管理系統(tǒng)模擬4

4輸入數(shù)據(jù)建模

4.1建立輸入數(shù)據(jù)模型的方法建立輸入數(shù)據(jù)模型可以采用如下三種方法之一：（1）在仿真運行中直接使用收集到的數(shù)據(jù)（2）把收集到的數(shù)據(jù)定義為經(jīng)驗分布（3）將數(shù)據(jù)擬合為某種理論分布1輸入數(shù)據(jù)建模原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)經(jīng)驗分布理論分布處理確定數(shù)值范圍計算頻率預處理分布類型辨識參數(shù)估計擬合度檢驗輸入數(shù)據(jù)模型直接使用2（1）在仿真運行中直接使用收集到的數(shù)據(jù)該方法很直接，也可以用來做確定性模型的有效性檢驗，但是有兩個缺點：（1）只能用收集到的歷史數(shù)據(jù)來驅動仿真模型；（2）經(jīng)常沒用足夠多的數(shù)據(jù)來進行多次仿真試驗。3（2）把收集到的數(shù)據(jù)定義為經(jīng)驗分布該方法可以根據(jù)實際數(shù)據(jù)值的范圍、某個數(shù)據(jù)值出現(xiàn)的頻率，用隨機數(shù)來產(chǎn)生所需要的隨機變量值，能夠產(chǎn)生足夠多的數(shù)據(jù)來進行多次仿真試驗。4（3）將數(shù)據(jù)擬合為某種理論分布如果發(fā)現(xiàn)所收集的數(shù)據(jù)能夠較好地服從某種理論分布（TheoreticalDistribution），傾向于采用第3種方法而不是第2種方法。建立輸入數(shù)據(jù)理論分布的幾個主要步驟收集原始數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計分布的辨識參數(shù)估計以擬合度檢驗54.2收集原始數(shù)據(jù)一、收集輸入數(shù)據(jù)的方法

（１）通過實際觀測獲得系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)。（２）由項目管理人員提供的實際系統(tǒng)運行數(shù)據(jù)。（３）從已經(jīng)發(fā)表的研究成果、論文中收集類似系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)模型。二、收集數(shù)據(jù)時，要注意以下幾點：（１）在收集數(shù)據(jù)的同時就分析數(shù)據(jù)，確定收集到的數(shù)據(jù)是否足夠。（２）將性質相同的數(shù)據(jù)集組合在一起。（３）確定兩個隨機變量是否相關。（４）注意一組觀測到的、似乎是獨立的樣本是否具有自相關性。64.3隨機變量分布的辨識

連續(xù)型隨機變量分布類型辨識

離散型隨機變量分布類型辨識點統(tǒng)計法直方圖法線圖法點統(tǒng)計法74.3.1連續(xù)型隨機變量分布類型辨識（1）點統(tǒng)計法點統(tǒng)計法確定連續(xù)隨機變量分布類型的基本思路為，首先計算連續(xù)型隨機變量的偏差系數(shù)，再根據(jù)偏差系數(shù)的特征尋求與其相近的理論分布，并假設隨機變量的分布為這一理論分布。偏差系數(shù)是偏差與均值的比：其中：var（x）——隨機變量分布的方差；E（x）——均值。8如果有隨機變量X，則有：其中：——隨機變量采集數(shù)據(jù)的均值；s2（n）——隨機變量采集數(shù)據(jù)的方差。所以，910點統(tǒng)計法例4－1：用汽車到達銀行的時間間隔原始數(shù)據(jù)接近1，假設間隔服從指數(shù)分布。11（2）直方圖法

