C．8D．－8

解析：方程y＝ax2化為x2＝y(tǒng)，∴準(zhǔn)線方程為－＝2，∴a＝－.答案：B15.2022/12/102．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為3．(2009·湖南高考)拋物線y2＝－8x的焦點坐標(biāo)是(

)A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)解析：由拋物線方程y2＝－8x得2p＝8，∴

＝2，從而拋物線的焦點為(－2,0)．答案：B16.2022/12/103．(2009·湖南高考)拋物線y2＝－8x的焦點坐標(biāo)是4．(2010·泰州模擬)若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x

的焦點，則實數(shù)a＝________.解析：由題意知拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)在直線ax－y＋1＝0上，∴a＋1＝0，a＝－1.答案：－117.2022/12/104．(2010·泰州模擬)若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y5．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l，交拋物線于A(x1，y1)，

B(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝6，則|AB|等于________．解析：|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝6＋2＝8.答案：818.2022/12/105．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l，交拋物線于A(x1，19.2022/12/1019.2022/12/101.拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的

距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、

焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點

到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化．2．焦半徑|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它們在解

題中有重要作用，注意靈活運用．20.2022/12/101.拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的2．(1)在拋物線y2＝4x上找一點M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(xiàn)(1,0)，求M點的坐標(biāo)及此時的最小值．(2)已知拋物線y2＝2x和定點A(3，)，拋物線上有動點P，P到定點A的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d2，求d1＋d2的最小值及此時P點的坐標(biāo)．21.2022/12/10(1)在拋物線y2＝4x上找[思路點撥]22.2022/12/10[思路點撥]22.2022/12/10[課堂筆記]

(1)如圖(1)，點A在拋物線y2＝4x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離．過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)點M在M1的位置時等號成立．此時M1點的坐標(biāo)為(1,2)．23.2022/12/10[課堂筆記](1)如圖(1)，點A在拋物線y2＝4x的內(nèi)部(2)如圖(2)，點A(3，)在拋物線y2＝2x的外部，由拋物線的定義可知，d1＋d2＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝(其中F為拋物線的焦點)．此時P點的坐標(biāo)為(2,2)．24.2022/12/10(2)如圖(2)，點A(3，)在拋物線y2＝2x的外由例1，(1)條件中，求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值．

解：如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離.25.2022/12/10由例1，(1)條件中，求點P到點A(－1,1)的距離與點P到于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(－1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。@然，連AF交曲線于P點時有最小值為，即.26.2022/12/10于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A26.2021.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法．利用題中已知

條件確定拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離p的值．2．對于和拋物線有兩個交點的直線問題，“點差法”是常

用方法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px上兩

點，則直線AB的斜率kAB與y1＋y2可得如下等式：由＝

2px1①；＝2px2②.②－①得＝2p(x2－x1)，∴＝，∴kAB＝.27.2022/12/101.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法．利用題中已知2[特別警示]

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離，焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的.28.2022/12/10[特別警示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的

(1)(2010·合肥二檢)直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(

)A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x29.2022/12/10(1)(2010·合肥二檢)直(2)(2008·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，A、B是C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則△ABF的面積等于________．30.2022/12/10(2)(2008·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦[思路點撥]31.2022/12/10[思路點撥]31.2022/12/10[課堂筆記]

(1)如圖，分別過點A、B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M、N，由拋物線的定義知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四邊形AMNB為直角梯形，故AB中點到準(zhǔn)線的距離即為梯形的中位線的長度4，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以4＝2＋?p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x.32.2022/12/10[課堂筆記](1)如圖，分別過點A、32.2022/12/(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)?＝1.∴線段AB所在直線方程為y－2＝x－2，即y＝x.?x2－4x＝0?x＝0，x＝4.∴A(0,0)，B(4,4)．33.2022/12/10(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則33.2022∴|AB|＝＝4.F(1,0)，F(xiàn)到線段AB的距離d＝.∴S△ABF＝|AB|d＝2.[答案]

(1)B

(2)234.2022/12/10∴|AB|＝＝4.1.直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線Ax＋By＋C＝0，將

