大學(xué)物理：第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一篇力學(xué)

第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1運(yùn)動(dòng)是普遍的、絕對(duì)的,但對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述卻是相對(duì)的。因此,要描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng),總得選擇另一物體或幾個(gè)彼此之間相對(duì)靜止的物體作為參考,這種在描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)選作參考的物體稱為參考系?！?-1

參考系和坐標(biāo)系

從運(yùn)動(dòng)的描述來說,參考系可以任意選擇,這要看問題的性質(zhì)和計(jì)算的方便而定。但在動(dòng)力學(xué)中，就只能選擇慣性參考系。為了定量的確定一個(gè)物體相對(duì)于某參考系的位置,還需要在參考系上選用一個(gè)固定的坐標(biāo)系。1.參考系和坐標(biāo)系22.幾種典型的坐標(biāo)系(1).直角坐標(biāo)系矢量的大小或模表示為方向余弦滿足關(guān)系直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸的單位矢量是常矢量，滿足直角坐標(biāo)系中，任意矢量可表示為3(2).自然坐標(biāo)系在已知運(yùn)動(dòng)軌跡上任取一點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，用質(zhì)點(diǎn)距離原點(diǎn)的軌道長度s來確定質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置，以軌跡切向和法向的單位矢量(、n)作為其獨(dú)立的坐標(biāo)方向，這樣的坐標(biāo)系，稱為自然坐標(biāo)系

s稱為自然坐標(biāo)。過軌道上一點(diǎn)P1作與軌道相切的圓，如果圓的半徑與P1的曲率半徑相等，稱這個(gè)圓為P1的曲率圓。

自然坐標(biāo)系中，任意矢量

可表示為4切向單位矢量變化率5(3).極坐標(biāo)系在一固定直線上選取一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為端點(diǎn)作射線，則由射線、原點(diǎn)和固定直線構(gòu)成的坐標(biāo)系為極坐標(biāo)系，通常稱射線為極軸。極坐標(biāo)系中，任意矢量A可表示為矢量A的變化率可表示為

O

DA

DAr

Ds

q6一幾種典型的機(jī)械運(yùn)動(dòng)形式一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波§1.2幾種典型機(jī)械運(yùn)動(dòng)及其理想模型7在實(shí)際問題的研究中，忽略掉一些次要因素，把實(shí)際物理過程看作為由少數(shù)主要因素決定的理想過程，這種由少數(shù)主要因素構(gòu)成的數(shù)學(xué)計(jì)算模型，稱為理想物理模型；這種研究方法，稱為物理學(xué)中的模型化方法

2.幾種典型的機(jī)械運(yùn)動(dòng)模型(1)質(zhì)點(diǎn)模型：當(dāng)物體的線度(大小和幾何形狀)對(duì)所研究物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，用一個(gè)集中了物體所有質(zhì)量的數(shù)學(xué)點(diǎn)來代表物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，該點(diǎn)稱為質(zhì)點(diǎn)。

(2).剛體模型：當(dāng)物體的形變對(duì)其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，將物體看作為一個(gè)不發(fā)生形變的幾何體8(3)諧振子模型：當(dāng)物體收受合外力可以近似為F=-kx

