利率期限結(jié)構(gòu)模型金融計(jì)算與建模

第21章利率期限結(jié)構(gòu)模型利率期限結(jié)構(gòu)模型簡(jiǎn)介利率期限結(jié)構(gòu)相關(guān)符號(hào)表：在未來(lái)時(shí)間T到期的零息票債券在時(shí)間t的價(jià)格，即在未來(lái)時(shí)間T支付單位1的債券在時(shí)間t的價(jià)格。起息日為時(shí)間t，剩余到期期限為年的零息票債券利率。有：起息日為時(shí)間t，剩余到期期限為年的連續(xù)復(fù)合利率。有：在時(shí)間t計(jì)算的，起息日為時(shí)間s，剩余到期期限為T-s的遠(yuǎn)期利率。有：在時(shí)間t計(jì)算的，起息日為時(shí)間s的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率。有：即期利率，時(shí)間t計(jì)算的，剩余到期期限無(wú)限小時(shí)的零息票債券的連續(xù)符合內(nèi)部收益率。有：起息日為時(shí)間t，剩余到期期限為年的連續(xù)復(fù)合利率。有：貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的預(yù)期瞬間收益。貼現(xiàn)債券價(jià)格在時(shí)間t的瞬時(shí)波動(dòng)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。瞬間遠(yuǎn)期利率的波動(dòng)。有：貼現(xiàn)債券利率的波動(dòng)。重組樹(shù)中，在第i種狀態(tài)下，剩余到期期限為T的貼現(xiàn)債券在時(shí)間n的均衡價(jià)格。注意，與的定義不同，此處T表示的是剩余到期期限，而非到期日。利率期限結(jié)構(gòu)的概念利率（interestrate）是經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域的一個(gè)核心變量，它實(shí)質(zhì)上是資金的價(jià)格，反映了資金的供求關(guān)系。利率期限結(jié)構(gòu)（termstructureofinterestrates），又稱收益率曲線（yieldcurve），是指在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，利率與到期期限之間的關(guān)系，或者說(shuō)是理論上的零息債券利率曲線。常見(jiàn)的利率期限結(jié)構(gòu)有以下四種：

貼現(xiàn)因子曲線（discountfactorcurve）：；零息票收益曲線（zero-couponyieldcurve），（常用）：或；遠(yuǎn)期利率曲線（forwardratescurve）：瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率期限結(jié)構(gòu)（instantaneousforwardtermstructure），（常用）：。靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)模型樣條函數(shù)模型節(jié)約型模型指數(shù)樣條法（Vasicek&Fong，1982）均衡模型套利模型Vasicek模型（Vasicek，1977）

CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985）Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986）Hull-White模型（Hull&White，1990）HJM模型（Heath,Jarrow&Morton，1992）Nelson-Siegel模型（Nelsen&Siegel，1987）Svensson擴(kuò)展模型（Svensson，1994）B樣條法,（Steeley，1991）多項(xiàng)式樣條法（McCulloch，1971，1975）利率期限結(jié)構(gòu)模型靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型概述靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型以當(dāng)天市場(chǎng)的債券價(jià)格信息為基礎(chǔ)，構(gòu)造利率曲線函數(shù)，利用所構(gòu)造的利率曲線得到理論價(jià)格來(lái)逼近債券的市場(chǎng)價(jià)格，從而得出符合當(dāng)天價(jià)格信息的利率期限結(jié)構(gòu)。