直方圖是一種圖形估計方法?；驹硎牵河糜^測到的樣本數(shù)值建立隨機變量的概率密度函數(shù)分布的直方圖，然后把得到的直方圖與理論分布的概率密度函數(shù)曲線圖形做對比，從圖形上直觀地判斷被觀測隨機變量是否滿足某種理論分布。12具體做法：1）將所有觀測數(shù)值分為k個區(qū)間長度相等的相鄰區(qū)間。［bj-1，bj），j=1，2，…，k。區(qū)間寬度Δb=bj－bj-12）對于第i個區(qū)間［bj-1，bj），令gj表示在第j個區(qū)間中的觀測數(shù)據(jù)數(shù)量nj占整個觀測數(shù)據(jù)的比例，即gj=nj／n。3）定義函數(shù)，4）將定義的觀測數(shù)據(jù)取值的區(qū)間畫在橫坐標軸上，在垂直坐標軸上標記出頻率函數(shù)，畫出被觀測變量的直方圖。5）將直方圖與理論分布的概率密度函數(shù)對比，確定被觀測數(shù)據(jù)服從哪種理論分布。13b0b1b2b3…bjbj-1bkx1x2…xaxa+1…xbxb+1xc

xi+1xm…Xm+1…xnΔbΔbΔbΔbΔb14例4－2：1）首先確定觀測數(shù)據(jù)的范圍在觀測到的間隔時間數(shù)據(jù)中，最小間隔是0.01min，最大間隔是1.96min，觀測數(shù)值范圍為［0.0，2.0］。2）確定相鄰區(qū)間寬度為Δb=0.1，b0=0，b20=2.0，構造出20個長度相等的相鄰區(qū)間。153）統(tǒng)計第j個區(qū)間所包括的觀測數(shù)據(jù)數(shù)目占所有觀測數(shù)據(jù)數(shù)目的比例gj，下表中列出了具體數(shù)值。164）根據(jù)上表給出函數(shù)h（X）。5）將連續(xù)的區(qū)間在橫軸上表出，將函數(shù)h(x)的數(shù)值在縱軸上表出，畫出直方圖。6）將直方圖與理論分布的概率密度函數(shù)曲線做比較。從圖形上看，間隔符合服從指數(shù)分布。17要注意選擇區(qū)間寬度18194.3.2離散型隨機變量分布類型的辨識（1）點統(tǒng)計法與連續(xù)型隨機變量點統(tǒng)計法方法相同，同樣是采用計算偏差系數(shù)的方法，尋找偏差系數(shù)相近的理論分布進行假設。

20（2）線圖法線圖法是把采集到的數(shù)據(jù)與假設的理論分布的概率質量函數(shù)曲線進行比較。如果找到相近的，則可以假設其為該理論分布。具體做法步驟如下：①設觀察數(shù)據(jù)為：x1，x2，…，xn；②將其按遞增順序排列，設共有m個取值（m≤n），分別為：x（1），x（2），…，x（m）；③x(i)的數(shù)據(jù)個數(shù)占整個觀測數(shù)據(jù)個數(shù)的比例數(shù)為hi；④以x(i)作為自變量，以hi的值為函數(shù)值，即：hi=f（x(i)），i=1，2，…，m；⑤由函數(shù)值hi向相應的自變量X(i)做垂線所得的圖形稱為線圖（見下圖）；⑥與假設的理論分布的概率質量函數(shù)比較，確定隨機變量的分布。2122例：觀測在．7：00am～7：05am時間段內(nèi)到達某十字路口西北拐角的車輛數(shù)目。每周觀測5天，連續(xù)觀測20周，在5分鐘內(nèi)到達的車輛數(shù)目列表4．5中。23244.4參數(shù)估計用直方圖或線圖確定樣本數(shù)據(jù)服從的理論分布之后，還要根據(jù)已經(jīng)觀察到的樣本計算出理論分布的參數(shù)。如果可以確定理論分布的參數(shù)，我們就建立了輸入?yún)?shù)的一個數(shù)學模型，可以用前面（第三章）介紹的方法來生成隨機變量的數(shù)值。25按照統(tǒng)計學的說法，假設某隨機變量的總體分布是F，分布F的參數(shù)未知，要用已經(jīng)觀測到的部分樣本來計算全部樣本總體分布F的參數(shù)的真值，這樣的統(tǒng)計推斷問題被稱為估計（Estimation）。在數(shù)理統(tǒng)計學中有許多參數(shù)估計的方法。

