75隱函數(shù)的求導公式課件

7.5隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形7.5.2方程組的情形7.5隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形7.1隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形

(隱函數(shù)存在定理1)

設(shè)函數(shù)在點

的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且

則方程

在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)它滿

足條件并有

定理7.6隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形(隱函數(shù)存在2這個定理我們不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得由于連續(xù)，且所以存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)于是得這個定理我們不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得3的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，可得二階導數(shù).的二階偏4例1驗證方程F(x，y)=xyex+ey=0在點P0(0,0)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x)，并求其函數(shù)解則依定理知,

方程xyex+ey=0在點P0(0,0)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x)，其導數(shù)為例1驗證方程F(x，y)=xye5(隱函數(shù)存在定理2)設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，

且

則方程

在點

的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函

數(shù)

它滿足條件

并有

定理7.6(隱函數(shù)存在定理2)設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導6這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得由于由于連續(xù)，且所以存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)于是得這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得7設(shè)x2+2y2+3z2+xy-z=0,求

例2解法一設(shè)F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy-z，則得法二求隱函數(shù)的一階偏導數(shù),可直接對方程兩端求導.

方程兩端對x求偏導數(shù),得

設(shè)x2+2y2+3z2+xy-z=0,求例2解法一設(shè)8可利用全微分的形式不變性求偏導數(shù).法三類似可得方程兩端求全微分,可利用全微分的形式不變性求偏導數(shù).法三類似可得方程兩端求全9例3

設(shè)具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程證解出類似地，有例3設(shè)具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程證解出類似地，10設(shè)函數(shù)z=(x,y)由方程ez–xyz=0所確定,求

例4所給的方程兩端對y求偏導數(shù),得

解即對y再求一次偏導數(shù),有

將設(shè)函數(shù)z=(x,y)由方程ez–xyz=0所確定,求例4117.5.2方程組的情形(隱函數(shù)存在定理3)

設(shè)

在點的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且

且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可定理7.8比式)7.5.2方程組的情形(隱函數(shù)存在定理3)設(shè)在點的12在點

不等于零，則方程組在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯

一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)

它們滿足條件

并有

在點不等于零，則方程組在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一1375隱函數(shù)的求導公式課件14這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得由于這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得15系數(shù)行列式從而得同理可得系數(shù)行列式從而得同理可得16例5解將所給方程的兩邊對求導并移項例5解將所給方程的兩邊對求導并移項17將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法得將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法得18的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)例6一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)，又(1)證明方程組(2)的某一鄰域內(nèi)唯一確19例6解(1)將方程組改寫成下面的形式則按假設(shè)由隱函數(shù)存在定理3，即得所要證的結(jié)論.(2)將方程組所確定的反函數(shù)例6解(1)將方程組改寫成下面的形式則按假設(shè)由隱函20同理同理21例7設(shè)解前兩個方程兩邊對x求導，得解得同理得例7設(shè)解前兩個方程兩邊對x求導，得解得同理得22練習1練習3練習2練習4練習5練習1練習3練習2練習4練習523練習1解令則練習1解令則24練習2解令所以練習2解令所以25練習3解令則練習3解令則26練習4證解得練習4證解得2775隱函數(shù)的求導公式課件28練習5解令因此練習5解令因此297.5隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形7.5.2方程組的情形7.5隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形7.30隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形

(隱函數(shù)存在定理1)

設(shè)函數(shù)在點

的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且

則方程

在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)它滿

足條件并有

定理7.6隱函數(shù)的求導公式7.5.1一個方程的情形(隱函數(shù)存在31這個定理我們不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得由于連續(xù)，且所以存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)于是得這個定理我們不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得32的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，可得二階導數(shù).的二階偏33例1驗證方程F(x，y)=xyex+ey=0在點P0(0,0)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x)，并求其函數(shù)解則依定理知,

方程xyex+ey=0在點P0(0,0)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)y=y(x)，其導數(shù)為例1驗證方程F(x，y)=xye34(隱函數(shù)存在定理2)設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù)，

且

則方程

在點

的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函

數(shù)

它滿足條件

并有

定理7.6(隱函數(shù)存在定理2)設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導35這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得由于由于連續(xù)，且所以存在的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)于是得這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得36設(shè)x2+2y2+3z2+xy-z=0,求

例2解法一設(shè)F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy-z，則得法二求隱函數(shù)的一階偏導數(shù),可直接對方程兩端求導.

方程兩端對x求偏導數(shù),得

設(shè)x2+2y2+3z2+xy-z=0,求例2解法一設(shè)37可利用全微分的形式不變性求偏導數(shù).法三類似可得方程兩端求全微分,可利用全微分的形式不變性求偏導數(shù).法三類似可得方程兩端求全38例3

設(shè)具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程證解出類似地，有例3設(shè)具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程證解出類似地，39設(shè)函數(shù)z=(x,y)由方程ez–xyz=0所確定,求

例4所給的方程兩端對y求偏導數(shù),得

解即對y再求一次偏導數(shù),有

將設(shè)函數(shù)z=(x,y)由方程ez–xyz=0所確定,求例4407.5.2方程組的情形(隱函數(shù)存在定理3)

設(shè)

在點的某一鄰域內(nèi)有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，且

且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可定理7.8比式)7.5.2方程組的情形(隱函數(shù)存在定理3)設(shè)在點的41在點

不等于零，則方程組在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯

一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)

它們滿足條件

并有

在點不等于零，則方程組在點的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一4275隱函數(shù)的求導公式課件43這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得由于這個定理我們也不證，僅對求導公式作推導.等式兩邊對求導，即得44系數(shù)行列式從而得同理可得系數(shù)行列式從而得同理可得45例5解將所給方程的兩邊對求導并移項例5解將所給方程的兩邊對求導并移項46將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法得將所給方程的兩邊對求導，用同樣方法得47的某一鄰域內(nèi)唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)例6一鄰域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)，又(1)證明方程組(2)的某一鄰域內(nèi)唯一確48例6解(1)將方程組改寫成下面的形式則按假設(shè)由隱函數(shù)存在定理3，即得所要證的結(jié)論.(2)將方程組所確定的反函數(shù)例6解(1)將方程組改寫成下面的形式則按假設(shè)由隱函49同理同理50例7設(shè)解前兩個方程兩