高中數(shù)學(xué)考點(diǎn)19平面向量的數(shù)量積平面向量應(yīng)用舉例(含2015高考試題)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)19平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例一、選擇題1.（2015·四川高考理科·T7）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|AB|6，|AD|4。若點(diǎn)M，N滿足BM3MC，DN2NC，則AMNM（）（A）20（B)15（C）9（D)6【解題指南】結(jié)合平面幾何知識(shí),利用向量加法法規(guī)，用AB,AD把AM,NM表示出來，再求其數(shù)量積。【剖析】選C。在平行四邊形ABCD內(nèi)，易得，AMAB3AD,NM1AB1AD434因此，AMNM(AB3AD)(1AB1AD)434=1(AB)23(AD)21363161239343162.（2015·廣東高考文科·T9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊→→→→)形,AB=(1,—2）,AD=（2，1),則AD·AC=（A。2B。3C.4D.5→【解題指南】先利用平行四邊形法規(guī)求出AC,再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【剖析】選D.由于四邊形CD是平行四邊形，因此CD1,22,13,1，因此DC231153。(2015·安徽高考理科·T8)C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a,b滿足2a，C2ab，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）b1B、abC、ab1D、(4ab)BCA、【解題指南】依照向量的線性運(yùn)算法規(guī)和數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算判斷?！酒饰觥窟xD。由于BCACAB(2ab)2a=b，因此|b|2，故A錯(cuò)誤;由于21AB.AC=(2ab).2a=4|a|2a.b2222，因此2a.b24|a|22，因此1學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精a.b1，故B,C錯(cuò)誤;又因?yàn)?4ab)BC=(4ab).b2412（-1）+4=0(4ab)BC4a.b+|b|=2，因此4。（2015·安徽高考文科·T15)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a、b滿足AB2a，AC2ab，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是。（寫出所有正確結(jié)論得序號(hào)）①a為單位向量;②b為單位向量；③ab；④b//BC；⑤(4ab)BC?！窘忸}指南】依照向量的線性運(yùn)算法規(guī)和數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算判斷?！酒饰觥坑捎贏BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AB2a，因此|AB|2|a|2|a|=1，故①正確;由于ACABBC2aBC，因此BCb|b|2,故（2)錯(cuò)誤;由于AB2a,BCb，因此a，b1200,故③錯(cuò)誤；④正確;又由于(4ab)BC=(4ab).b2412（-1）+4=0(4ab)BC，4a.b+|b|=2，因此故⑤正確。答案：①④⑤5.(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ文科·T4）已知a=（1，-1),b=（—1,2)，則(2a+b)·a=（)A。-1B。0C。1D。2【剖析】選C。由題意可得a2=2，a·b=-3，因此（2a+b)·a=2a2+a·b=4—3=1.6.(2015·山東高考理科·T4)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60°，則BDCD(）A。3a2B.3a2C。3a2D。3a22442【解題指南】由于CDBA，BDCDBDBA，因此只需求BD和∠ABD.【剖析】選D。由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∠ABC=60°得∠BCD=120°，∠ABD=30°,在△BCD中,由余弦定理得BD3a,因此BDCDBDBA3aacos303aa33a2。222學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精7.(2015·重慶高考理科·Ｔ6)若非零向量22a,b滿足ab，且ab3a2b,3則a與b的夾角為（）A。B。2C。3D.44【解題指南】解答本題可以依照相互垂直的向量的數(shù)量積為零進(jìn)行計(jì)算，爾后求出夾角?！酒饰觥窟xA。設(shè)a與b的夾角為,22a,b，由于ab3a2b31因此ab?3a2b22b2a?b8222cos03a33解得cos20,，因此。，由于248.（2015·重慶高考文科·Ｔ7）已知非零向量a,b滿足b4a,且a(2ab),則a與b的夾角為(）A。B。2C.2D。5336【解題指南】直接利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求出向量的夾角。【剖析】選C.設(shè)向量的夾角為,由b4a及a(2ab),因此2221a?(2ab)2aabcos2a4acos0，解得cos22.因此31執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí),k2,s，2執(zhí)行第二次循環(huán)時(shí),k4,s11324,4執(zhí)行第三次循環(huán)時(shí)，k6,s11111246，12執(zhí)行第四次循環(huán)時(shí)，k8,s1111252468，此時(shí)結(jié)束循環(huán)，故判斷框中應(yīng)填入的條1124件為s.12→→→→若點(diǎn)P是△ABC所在平面9.