直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程

my2＋ny＋q＝0，(1)若m≠0，當(dāng)Δ>0時，直線與拋物線有兩個公共點；當(dāng)Δ＝0時，直線與拋物線只有一個公共點；當(dāng)Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點．35.2022/12/101.直線與拋物線的位置關(guān)系35.2022/12/10(2)若m＝0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與

拋物線的對稱軸平行．2．焦點弦問題已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，F(xiàn)為拋物

線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ為直線AB的傾斜角)；(3)S△AOB＝；(4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．36.2022/12/10(2)若m＝0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與過拋物線y2＝2px的焦點F的直線和拋物線相交于A，B兩點，如圖所示．(1)若A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，求證：y1y2＝－p2；(2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點C.求證：BC∥x軸．37.2022/12/10過拋物線y2＝2px的焦點F的3[思路點撥]38.2022/12/10[思路點撥]38.2022/12/10[課堂筆記]

(1)法一：由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)為F.設(shè)過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)．①當(dāng)斜率存在時，過焦點的直線方程可設(shè)為y＝k，由消去x，得ky2－2py－kp2＝0. (*)39.2022/12/10[課堂筆記](1)法一：由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)為F當(dāng)k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2＝－p2；②當(dāng)斜率不存在時，得兩交點坐標(biāo)為∴y1y2＝－p2.綜合兩種情況，總有y1y2＝－p2.法二：由拋物線方程可得焦點F，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，40.2022/12/10當(dāng)k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0，40.2022/1則A、B坐標(biāo)滿足消去x，可得y2＝2p，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.(2)直線AC的方程為y＝x，∴點C坐標(biāo)為，yc＝.41.2022/12/10則A、B坐標(biāo)滿足41.2022/12/10∵點A(x1，y1)在拋物線上，∴＝2px1.又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yc＝＝y(tǒng)2，∴BC∥x軸．42.2022/12/10∵點A(x1，y1)在拋物線上，42.2022/12/10拋物線在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查學(xué)生對拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握情況，而以解答題的形式出現(xiàn)時，常常將解析幾何中的方法、技巧與思想集于一身，與其他圓錐曲線或其他章節(jié)的內(nèi)容相結(jié)合，考查學(xué)生分析解決綜合問題的能力．43.2022/12/10拋物線在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查[考題印證](2009·浙江高考)(14分)已知橢圓C1：＝1(a＞b＞0)的右頂點為A(1,0)，過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.(1)求橢圓C1的方程；

(2)設(shè)點P在拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N.當(dāng)線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時，求h的最小值．44.2022/12/10[考題印證]44.2022/12/【解】

(1)由題意，得從而因此，所求的橢圓方程為＋x2＝1.

┄┄(4分)(2)如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，則拋物線C2在點P處的切線斜率為y′|x＝t＝2t，直線MN的方程為：y＝2tx－t2＋h.┄┄(6分)45.2022/12/10【解】(1)由題意，得45.2022/12將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0.即4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0.①┄┄(8分)因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]＞0.②設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x3，46.2022/12/10將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2則x3＝.設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x4，則x4＝.由題意，得x3＝x4，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.當(dāng)h≤－3時，h＋2＜0,4－h(huán)2＜0，47.2022/12/10則x3＝則不等式②不成立，所以h≥1.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)當(dāng)h＝1時，代入方程③得t＝－1，將h＝1，t＝－1代入不等式②，檢驗成立．所以，h的最小值為1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(14分)48.2022/12/10則不等式②不成立，所以h≥1.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)48[自主體驗](2010·宣武月考)已知F1、F2分別是橢圓＝1的左、右焦點，曲線C是以坐標(biāo)原點為頂點，以F2為焦點的拋物線，自點F1引直線交曲線C于P、Q兩個不同的交點，點P關(guān)于x軸的對稱點記為M.設(shè).(1)求曲線C的方程；