點估計：如果用統(tǒng)計方法給出的結果是關于參數(shù)真值的一個點，稱為點估計（PointEstimation）；

區(qū)間估計：如果給出參數(shù)真值存在的一個區(qū)間，稱為區(qū)間估計（IntervalEstimation）。26點估計(1)樣本均值樣本均值是隨機變量X期望值E(X）的一個點估計,刻畫了隨機變量的一個特征，即隨機變量傾向于某個數(shù)值，(2)樣本方差

樣本的方差越大，說明樣本與均值的偏離越大，即樣本數(shù)值的分散性大；反之，樣本的方差越小，說明樣本數(shù)值的集中程度比較高。2728例：用汽車到達銀行的時間間隔原始數(shù)據(jù)即：29例：用車輛數(shù)目數(shù)據(jù)即：304.5擬合度檢驗通過做辨識和參數(shù)估計，可以估計出觀測樣本的分布及其參數(shù)。在得到了這個估計的理論分布及其參數(shù)之后，需要判斷觀測樣本分布與估計的理論分布的接近程度，即確定估計的理論分布的擬合度。比較直觀的方法之一是直接把直方圖與所估計理論分布的概率密度函數(shù)曲線做對比。假設所估計理論分布的概率密度函數(shù)為，對于連續(xù)型隨機變量，比較的具體方法是：把直方圖與Δb曲線畫在一起。31例：我們估計汽車銀行顧客到達時間間隔服從=2.506的指數(shù)分布，將直方圖與概率密度曲線做對比。擬合樣本數(shù)據(jù)得到顧客到達間隔時間的概率密度函數(shù)，直方圖與畫在一起：

3233擬合度檢驗的定量方法：

χ2檢驗（Chi－SquareTest）

Kolmogorov－Smirnov檢驗（柯爾莫哥洛夫－斯米爾諾夫檢驗、K－S檢驗）344.5.1χ2檢驗（Chi－SquareTest）χ2檢驗以下假設是否成立。H0：隨機變量X滿足假定的分布；如果H0假設被接受，那么被檢驗的隨機變量就滿足所假定的分布；如果H0假設被拒絕，則被檢驗的隨機變量不滿足所假定的分布。35χ2檢驗的方法：（1）將n個觀測樣本按數(shù)值大小分到k個相鄰區(qū)間［aj-1，aj）（j=1，2，…，k）中，按照公式計算χ2統(tǒng)計量。其中Nj為在第j個區(qū)間中的觀測樣本數(shù)，pj為按照假設的分布確定的樣本在該區(qū)間中出現(xiàn)的概率。對于連續(xù)型變量，對于離散型隨機變量，