時(shí)，稱該物體的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)(4)簡諧波模型：介質(zhì)傳播機(jī)械波可以近似地看作為簡諧振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播，且彈性介質(zhì)無阻尼無能量吸收(波在傳遞過程中保持振幅不變)，這種機(jī)械波稱為簡諧波，該模型稱簡諧波模型91.時(shí)間的描述時(shí)間是描述物質(zhì)持續(xù)性、順序性的物理參量2.時(shí)間的測(cè)量方法與計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)主觀時(shí)間：現(xiàn)實(shí)生活中，人的主觀感覺能夠感受到時(shí)間的流逝，這種主觀感覺的時(shí)間稱為主觀時(shí)間§1.3描述一般曲線運(yùn)動(dòng)的線參量與角參量§1.3.1時(shí)間參量在第6章狹義相對(duì)論中講授10線參量：位置矢量、位移矢量、速度矢量和加速度矢量1.位置矢量與運(yùn)動(dòng)方程(1).位置矢量：時(shí)刻t，由坐標(biāo)原點(diǎn)指向質(zhì)點(diǎn)的有向線段?！?.3.2描述一般曲線運(yùn)動(dòng)的線參量xxyzyoP(x,y,z)zr11(2).位置矢量的特征相對(duì)性——參照系瞬時(shí)性——時(shí)刻t矢量性——大小、方向、運(yùn)算法則(2).運(yùn)動(dòng)方程：位置矢量的時(shí)間函數(shù)xxyzyoP(x,y,z)zr12(3).軌道方程：質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡方程，稱為軌道方程說明：軌道方程可由運(yùn)動(dòng)方程分量式消去時(shí)間參量t得到。數(shù)學(xué)表示為：f(x,y,z)=0例：質(zhì)點(diǎn)從如圖所示位置開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)方程與軌道方程解：運(yùn)動(dòng)方程：軌道方程2.位移與路程

13(1).位移：在時(shí)間t內(nèi)，由初始位矢指向末位矢的有向線段。直角坐標(biāo)表示ryoxr(t+t)r(t)zBACs圖14(2).路程：在時(shí)間t內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)軌跡的長度，稱時(shí)間t內(nèi)物體的路程。ABC注意：路程與位移的區(qū)別、聯(lián)系(略)問題：A.什么情形下物體路程與位移相等？3.速度與速率(1).平均速度

15直角坐標(biāo)表示16(2).即時(shí)速度直角坐標(biāo)表示平均速率即時(shí)速率17即時(shí)速率與即時(shí)速度的大小相等例：已知一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻的坐標(biāo)為：

x=4.5t2-2t3求：(1).第二秒內(nèi)的平均速度(2).第二秒末的即時(shí)速度(3).第二秒內(nèi)的平均速率18解：(1).第二秒內(nèi)的平均速度(如何理解平均速度前的負(fù)號(hào)？)(2).第二秒末的即時(shí)速度當(dāng)t=2s時(shí)(3).第二秒內(nèi)的平均速率即判斷速度的方向是否有改變，由問題(2)，知道物體運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變，因此：令于是首先應(yīng)當(dāng)判斷物體運(yùn)動(dòng)方向是否有改變解得：t=1.5s19說明：平均加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向沒有必然聯(lián)系。(2).即時(shí)加速度直角坐標(biāo)表示4.平均加速度與加速度(1).平均加速度

20例：描述以作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況，并證明其速度方向沿圓周切線方向，加速度方向指向圓心。解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ).運(yùn)動(dòng)學(xué)方程于是說明：加速度與速度改變量的方向一致，與速度本身方向無關(guān)加速度方向總指向軌跡曲線的凹側(cè)(由高數(shù)二階導(dǎo)數(shù)知識(shí))B.軌道方程

C.速度21D.加速度E.證明其速度方向沿圓周切線方向速度方向沿圓周切線方向F.加速度方向指向圓心加速度方向與徑向方向相反，指向圓心說明：(1).對(duì)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述或分析物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就是給出描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所有參量的表達(dá)式。即：運(yùn)動(dòng)方程、軌道方程、速度、加速度。22(2).討論矢量方向的通用方法是：證明該矢量的單位矢量與一已知矢量的單位矢量的標(biāo)積，從而確定其方向(3).求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程或軌道方程，一般是首先求出各分量坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，然后求運(yùn)動(dòng)方程或軌道方程例：燈距地面的高度為H，身高為h的人在燈下以勻速率v沿水平直線行走，如圖所示求：他的頭頂在地面上的影子M點(diǎn)沿地面的移動(dòng)速度。

解：對(duì)矢徑未知的問題,需先建立坐標(biāo)系,找出矢徑再用求導(dǎo)的方法處理。本題中影子M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向向左，故只需建

立如圖所示的一維(x)坐標(biāo)23由三角形MCD與三角形MAB相似注意到故影子M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度為

例:質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，加速度和速度的關(guān)系是:a=-kv,式中k為