(2)證明：；

(3)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范圍．49.2022/12/10[自主體驗]49.2022/12/10解：(1)橢圓＝1的右焦點F2的坐標(biāo)為(1,0)，∴可設(shè)曲線C的方程為y2＝2px(p>0)，∴p＝2，曲線C的方程為y2＝4x.(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，①y1＝λy2，②∴＝λ2.∵＝4x1，＝4x2，∴x1＝λ2x2. ③50.2022/12/10解：(1)橢圓＝1的右焦點F③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ，∴λx2(λ－1)＝λ－1.∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，∴＝(x1－1，－y1)．由②知，－y1＝－λy2，∴＝－λ＝－λ(x2－1，y2)＝－λ，故＝－λ.51.2022/12/10③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ，51.2022/12/1(3)由(2)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，∴＝16x1x2＝16.∵y1y2>0，∴y1y2＝4，則|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)252.2022/12/10(3)由(2)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1＝－2(x1x2＋y1y2)＝－16.∵λ∈[2,3]，∴λ＋

，∴|PQ|2∈，得|PQ|∈.53.2022/12/10＝－54.2022/12/1054.2022/12/101．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓＝1的右焦點

重合，則p的值為(

)A．－2

B．2C．－4D．4解析：橢圓的右焦點是(2,0)，∴

＝2，p＝4.答案：D55.2022/12/101．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓2．若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小2，

則P的軌跡方程為(

)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y解析：由題意知，點P到點F(0,2)的距離與它到直線y＋2＝0的距離相等，由拋物線定義知點P的軌跡是拋物線，其方程為x2＝8y.答案：C56.2022/12/102．若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y＋4＝0的距離小3．若雙曲線＝1的左焦點在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)

線上，則p的值為(

)A．2B．3C．4D．457.2022/12/103．若雙曲線＝1的左解析：雙曲線的左焦點(－，0)，拋物線的準(zhǔn)線x＝－，∴－?p2＝16，由題意知p＞0，∴p＝4.答案：C58.2022/12/10解析：雙曲線的左焦點(－，4．如果直線l過定點M(1,2)，且與拋物線y＝2x2有且僅有

一個公共點，那么直線l的方程為____________．解析：點M在拋物線上，由題意知直線l與拋物線相切于點M(1,2)，∴y′|x＝1＝4，∴直線l的方程為y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.當(dāng)l與拋物線相交時，l的方程為x＝1.答案：4x－y－2＝0，x＝159.2022/12/104．如果直線l過定點M(1,2)，且與拋物線y＝2x2有且僅5．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為

K，點A在C上且|AK|＝|AF|，則△AFK的面積為

________．60.2022/12/105．已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為解析：∵拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，準(zhǔn)線為x＝－2，∴K(－2,0)．設(shè)A(x0，y0)，過A點向準(zhǔn)線作垂線AB，如圖，則B(－2，y0)，∵|AK|＝|AF|＝|AB|＝(x0＋2)，61.2022/12/10解析：∵拋物線y2＝8x的焦點為61.2022/12/10由|BK|2＝|AK|2－|AB|2得＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4，∴△AFK的面積為|KF||y0|＝8.答案：862.2022/12/10由|BK|2＝|AK|2－|AB|2得＝(x0＋6．已知直線y＝x＋m和拋物線y＝2x2.(1)當(dāng)實數(shù)m為何值時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個交點？

一個交點？沒有交點？

(2)當(dāng)m為何值時，直線被拋物線所截得的線段長度為

兩個單位？63.2022/12/106．已知直線y＝x＋m和拋物線y＝2x2.63.2022/1解：(1)聯(lián)立消去y整理得2x2－x－m＝0，又Δ＝1＋8m，當(dāng)Δ>0即m>－時，這兩圖象有兩個交點；當(dāng)Δ＝0即m＝－時，這兩圖象有一個交點；當(dāng)Δ<0即m<－時，這兩圖象沒有交點．(2)當(dāng)m>－時，由方程組解出交點坐標(biāo)．64.2022/12/10解：(1)聯(lián)立消由兩點間的距離公式，得∴m＝時滿足題目要求．

65.2022/12/1065.2022/12/1066.2022/12/101.2022/12/101.(文)了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程及