靜態(tài)利率期限結(jié)構(gòu)模型最為常見(jiàn)的有樣條函數(shù)模型和節(jié)約型模型，樣條函數(shù)模型主要包括多項(xiàng)式樣條法、指數(shù)樣條法和B樣條法，節(jié)約型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其擴(kuò)展模型。通常，使用靜態(tài)模型擬合利率期限結(jié)構(gòu)的具體過(guò)程如下：首先，從市場(chǎng)上選出一組無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)的附息債券。設(shè)該組附息債券在時(shí)間t的市場(chǎng)價(jià)格為，在時(shí)間s的現(xiàn)金流入為，其中，，j表示該組的第j支債券。由于期限結(jié)構(gòu)指的是零息債券的收益率與其到期日間之關(guān)系，因此必須先調(diào)整“息票效應(yīng)”（CouponEffect）。息票效應(yīng)是指：對(duì)于剩余到期期限相同的債券來(lái)說(shuō)，它們的到期收益率不僅與當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)有關(guān)，還與它們的票面利率水平有關(guān)。對(duì)于相同的即期利率期限結(jié)構(gòu)而言，到期收益率是這些即期利率的加權(quán)平均，而權(quán)重是各個(gè)現(xiàn)金流的現(xiàn)值。于是，假想出貼現(xiàn)函數(shù)或零息票債券利率的具體形式，其中和為參數(shù)向量。然后利用假想出的具體形式，來(lái)推導(dǎo)附息債券的理論價(jià)格，當(dāng)推導(dǎo)出的理論價(jià)格與給定的市場(chǎng)價(jià)格最為接近時(shí)，就可以估計(jì)出由和構(gòu)成的參數(shù)向量，即：

其中，是從模型或模型推導(dǎo)出的附息債券理論價(jià)格。顯然，，債券券樣本本中長(zhǎng)長(zhǎng)期品品種的的價(jià)格格波動(dòng)動(dòng)性應(yīng)應(yīng)大于于短期期品種種，而而由此此帶來(lái)來(lái)的結(jié)結(jié)果是是：以以上述述方法法中表表示長(zhǎng)長(zhǎng)期債債券的的定價(jià)價(jià)誤差差往往往大于于短期期債券券。這這就是是在進(jìn)進(jìn)行收收益率率曲線線擬合合時(shí)無(wú)無(wú)法避避免的的樣本本異方方差特特征，，導(dǎo)致致的結(jié)結(jié)果往往往是是收益益率曲曲線在在遠(yuǎn)端端出現(xiàn)現(xiàn)“過(guò)過(guò)度擬擬合””（Overfitting））的情情況，，而在在近端端則無(wú)無(wú)法很很好地地表現(xiàn)現(xiàn)短期期債的的實(shí)際際情況況。為了解解決這這一問(wèn)問(wèn)題，，應(yīng)該該對(duì)短短期債債券賦賦予較較高的的權(quán)重重，而而對(duì)長(zhǎng)長(zhǎng)期債債券賦賦予較較低的的權(quán)重重，從從而允允許長(zhǎng)長(zhǎng)期債債券存存在較較高的的誤差差。在在Bolder和Streliski(1999)的的論文文中，，設(shè)定定了如如下的的權(quán)重重系數(shù)數(shù)：而將參參數(shù)的的估估計(jì)過(guò)過(guò)程定定義為為：多項(xiàng)式式樣條條法多項(xiàng)式式樣條條函數(shù)數(shù)假設(shè)設(shè)折現(xiàn)現(xiàn)因子子是到到期期期限s的多多項(xiàng)式式分段段連續(xù)續(xù)函數(shù)數(shù)。。在運(yùn)用用此函函數(shù)時(shí)時(shí)，仔仔細(xì)選選擇多多項(xiàng)式式的階階數(shù)是是至關(guān)關(guān)重要要的。。階數(shù)數(shù)的多多少?zèng)Q決定了了利率率曲線線的平平滑程程度和和擬合合程度度，同同時(shí)也也影響響到待待估參參數(shù)的的數(shù)量量。本本書(shū)將將多項(xiàng)項(xiàng)式樣樣條函函數(shù)的的階數(shù)數(shù)定為為3。。