常量，t=0時(shí)，

x=x0，v=v0

求：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解得vxBDACHx1Mhox224完成積分得解完成積分就得運(yùn)動(dòng)方程又由有例：給出加速度的自然坐標(biāo)表示在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度解:25于是，加速度為利用速率的定義由圖，有因26其中a代表質(zhì)點(diǎn)在切線方向速率變化的快慢，稱為切向加速度；an表示質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢，稱為法向加速度

作一般曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其總加速度的大小為方向27

例：求斜拋體在任一時(shí)刻的法向加速度an、切向加速度at和軌道曲率半徑(設(shè)初速為v0，仰角為)。

解：設(shè)坐標(biāo)x、y沿水平和豎直兩個(gè)方向，如圖示?？偧铀俣?重力加速度)g是已知的;所以an、at只是重力加速度g沿軌道法向和切向的分量,由圖可得：xyvxanvvygatv028討論：(1).在軌道的最高點(diǎn)，顯然=0，vy=0故該點(diǎn)：an=g,at=0,(2).因速率v可由已知公式直接寫出，于是此題也可先求：求出an，再由最后由求出29

1.角位移：在t時(shí)間內(nèi)，物體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角度，且規(guī)定逆時(shí)針方向角位移為正，順時(shí)針方向角位移為負(fù)。2.角速度：某一時(shí)刻t，角位移隨時(shí)間變化的快慢說明：角速度是矢量，方向按右手螺旋法則判定(下頁圖)3.角加速度：某一時(shí)刻t，角速度隨時(shí)間變化的快慢一描述剛體運(yùn)動(dòng)的角參量§1.3.3描述剛體運(yùn)動(dòng)的角參量30(1).條件:下述關(guān)系對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)成立(2).角參量與線參量之間的關(guān)系A(chǔ).數(shù)值大小關(guān)系B.矢量關(guān)系證明：對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)類似證明其它關(guān)系式二角參量與線參量之間的關(guān)系§1.3.4對(duì)一般曲線運(yùn)動(dòng)描述的應(yīng)用舉例31勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速圓周運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量位置,位移

速度加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述

勻速運(yùn)動(dòng)右手螺旋定則

勻變速運(yùn)動(dòng)一勻變速運(yùn)動(dòng)的描述32二運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題知道物體的運(yùn)動(dòng)方程，通過微分運(yùn)算，求解出物體的速度與加速度參量；知道了物體的速度或加速度，以及物體運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)，通過積分運(yùn)算，也可以確定物體的運(yùn)動(dòng)方程1.運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題2.應(yīng)用舉例例：如圖所示，在離水面高度為h的岸邊上，有人用繩子拉船靠岸，收繩的速度恒為vo，求船在離岸邊的距離為s時(shí)的速度和加速度33解：以l表示從船到定滑輪的繩長，則vo＝－dl／dt

由圖可知船的速度負(fù)號(hào)表示船在水面上向岸靠近船的加速度

負(fù)號(hào)表示a的方向指向岸邊，因而船向岸邊加速運(yùn)動(dòng)34例：質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)從靜止開始沿半徑R=2m的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)的角位移為0，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律表述為：=kt2，k為常數(shù)，已知質(zhì)點(diǎn)在第2s末的線速度為32m/s求：t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度、加速度、角位移解：(1).

t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的線速度。由題意運(yùn)動(dòng)常數(shù)k應(yīng)是確定的由考慮到第2s末的線速度為32m/s故k=4于是(m/s)35(2).

t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度包含切向加速度和向心加速度由(m/s2)(m/s2)(3).