簡單幾何性質(zhì)．

(理)理解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，

知道它的簡單幾何性質(zhì)．

2．理解數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡單應(yīng)用．67.2022/12/101.(文)了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程及68.2022/12/103.2022/12/101．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離

的點的軌

跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的

，直線l叫做拋物

線的

，定點F不在定直線l上．相等焦點準(zhǔn)線69.2022/12/101．拋物線的定義相等焦點準(zhǔn)線4.2022/12/10[思考探究]當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線．70.2022/12/10[思考探究]提示：當(dāng)定點F在定直線l上時，動點的軌跡是過點F2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)圖形71.2022/12/102．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)y2＝2px(p>0)y2標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)對稱軸焦點坐標(biāo)F(，0)F(－

，0)準(zhǔn)線方程x＝2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)x軸x軸x＝－72.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性對稱標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)焦半徑公式|PF|＝|PF|＝范圍x0＋－x0＋x≤0x≥073.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)焦標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)頂點坐標(biāo)離心率e原點(0,0)e＝174.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)性質(zhì)頂標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)圖形75.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)圖形10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)對稱軸焦點坐標(biāo)F(0，－)F(0，)準(zhǔn)線方程y＝－y軸y軸y＝76.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性對稱標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)焦半徑公式|PF|＝|PF|＝范圍y0＋－y0＋y≥

0y

≤

077.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)焦標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)頂點坐標(biāo)離心率e原點(0,0)e＝178.2022/12/10標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝－2py(p>0)y2＝2py(p>0)性質(zhì)頂1．已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在x軸上，其上點

P(－3，m)到焦點F的距離為5，則拋物線方程為(

)A．y2＝8x

B．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p<0)，由拋物線定義知，|－＋3|＝5，解得p＝－4，∴拋物線方程為y2＝－8x.答案：B79.2022/12/101．已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點在x軸上，其上點解析2．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為(

)A.B．－

C．8D．－8

解析：方程y＝ax2化為x2＝y(tǒng)，∴準(zhǔn)線方程為－＝2，∴a＝－.答案：B80.2022/12/102．拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程是y＝2，則a的值為3．(2009·湖南高考)拋物線y2＝－8x的焦點坐標(biāo)是(

)A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)解析：由拋物線方程y2＝－8x得2p＝8，∴

＝2，從而拋物線的焦點為(－2,0)．答案：B81.2022/12/103．(2009·湖南高考)拋物線y2＝－8x的焦點坐標(biāo)是4．(2010·泰州模擬)若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x

的焦點，則實數(shù)a＝________.解析：由題意知拋物線y2＝4x的焦點F(1,0)在直線ax－y＋1＝0上，∴a＋1＝0，a＝－1.答案：－182.2022/12/104．(2010·泰州模擬)若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y5．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l，交拋物線于A(x1，y1)，

B(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝6，則|AB|等于________．解析：|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝6＋2＝8.答案：883.2022/12/105．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l，交拋物線于A(x1，84.2022/12/1019.2022/12/101.拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的

距離等于到準(zhǔn)線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、

焦點弦問題，可優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點

到準(zhǔn)線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化．2．焦半徑|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它們在解

題中有重要作用，注意靈活運用．85.2022/12/101.拋物線的離心率e＝1，體現(xiàn)了拋物線上的點到焦點的2．(1)在拋物線y2＝4x上找一點M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)，F(xiàn)(1,0)，求M點的坐標(biāo)及此時的最小值．(2)已知拋物線y2＝2x和定點A(3，)，拋物線上有動點P，P到定點A的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d2，求d1＋d2的最小值及此時P點的坐標(biāo)．86.2022/12/10(1)在拋物線y2＝4x上找[思路點撥]87.2022/12/10[思路點撥]22.2022/12/10[課堂筆記]