這是是因?yàn)闉?，?dāng)當(dāng)多項(xiàng)項(xiàng)式樣樣條函函數(shù)為為二階階時(shí)，，的的二二階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)是是離散散的；；當(dāng)階階數(shù)過(guò)過(guò)高（（四階階或五五階））時(shí)，，驗(yàn)證證三階階或四四階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)是是否連連續(xù)的的難度度將增增大，，待估估參數(shù)數(shù)的數(shù)數(shù)量也也將增增大。。一般選選用如如下形形式的的多項(xiàng)項(xiàng)式樣樣條函函數(shù)：：注意，對(duì)于于即期貼現(xiàn)現(xiàn)率函數(shù)來(lái)來(lái)說(shuō)，顯然然有。。另另外，為了了保證分段段函數(shù)的平平滑性以及及在分段點(diǎn)點(diǎn)的平滑過(guò)過(guò)渡，必須須保證貼現(xiàn)現(xiàn)函數(shù)在整整個(gè)定義域域內(nèi)連續(xù)且且一、二階階可導(dǎo)，還還需要滿足足如下約束束條件：其中的的一階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)和二階階導(dǎo)數(shù)。例如，考慮慮30年期期的貼現(xiàn)率率函數(shù)，可可以用三次次多項(xiàng)式分分段擬合如如下：其中，函數(shù)數(shù)必須滿足足以下的7個(gè)約束條條件：從而，我們們可以將互互相獨(dú)立的的參數(shù)縮減減到5個(gè)：：指數(shù)樣條法法指數(shù)樣條函函數(shù)是VasicekandFong(1982)提出的的。與在多多項(xiàng)式樣條條函數(shù)部分分所述的原原因相同，，也采用三三階指數(shù)形形式樣條函函數(shù)，其形形式為：模型中，除除了u也是一一個(gè)參數(shù)，，并且有明明顯的經(jīng)濟(jì)濟(jì)含義。VasicekandFong(1982)證明明了如下等等式：即，u可以以被認(rèn)為是是當(dāng)前的起起息日為未未來(lái)無(wú)限遠(yuǎn)遠(yuǎn)時(shí)的瞬間間遠(yuǎn)期利率率。同樣，指數(shù)數(shù)樣條法也也必須滿足足如下約束束條件：其中，的的一一階導(dǎo)數(shù)和和二階導(dǎo)數(shù)數(shù)。選擇樣條函函數(shù)的分段段數(shù)量和取取樣條分界界點(diǎn)在指數(shù)數(shù)樣條法中中也同樣十十分重要，，其方法可可以參見(jiàn)多多項(xiàng)式樣條條法。并且且，指數(shù)樣樣條模型也也容易導(dǎo)致致遠(yuǎn)期利率率曲線不穩(wěn)穩(wěn)定。不同同于多項(xiàng)式式樣條法的的是，其參參數(shù)估計(jì)必必須采用非非線性最優(yōu)優(yōu)化。Nelson-Siegel模型及其其擴(kuò)展形式式Nelson-Siegel模型可以以由一個(gè)公公式來(lái)說(shuō)明明，該公式式的形式與與那些描述述動(dòng)態(tài)利率率的普通微微分方程的的解的表達(dá)達(dá)式十分類類似。該公公式為：其中，表表示示即期計(jì)算算的，在未未來(lái)時(shí)間時(shí)時(shí)發(fā)生生的瞬間遠(yuǎn)遠(yuǎn)期利率。。均均為待待估參數(shù)。。利用可以得到：：這就是Nelson-Siegel模模型的基本本表達(dá)形式式。當(dāng)固定定時(shí)時(shí)，通過(guò)過(guò)的不同組合合，利用這這個(gè)模型，，可以推出出四種不同同形狀的零零息票債券券收益曲線線：遞增、、遞減、水水平和倒置置。但是，這個(gè)個(gè)模型無(wú)法法推導(dǎo)出形形狀更為復(fù)復(fù)雜的收益益曲線，例例如V形收收益曲線和和駝峰收益益曲線。為了克服上上述缺點(diǎn)，，Svensson(1994)將將上述模型型擴(kuò)展如下下：于是，可以以得到：動(dòng)態(tài)利率期期限結(jié)構(gòu)模模型動(dòng)態(tài)利率期期限模型包包括均衡模模型和套利利模型。