是所假設的分布的概率密度函數(shù)，是所假設的分布的概率質量函數(shù)。

36（2）χ2服從k－s－1自由度的Chi－Square分布。k為所劃分區(qū)間的數(shù)目，s為所假定的分布的參數(shù)數(shù)目。如果則H0假設被拒絕。α是顯著水平，相應的（1一α）×100％就是置信度。37不要求k個相鄰區(qū)間的寬度都相等。對于離散型隨機變量，區(qū)間的數(shù)量由觀測樣本的取值數(shù)目確定；對于連續(xù)型隨機變量，區(qū)間數(shù)量采用表4.8中的推薦值。38例4．6：在5分鐘內(nèi)到達十字路口西南拐角的車輛數(shù)目被假設為服從泊松分布，通過參數(shù)擬合得到λ＝3.64。在顯著水平α＝0.05時，用χ2測試檢驗在5分鐘內(nèi)到達十字路口西南拐角的車輛數(shù)目是否服從所假設的泊松分布。離散泊松分布的概率質量函數(shù)為，39表4．9是按照離散泊松分布的概率密度函數(shù)計算出的整數(shù)X取值0－11時的概率質量。將總共100個樣本值分為7個相鄰的區(qū)間，再根據(jù)離散泊松分布的概率密度質量計算出，如果滿足所假定的泊松分布，在每個取值區(qū)間內(nèi)應該出現(xiàn)的樣本數(shù)目npi；。pi為所假設的泊松分布取第i個區(qū)間中的數(shù)值的概率質量，n為全部樣本的數(shù)目。檢測統(tǒng)計量的計算過程在表4．10中列出。40統(tǒng)計量顯著水平取為α＝0.05。泊松分布有一個參數(shù)，則上分布的自由度為，k-S-1=7-1-1=5查表可得關鍵值，因此在顯著水平取α＝0.05，H0假設被拒絕，即樣本數(shù)據(jù)不服從所假定的泊松分布。41在計算χ2統(tǒng)計量時，Ni是分段區(qū)間中所包含的樣本數(shù)量，換算成占全部樣本的比例就可以得到直方圖。pi則是所假設的理論分布的數(shù)值出現(xiàn)在分段區(qū)間內(nèi)的概率，代表了概率密度函數(shù)或概率質量。χ2統(tǒng)計量可以被理解為直方圖與概率密度函數(shù)曲線或線圖與概率質量函數(shù)曲線偏差曲線的偏差量，χ2測試則是定量化的直方圖與概率密度或線圖與概率質量函數(shù)曲線對比方法。采用χ2測試需要確定分段區(qū)間，如何確定分段區(qū)間沒有嚴格的規(guī)則，區(qū)間數(shù)量不同對統(tǒng)計量有比較大的影響。對于同一組樣本，在選擇某個區(qū)間數(shù)量時，得到了樣本不服從所假設分布的結論；選擇另外的區(qū)間數(shù)目，則可能得出樣本服從所假設分布的結論。另外，當樣本數(shù)量比較少的時候，不能采用χ2測試。424.5.2Kolmogorov－Smirnov檢驗K－S檢驗是把經(jīng)驗分布函數(shù)與所假設分布的分布函數(shù)做比較。使用K－S檢驗不用確定分段區(qū)間，對樣本數(shù)量也沒有限制。43K－S檢驗步驟假設觀測到一組樣本X1，X2，…，Xn，進行K－S測試的步驟如下：（1）定義樣本的經(jīng)驗分布函數(shù)Fn（X）。Fn(x)是數(shù)值小于等于X的觀測樣本占全部樣本數(shù)目的比例（2）計算K－S統(tǒng)計量Dn。Dn是經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x）與所假設的分布函數(shù)的最大偏差值。44將觀測值按照遞增的順序排列X（1）＜X（2）＜…＜X（n），分別計算，統(tǒng)計量Dn的值越大，經(jīng)驗分布函數(shù)與所假設的分布函數(shù)的偏差越大。（3）判斷樣本是否服從所假設的分布。根據(jù)將統(tǒng)計量與一定顯著水平下的關鍵值dn,α比較，如果Dn≤dn,α，則H0假設被接受，樣本服從所假設的分布；否則，H0假設被拒絕，樣本不服從假設的分布。45K－檢驗臨界值表46例4.7：在100分鐘時間內(nèi)觀測到了50個顧客到達的間隔時間，單位分鐘。按照顧客到達的先后順序，時間間隔如下：用K－S測試檢驗間隔時間是否滿足指數(shù)分布？47顧客到達的間隔時間是在（0，100）時間區(qū)間上收集到的，如果間隔時間服從指數(shù)分布，那么顧客到達時間在（0，100）時間區(qū)間上是均勻分布的。為了方便起見，把顧客到達時間規(guī)一化到（0，1）區(qū)間上。規(guī)一化后的到達時間如下：48經(jīng)驗分布函數(shù)與（0，1）均勻分布偏差的計算過程列在表4．11中。從表