(1)如圖(1)，點A在拋物線y2＝4x的內(nèi)部，由拋物線的定義可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離．過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線交拋物線于M1，垂足為B，則|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，當(dāng)且僅當(dāng)點M在M1的位置時等號成立．此時M1點的坐標(biāo)為(1,2)．88.2022/12/10[課堂筆記](1)如圖(1)，點A在拋物線y2＝4x的內(nèi)部(2)如圖(2)，點A(3，)在拋物線y2＝2x的外部，由拋物線的定義可知，d1＋d2＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝(其中F為拋物線的焦點)．此時P點的坐標(biāo)為(2,2)．89.2022/12/10(2)如圖(2)，點A(3，)在拋物線y2＝2x的外由例1，(1)條件中，求點P到點A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值．

解：如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知：點P到直線x＝－1的距離等于點P到焦點F的距離.90.2022/12/10由例1，(1)條件中，求點P到點A(－1,1)的距離與點P到于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(－1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。@然，連AF交曲線于P點時有最小值為，即.91.2022/12/10于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A26.2021.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法．利用題中已知

條件確定拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離p的值．2．對于和拋物線有兩個交點的直線問題，“點差法”是常

用方法．如若A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線y2＝2px上兩

點，則直線AB的斜率kAB與y1＋y2可得如下等式：由＝

2px1①；＝2px2②.②－①得＝2p(x2－x1)，∴＝，∴kAB＝.92.2022/12/101.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法．利用題中已知2[特別警示]

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離，焦點的非零坐標(biāo)是一次項系數(shù)的.93.2022/12/10[特別警示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的

(1)(2010·合肥二檢)直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(

)A．y2＝12xB．y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x94.2022/12/10(1)(2010·合肥二檢)直(2)(2008·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，A、B是C上的兩個點，線段AB的中點為M(2,2)，則△ABF的面積等于________．95.2022/12/10(2)(2008·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦[思路點撥]96.2022/12/10[思路點撥]31.2022/12/10[課堂筆記]

(1)如圖，分別過點A、B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M、N，由拋物線的定義知，|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝8，又四邊形AMNB為直角梯形，故AB中點到準(zhǔn)線的距離即為梯形的中位線的長度4，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以4＝2＋?p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x.97.2022/12/10[課堂筆記](1)如圖，分別過點A、32.2022/12/(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)?＝1.∴線段AB所在直線方程為y－2＝x－2，即y＝x.?x2－4x＝0?x＝0，x＝4.∴A(0,0)，B(4,4)．98.2022/12/10(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則33.2022∴|AB|＝＝4.F(1,0)，F(xiàn)到線段AB的距離d＝.∴S△ABF＝|AB|d＝2.[答案]

(1)B

(2)299.2022/12/10∴|AB|＝＝4.1.直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，直線Ax＋By＋C＝0，將

直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的方程

my2＋ny＋q＝0，(1)若m≠0，當(dāng)Δ>0時，直線與拋物線有兩個公共點；當(dāng)Δ＝0時，直線與拋物線只有一個公共點；當(dāng)Δ<0時，直線與拋物線沒有公共點．100.2022/12/101.直線與拋物線的位置關(guān)系35.2022/12/10(2)若m＝0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與

拋物線的對稱軸平行．2．焦點弦問題已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，F(xiàn)為拋物

線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)y1·y2＝－p2，x1·x2＝；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ為直線AB的傾斜角)；(3)S△AOB＝；(4)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．101.2022/12/10(2)若m＝0，直線與拋物線只有一個公共點，此時直線與過拋物線y2＝2px的焦點F的直線和拋物線相交于A，B兩點，如圖所示．(1)若A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，求證：y1y2＝－p2；(2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點C.求證：BC∥x軸．102.2022/12/10過拋物線y2＝2px的焦點F的3[思路點撥]103.2022/12/10[思路點撥]38.2022/12/10[課堂筆記]