均衡模型是是一種由均均衡分析方方法得出的的模型，它它從假設(shè)一一些經(jīng)濟(jì)變量開(kāi)始，，推出短期期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利利率的一個(gè)個(gè)過(guò)程，然然后尋找該該過(guò)程對(duì)債券價(jià)格和和期權(quán)價(jià)格格的含義。。均衡模型利利用以下三三步來(lái)為利利率或有要要求權(quán)定價(jià)價(jià)：利用已建立立好的因子子模型來(lái)推推導(dǎo)出理論論零息票債債券收益率率曲線。利用參考債債券的市場(chǎng)場(chǎng)價(jià)格來(lái)校校準(zhǔn)模型并并推出模型型的參數(shù)值值。最后，利用用已確定的的參數(shù)來(lái)為為金融衍生生品定價(jià)。。套利模型由由無(wú)套利分分析方法得得出，它是是利用市場(chǎng)場(chǎng)上的價(jià)格格信息來(lái)推導(dǎo)出利率率隨機(jī)微分分方程的形形式的。均衡模型根據(jù)狀態(tài)變變量集中隨隨機(jī)變量的的個(gè)數(shù)，可可以將利率率期限結(jié)構(gòu)構(gòu)模型區(qū)分分為單因素素和兩(多多)因素模模型兩大類類。一般單因素素模型對(duì)取取不不同的形式式，得到了了不同的模模型。其一一般形式如如下：表21.1單因素素模型總結(jié)結(jié)模型布倫南和施瓦茨(Brennen&Schwartz,1979)●●●1瓦西塞克(Vasicek,1977)●●●1克斯-英格爾索爾-羅斯(CIR,1985b)●●●0.5默頓(Merton,1973)●●1多塞(Dothan,1978)●1皮爾遜和孫(Pearson&Sun,1994)●●●●0.5Vasicek模型型假設(shè)短期利利率的歷史史數(shù)據(jù)服從從Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程程，即：在風(fēng)險(xiǎn)中性性測(cè)度Q條條件下，得得到利率變變化的過(guò)過(guò)程為：其中通過(guò)求解偏偏微分方程程或鞅方法法，可以推推導(dǎo)出在時(shí)時(shí)間T到期期的貼現(xiàn)債債券在時(shí)間間t的價(jià)格格為：其中，于是，根據(jù)據(jù)公式：可以推導(dǎo)出出起息時(shí)間間為t，剩剩余到期期期限為的的貼現(xiàn)債券券的利率，，從而得出出時(shí)間t的的收益率曲曲線。貼現(xiàn)債券利利率的波動(dòng)動(dòng)率由下式式給出：CIR模型型CIR模型型假設(shè)短期期利率的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性過(guò)過(guò)程為：于是，貼現(xiàn)現(xiàn)債券價(jià)格格可以表示示為：其中，貼現(xiàn)債券利利率的波動(dòng)動(dòng)率由下式式給出：套利模型在套利模型型中，假設(shè)設(shè)在時(shí)間T到期的貼貼現(xiàn)債券在在時(shí)間t的的價(jià)格的的相對(duì)對(duì)變化滿足足如下Ito過(guò)程：：其中，為為貼現(xiàn)現(xiàn)債券價(jià)格格在在時(shí)時(shí)間t的預(yù)預(yù)期瞬間收收益；為為貼貼現(xiàn)債券價(jià)價(jià)格在時(shí)間間t的瞬時(shí)時(shí)波動(dòng)；W為標(biāo)準(zhǔn)布布朗運(yùn)動(dòng)。。將方程(21.28)在等價(jià)價(jià)鞅測(cè)度下下寫(xiě)成如下下形式其中，為為在另另一個(gè)概率率測(cè)度下的的標(biāo)準(zhǔn)布朗朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)Ito引例解上上面隨機(jī)微微分方程（（stochasticdifferentialequation），得到到：可以從方程程中消除短短期利率，，過(guò)程如下下：首先，利用用條件，，得到：：上面兩式相相除，得：：上式表明，，債券的價(jià)價(jià)格僅取決決于當(dāng)前的的期限結(jié)構(gòu)構(gòu)以及波動(dòng)動(dòng)性結(jié)構(gòu)根據(jù)(21.32)式，還可可以推出到到期期限為為T的貼現(xiàn)現(xiàn)債券在時(shí)時(shí)間t的利利率，以及及在時(shí)間t計(jì)算的，，起息日為為時(shí)間T的的瞬時(shí)遠(yuǎn)期期利率，由由：可以推得：：其中，為為瞬間遠(yuǎn)期期利率的的波動(dòng)動(dòng)，它滿足足：由(21.36)式式，還可以以得到：GHIJKLMABCDEF圖21.3重組組樹(shù)圖21.4非重重組樹(shù)離散時(shí)間形形式的Ho-Lee模型基本假設(shè)HoandLee(1986)假定市場(chǎng)場(chǎng)滿足離散散狀態(tài)時(shí)間間框架下的標(biāo)準(zhǔn)完全全資本市場(chǎng)場(chǎng)假設(shè)：市場(chǎng)無(wú)摩擦擦。