（2015·福建高考理科·T9)已知AB⊥AC，｜AB｜=1，｜AC|=t.t→→→→→)內(nèi)的一點(diǎn)，且AP=AB→+4AC→,則PB·PC的最大值等于（|AB||AC|3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A.13B。15C.19D。21【解題指南】建立平面直角坐標(biāo)系,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解?！酒饰觥窟xA。以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系以下列圖，1→→1→C(0，t）,B(=（1，0)+4（0,1)=(1,4),從而PB=(=（-1，t—4)，所t,0)t-，AP1,-4),PC→→1時(shí)，等號(hào)建立。以PB·PC=—4t—1+17≤-2√4t×1+17=13，當(dāng)且僅當(dāng)4t=1即t=ttt210。（2015·福建高考文科·T7)設(shè)a=(1，2），b=(1，1),c=a+kb,若b⊥c，則實(shí)數(shù)k的值等于(）A?！?B.-523

C。5D.332【解題指南】向量的加法及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.【剖析】選A.c=a+kb=（1+k，2+k）,由于b⊥c,因此b·c=0,即1+k+2+k=0?k=—3.211.(2015·陜西高考理科·T7)對(duì)任意向量a，b，以下關(guān)系式中不恒建立的是(）A.｜a·b｜≤｜a｜|b|B。｜a-b｜≤｜|a|—｜b||22D.(22C。（a+b）=|a+b｜a+b)·（a-b）=a-b【解題指南】由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義對(duì)各個(gè)選擇項(xiàng)作出判斷?！酒饰觥窟xB.由|a·b｜=｜｜a|·｜b｜·cosθ|,由于—1≤cosθ≤1,因此|a·b｜≤｜a｜|b｜恒建立;由向量減法的幾何意義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得|a-b｜≥|｜a｜-|b||,故B選項(xiàng)不行立；依照向量數(shù)量積的運(yùn)算律C,D選項(xiàng)恒建立.12。(2015·陜西高考文科·T8)對(duì)任意向量a,b,以下關(guān)系式中不恒建立的是（）A.｜a·b｜≤｜a||b|B.｜a-b|≤｜|a｜—|b｜|C。（a+b）2=｜a+b|2D。(a+b)·（a—b)=a2—b2【解題指南】由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)作出判斷。【剖析】選B.由|a·b｜=｜|a|·|b｜·cosθ｜，由于—1≤cosθ≤1,因此|a·b|≤｜a||b|恒建立;由向量減法的幾何意義結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得|a-b｜≥｜｜a|—｜b|｜，故B選項(xiàng)不行4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精立；依照向量數(shù)量積的運(yùn)算律C、D選項(xiàng)恒建立.二、填空題13。(2015·湖北高考理科·T11)已知向量OAAB,|OA|3，則OAOB．【剖析】由于向量OAAB，因此OAAB0，即OA(OBOA)0,因此OAOB22OA0,即OAOBOA9.答案：914.(2015·湖北高考文科·T11)已知向量OAAB，|OA|3,則OAOB.【解題指南】1、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用；向量的減法的應(yīng)用?！酒饰觥坑捎谙蛄縊AAB，因此OAAB0，即OA(OBOA)0,因此22OAOBOA0,即OAOBOA9.答案:915.（2015·天津高考理科·T14）在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1，∠ABC=60°,動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且BEBC,DF1DC,則AEAF的最小值9為?！酒饰觥坑捎贒F1DC,DC1AB，92CFDFDC1DCDC19DC19AB,9918AEABBEABBC,AFABBCCF1919ABBCABABBC，1818DFCEAEAFABBC19ABBCAB19ABBC189ABBC112218185學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1941992121172117291818cos12021822181899當(dāng)且僅當(dāng)21即2時(shí)AEAF的最小值為29.92318答案：291816.(2015·天津高考文科·T13）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC,AB=2，BC=1，∠ABC=60°，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在線段BC和CD上,且BE2BC,DF1DC,則AEAF的值36為?！酒饰觥吭诘妊菪蜛BCD中，由AB∥DC,AB=2，BC=1，∠ABC=60°，得ADBC1,ABAD1，DC1AB,ABBC1因此22AEAFABBEADDFAB2BCAD1ABAD21213ABBCADABBCAB1231218111291318183答案：291817.（2015·江蘇高考·T14)設(shè)向量ak=（cosk,sink+cosk)(k=0,1,2,，12）,則66611的值為。(akak1)k0【解題指南】第一利用數(shù)量積的定義、兩角和的正余弦公式以及積化和差公式整理化簡(jiǎn)ak·ak+1，爾后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求值.【剖析】a·a=(cosk,sinkcosk)(cos(k1),sin(k1)cos(k1))kk+1666666cos2kk(k1)sin6coscos666cos2k1[cos(k(k1)k(k1))]sin