(1)法一：由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)為F.設(shè)過焦點F的直線交拋物線于A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)．①當(dāng)斜率存在時，過焦點的直線方程可設(shè)為y＝k，由消去x，得ky2－2py－kp2＝0. (*)104.2022/12/10[課堂筆記](1)法一：由拋物線的方程可得焦點的坐標(biāo)為F當(dāng)k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2＝－p2；②當(dāng)斜率不存在時，得兩交點坐標(biāo)為∴y1y2＝－p2.綜合兩種情況，總有y1y2＝－p2.法二：由拋物線方程可得焦點F，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，105.2022/12/10當(dāng)k＝0時，方程(*)只有一解，∴k≠0，40.2022/1則A、B坐標(biāo)滿足消去x，可得y2＝2p，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.(2)直線AC的方程為y＝x，∴點C坐標(biāo)為，yc＝.106.2022/12/10則A、B坐標(biāo)滿足41.2022/12/10∵點A(x1，y1)在拋物線上，∴＝2px1.又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yc＝＝y(tǒng)2，∴BC∥x軸．107.2022/12/10∵點A(x1，y1)在拋物線上，42.2022/12/10拋物線在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查學(xué)生對拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握情況，而以解答題的形式出現(xiàn)時，常常將解析幾何中的方法、技巧與思想集于一身，與其他圓錐曲線或其他章節(jié)的內(nèi)容相結(jié)合，考查學(xué)生分析解決綜合問題的能力．108.2022/12/10拋物線在高考中一般以選擇題或填空題的形式考查[考題印證](2009·浙江高考)(14分)已知橢圓C1：＝1(a＞b＞0)的右頂點為A(1,0)，過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.(1)求橢圓C1的方程；

(2)設(shè)點P在拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于點M，N.當(dāng)線段AP的中點與MN的中點的橫坐標(biāo)相等時，求h的最小值．109.2022/12/10[考題印證]44.2022/12/【解】

(1)由題意，得從而因此，所求的橢圓方程為＋x2＝1.

┄┄(4分)(2)如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，則拋物線C2在點P處的切線斜率為y′|x＝t＝2t，直線MN的方程為：y＝2tx－t2＋h.┄┄(6分)110.2022/12/10【解】(1)由題意，得45.2022/12將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0.即4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0.①┄┄(8分)因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]＞0.②設(shè)線段MN的中點的橫坐標(biāo)是x3，111.2022/12/10將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2則x3＝.設(shè)線段PA的中點的橫坐標(biāo)是x4，則x4＝.由題意，得x3＝x4，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(10分)即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.當(dāng)h≤－3時，h＋2＜0,4－h(huán)2＜0，112.2022/12/10則x3＝則不等式②不成立，所以h≥1.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)當(dāng)h＝1時，代入方程③得t＝－1，將h＝1，t＝－1代入不等式②，檢驗成立．所以，h的最小值為1.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(14分)113.2022/12/10則不等式②不成立，所以h≥1.┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)48[自主體驗](2010·宣武月考)已知F1、F2分別是橢圓＝1的左、右焦點，曲線C是以坐標(biāo)原點為頂點，以F2為焦點的拋物線，自點F1引直線交曲線C于P、Q兩個不同的交點，點P關(guān)于x軸的對稱點記為M.設(shè).(1)求曲線C的方程；

(2)證明：；

(3)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范圍．114.2022/12/10[自主體驗]49.2022/12/10解：(1)橢圓＝1的右焦點F2的坐標(biāo)為(1,0)，∴可設(shè)曲線C的方程為y2＝2px(p>0)，∴p＝2，曲線C的方程為y2＝4x.(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．∵，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，①y1＝λy2，②∴＝λ2.∵＝4x1，＝4x2，∴x1＝λ2x2. ③115.2022/12/10解：(1)橢圓＝1的右焦點F③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ，∴λx2(λ－1)＝λ－1.∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，∴＝(x1－1，－y1)．由②知，－y1＝－λy2，∴＝－λ＝－λ(x2－1，y2)＝－λ，故＝－λ.116.2022/12/10③代入①得λ2x2＋1＝λx2＋λ，51.2022/12/1(3)由(2)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1，∴＝16x1x2＝16.∵y1y2>0，∴y1y2＝4，則|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2117.2022/12/10(3)由(2)知x2＝，x1＝λ，得x1x2＝1＝－2(x1x2＋y1y2)＝