即：無(wú)無(wú)稅收，無(wú)無(wú)交易成本本，所有的的證券都完完全可分。。市場(chǎng)在離散散時(shí)間點(diǎn)出出清。市場(chǎng)完全。。即：對(duì)任任意期限n，存在貼貼現(xiàn)債券。。對(duì)任意的時(shí)時(shí)間點(diǎn)n，，存在有限限個(gè)狀態(tài)。。二項(xiàng)式過(guò)程程HoandLee(1986)假定利率率期限結(jié)構(gòu)構(gòu)移動(dòng)遵循循二項(xiàng)式過(guò)過(guò)程隨時(shí)間間變化。即即：其中，定定義為在在第i種狀狀態(tài)下，剩剩余到期期期限為T的的貼現(xiàn)債券券在時(shí)間n的均衡價(jià)價(jià)格。當(dāng)利利率上升時(shí)時(shí)，該價(jià)值值向運(yùn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)利利率下降時(shí)時(shí)，該價(jià)值值向運(yùn)運(yùn)動(dòng)。。干擾函數(shù)數(shù)定義干擾擾函數(shù)和和如下：：如果利率率下降，，則債券券的價(jià)值值向上移移動(dòng)到：：如果利率率上升，，那么債債券的價(jià)價(jià)值向下下移動(dòng)到到：其中，風(fēng)險(xiǎn)中性性概率無(wú)套利條條件對(duì)每每個(gè)結(jié)點(diǎn)點(diǎn)（n,i））給出了了其擾動(dòng)動(dòng)函數(shù)的的約束。。其中，n,i>0。。與到期期期限T，，初始貼貼現(xiàn)債券券價(jià)格無(wú)無(wú)關(guān)，但但可能與與時(shí)間n，狀態(tài)態(tài)i有關(guān)關(guān)，稱為為隱含二二項(xiàng)式概概率。根據(jù)干擾擾函數(shù)的的定義，，上式可可寫(xiě)為：：隱含二項(xiàng)項(xiàng)式概率率為CoxRossandRubinstein(1979)模型型中的風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)中性性概率（（RiskNeutralProbability），于于是，其中，對(duì)重組樹(shù)樹(shù)的要求求在定義了了干擾函函數(shù)之后后，就可可以用公公式來(lái)明明確對(duì)重重組樹(shù)的的要求了了。圖21.6利利率期期限結(jié)構(gòu)構(gòu)的二項(xiàng)項(xiàng)式過(guò)程程（2））當(dāng)狀態(tài)先先上移后后下移時(shí)時(shí)，有：：又因?yàn)椋海汗视校寒?dāng)狀態(tài)先先下移后后上移時(shí)時(shí)，同樣樣可以得得到：比較(21.42)式式和(21.43)式式，得：：又由于：：故有：上式可簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為一一個(gè)一階階線性差差分方程程：其中，于是，和和均均為常數(shù)數(shù)。求解解上述一一階線性性差分方方程，得得：故：為風(fēng)險(xiǎn)中中性概率率：由(21.48)式，，可以推推導(dǎo)出：：利率期限限結(jié)構(gòu)在第i種種狀態(tài)下下剩余到到期期限限為T的的貼現(xiàn)債債券的時(shí)時(shí)間n的的價(jià)格用用初始利利率期限限結(jié)構(gòu)表表示如下下：將(21.46)式和和(21.47)式代代入上式式，得：：特別的，，當(dāng)T=1時(shí)，，債券價(jià)價(jià)格為：：于是，短短期利率率為：設(shè)隱含二二項(xiàng)概率率為q，，則是是關(guān)于于i的一一個(gè)二項(xiàng)項(xiàng)分布，，均值為為：方差為：：連續(xù)時(shí)間間形式的的Ho-Lee模型連續(xù)時(shí)間間形式的的Ho-Lee模型實(shí)實(shí)際上是