4．11可以得到，

所以K－S統(tǒng)計量

49統(tǒng)計量D的關鍵值可以查表得到，取顯著水平a＝0.05，當n=50時，統(tǒng)計量D比關鍵值小，所以檢驗結果表明間隔時間服從指數(shù)分布。最初的K－S測試只能應用于所假設分布的參數(shù)全部已知的場合，不能使用參數(shù)估計所給出的參數(shù)。改進后的K－S測試可以使用從樣本得到的參數(shù)，有關詳細內(nèi)容參見相關書籍。雖然K－S測試有它的優(yōu)勢，但與χ2測試相比它的應用范圍比較小。50例：某隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生出5個隨機數(shù)，ui＝｛0.44，0.81，0.14，0.05，0.93｝，要求顯著性水平為α=0.05。用K－S檢驗是否符合均勻分布。51首先將所產(chǎn)生的隨機數(shù)由小到大排列，并進行檢驗步驟中的各項計算，如下表所示：由表可見D+＝0.26，D－＝0.21，故D＝max（0.26，0.21）＝0.26。當α＝0.05和N＝5時，由表3-1可知D的臨界值D5，0.95＝0.565。由于D＜D5，0.95，故不能拒絕所產(chǎn)生的隨機數(shù)的分布與理論均勻分布之間無顯著差異的假設。52SN（X）和F（x）的比較0.050.140.440.810.9353思考：已知有如下隨機數(shù)：｛53,47,42,46,47,51,51,59,47,51｝（1）對其做理論分布假設并檢驗。（提示及要求：第1步：用偏差判斷屬于哪種概率密度函數(shù)的分布；第2步：做直方圖，從圖形上判斷屬于哪種概率密度函數(shù)的分布；第3步：用第一步計算的參數(shù)和第二步得到的直方圖的結論，做一條理論分布曲線與直方圖相擬合或用卡方檢驗、K－S檢驗。）（2）有人認為符合泊松分布，你認為對嗎，說明理由。544.7經(jīng)驗分布當無法用理論分布來擬合輸入數(shù)據(jù)或者不需要采用理論分布的時候，我們直接用觀測到的數(shù)據(jù)及每個數(shù)據(jù)占全部數(shù)據(jù)的比例來定義一個分布，這種分布被稱為經(jīng)驗分布（EmpiricalDistribution）。經(jīng)驗分布具有離散和連續(xù)兩種類型。554.7.1離散型變量的經(jīng)驗分布假定觀測到的樣本數(shù)據(jù)為X1，X2，…，Xn，建立離散數(shù)據(jù)經(jīng)驗分布的步驟如下。（1）計算樣本數(shù)值的相對頻率。n個樣本共有k個取值，按照遞增的順序排列X(1)≤X(2)≤…≤X(n)（k≤n）。對于每樣本值X(j)，p(j)是數(shù)值為X(j)的樣本的數(shù)目占全部觀測樣本的比例，稱為相對頻率。（2）將樣本值X(j)及其對應的相對頻率p(j)列表，或做相對頻率的直方圖56例：對中午到餐廳就餐的顧客進行觀察，發(fā)現(xiàn)每批顧客的入數(shù)在1～8之間。需要確定每批顧客數(shù)目的數(shù)據(jù)模型。觀測了最近的300批顧客，每批顧客數(shù)目及其相應的出現(xiàn)次數(shù)在下表中列出。每批客人的數(shù)目出現(xiàn)次數(shù)相對頻率1300.1021100.373450.154710.245120.046130.04770.028120.0457在圖4.9中給出的每批顧客數(shù)目的累計頻率曲線代表了樣本的經(jīng)驗分布

58批量到達過程，是系統(tǒng)仿真中經(jīng)常遇到的一種到達模式，如一批多個工件同時進入加工系統(tǒng)、一批多個顧客同時到達餐廳、一個訂單中包括多種商品等。我們首先要確定各批次之間的間隔時間服從哪種分布，通常是指數(shù)分布。然后，再來建立每個批次的顧客數(shù)量模型。設N(t)是到在時刻為止，已經(jīng)到達的顧客批次數(shù)目。我們可以建立到達過程｛N（t），t≥0｝的模型。如果Bi是第i個批次中的顧客數(shù)目，X(t)是到t時刻為止已經(jīng)到達的顧客數(shù)目。假定B滿足獨立同分布，而且獨立于到達過程{N（t），t≥0}，那么{X(t)，t≥0｝是一個復合過程。59例：604.7.2連續(xù)型變量的經(jīng)驗分布對于連續(xù)型變量，不定義概率密度函數(shù)，而直接用累計頻率定義分布函數(shù)。在定義的經(jīng)驗分布的時候，需要考慮兩種情況：

①能夠得到原始的全部觀測數(shù)據(jù)；

②只能得到變量數(shù)值落在若干區(qū)間內(nèi)的次數(shù)。61①