t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角位移(m/s2)(rad)36例:一半徑R=1m的飛輪，角坐標(biāo)=2+12t-t3(SI)求：(1)飛輪邊緣上一點(diǎn)在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)經(jīng)多少時(shí)間、轉(zhuǎn)幾圈飛輪將停止轉(zhuǎn)動(dòng)？

an=R2=(12-3t2)2,at=R=-6t

代入t=1s,an=812,at=-6(SI)(2)停止轉(zhuǎn)動(dòng)條件：=12-3t2=0,求出：t=2s。

t=0,0=2,而

t=2s,2=18，

所以轉(zhuǎn)過角度：=2-0=16=8圈。解:(1)37總加速度的大小:注意啰！以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)要點(diǎn)是：掌握切向加速度和向心加速度的物理內(nèi)涵和計(jì)算公式。a

tava

na與速度v的夾角θ是:38OXR切向內(nèi)法向取極限變等式39角加速度注意！40R*曲線運(yùn)動(dòng)為曲率半徑41例：判斷下列寫法是否正確——錯(cuò)，應(yīng)是而——錯(cuò)，應(yīng)是而42——錯(cuò)，因而顯然類似地43例、一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其v-t曲線如圖所示，如t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，求：t=4.5秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在x軸上的位置。解：實(shí)際上可以用求面積的方法。t(s)23v(m/s)-12101444例題1-6質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，路程與時(shí)間的關(guān)系是：(b,c為正常數(shù),且b2>Rc);求:由an=|at|得:解得(2)由解

(1)由公式：(1)何時(shí)an=at？

(2)何時(shí)加速度的大小等于c?

45前面提到,運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的,就是說,對(duì)于不同的參考系,同一質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度一般都是不同的。那么在不同的參考系看來，這些物理量之間又有什么聯(lián)系?下面就來研究這個(gè)問題?！?-６相對(duì)運(yùn)動(dòng)伽利略變換和rps`表示，而用rs`s表示S`系相相對(duì)于S和S`系的位置,分別用rps對(duì)于S的位置。應(yīng)用矢量相加的三角形法則,從圖可以看出：rpsrps`rs`sSS`xyzY`z`op圖O’

我們假定參考系S和S`之間只有相對(duì)平移而無相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),且各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸在運(yùn)動(dòng)中始終保持平行。對(duì)空間P點(diǎn),它1.相對(duì)運(yùn)動(dòng)46

對(duì)式(１)兩邊求增量,我們得到位移之間的關(guān)系:式(3)一般又稱為伽利略速度相加原理。它表示：質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S系的速度等于質(zhì)點(diǎn)P對(duì)S`系的速度與S`系對(duì)S系的速度的矢量和。

注意：(1).式(3)—(４)是矢量關(guān)系式。(2).雙下標(biāo)先后順序交換意味著改變一個(gè)符號(hào),即：

將式(１)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),我們就得點(diǎn)P在S,S`中的速度和加速度之間的關(guān)系：rps=rps`+rs`s(２)(４)(3)vps=vps`+vs`saps=aps`+as`svps=-vsp47

解對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題，我們首先要正確寫出速度變換：

要注意，上式是一個(gè)矢量關(guān)系式。求解上式的辦法有兩個(gè)：一是畫出矢量三角形,再解這個(gè)三角形；二是建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，把每個(gè)速度矢量用單位矢量表示出來，用代數(shù)方法求解。（1）矢量三角形法

我們按速度相加原理畫出的三角形如圖所示。v風(fēng)對(duì)人=v風(fēng)對(duì)地

+

v地對(duì)人=v風(fēng)對(duì)地-v人對(duì)地例題1-11一人騎自行車以速率v向正西行駛，今有風(fēng)以相同速率從南偏東300方向吹來，試問：人感到的風(fēng)速大小是多少？風(fēng)從哪個(gè)方向吹來？48由于v人對(duì)地=v風(fēng)對(duì)地=v,由圖可求得風(fēng)對(duì)人速度的大小是：

大?。簐風(fēng)對(duì)人=v

方向：與x軸正方向成-300。人感到的風(fēng)向是：東偏南300。

(2)坐標(biāo)法建立如圖中的直角坐標(biāo)系，由速度合成定理可得：v風(fēng)對(duì)人=2vcos300=vv風(fēng)對(duì)人v人對(duì)地v風(fēng)對(duì)地300xy圖300v風(fēng)對(duì)人=

v風(fēng)對(duì)地

+

v地對(duì)人=v風(fēng)對(duì)地-v人對(duì)地=v(icos600-jcos300)-(-vi)=v(1+