最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件

空間向量法解決立體幾何問(wèn)題空間向量法解決立體幾何問(wèn)題1學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位2最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件3最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件4最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件5最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件6最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件7最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件8練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面9解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D110練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD11最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件12

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.用向量方法解決幾何問(wèn)題因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，13二、立體幾何中的向量方法——平行關(guān)系二、立體幾何中的向量方法14ml一.平行關(guān)系：ml一.平行關(guān)系：15αα16αβαβ17例1.用向量方法證明定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行已知直線l與m相交,αβｌｍ例1.用向量方法證明已知直線l與m相交,18例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線幾何法呢？例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正19例3四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法例3四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正A20ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EGABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為21ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐22練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線23練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線24練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線25三、立體幾何中的向量方法——垂直關(guān)系三、立體幾何中的向量方法26二、垂直關(guān)系：lm二、垂直關(guān)系：lm27lABClABC28αβαβ29例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證1立幾法例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD證30例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證2MN⊥AB,同理MN⊥CD.例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD證31例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證2如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.xyZxy例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的32練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體33ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立34ABCDPEFXYZ證2：ABCDPEFXYZ證2：35A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F練習(xí)正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證36A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F練習(xí)正方體中，E、F分別平面ADE.

證明2：A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證37,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.38證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

求證：平面EBD證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體39ABCDPXYZGABCDPXYZG40例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B141解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-42例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB143證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長(zhǎng)為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,443.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn),則向量在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB45例8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A146解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則47(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖),n為平面α的法向量,過(guò)A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.nABHαθ(2)點(diǎn)到平面的距離nABHαθ48例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=49解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得

n=(-,0,1).

∵,∴或∵,∴或∵,∴可見(jiàn),選擇平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量時(shí),與平面內(nèi)的點(diǎn)選擇無(wú)關(guān).解:以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則50會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離來(lái)求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,側(cè)棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中點(diǎn),求PC與平面PED間的距離.xzyPBEADCF會(huì)求了點(diǎn)到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化51解:以A為原點(diǎn)、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸、AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則F為CD的中點(diǎn),于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).設(shè)面BED的法向量n=(x,y,z),由得n=(1,,2).∵∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,∴PC到面BED的距離就是P到面BED的距離,∵∴.解:以A為原點(diǎn)、AB為x軸、△ACD中CD邊上的高AF為y軸52空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離等問(wèn)題，其方法是不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題。這樣使問(wèn)題坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理問(wèn)題完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，降低了思維難度，這正是在立體幾何中引進(jìn)空間向量的獨(dú)到之處。空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂直、距離53最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件54空間向量法解決立體幾何問(wèn)題空間向量法解決立體幾何問(wèn)題55學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問(wèn)題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位56最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件57最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件58最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件59最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件60最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件61最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件62練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAABCDOA1B1C1D1zxy練習(xí):在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面63解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z=1解得:得:由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）解：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D164練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量.ABCDPE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.XYZ設(shè)平面EDB的法向量為練習(xí)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD65最新空間向量法解決立體幾何問(wèn)題課件66

因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，所以我們可以利用直線的方向向量與平面的法向量表示空間直線、平面間的平行、垂直、夾角、距離等位置關(guān)系.用向量方法解決幾何問(wèn)題因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的位置，67二、立體幾何中的向量方法——平行關(guān)系二、立體幾何中的向量方法68ml一.平行關(guān)系：ml一.平行關(guān)系：69αα70αβαβ71例1.用向量方法證明定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行已知直線l與m相交,αβｌｍ例1.用向量方法證明已知直線l與m相交,72例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中點(diǎn)，DF:FB=CG:GP=1:2.求證：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG證：如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系.//AE與FG不共線幾何法呢？例2四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正73例3四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，(1)求證：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG解1立體幾何法例3四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正A74ABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EGABCDPEXYZG解2：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為75ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：設(shè)平面EDB的法向量為ABCDPEXYZ解3：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐76練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線77練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線78練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線上，且求證：ABCEFDMN幾何法呢？練如圖，已知矩形和矩形所在平面相交于AD，點(diǎn)分別在對(duì)角線79三、立體幾何中的向量方法——垂直關(guān)系三、立體幾何中的向量方法80二、垂直關(guān)系：lm二、垂直關(guān)系：lm81lABClABC82αβαβ83例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證1立幾法例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD證84例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證2MN⊥AB,同理MN⊥CD.例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD證85例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的中點(diǎn)分別是M、N,求證MN⊥AB,MN⊥CD.證2如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.xyZxy例1四面體ABCD的六條棱長(zhǎng)相等,AB、CD的86練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體中,E、F分別是棱AB,OA上的動(dòng)點(diǎn)，且AF=BE,求證：

O’C’B’A’OABCEFZxy解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=BE=b.練習(xí)棱長(zhǎng)為a的正方體87ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.ABCDPEFXYZ證1：如圖所示建立88ABCDPEFXYZ證2：ABCDPEFXYZ證2：89A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F練習(xí)正方體中，E、F分別平面ADE.

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，所以A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證90A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證：D1F練習(xí)正方體中，E、F分別平面ADE.

證明2：A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中點(diǎn)，求證91,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

證明：E求證：平面EBD設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示坐標(biāo)系平面C1BD的一個(gè)法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量是平面C1BD.

平面EBD,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.92證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體平面C1BD.

求證：平面EBD證明2：E,E是AA1中點(diǎn)，例3正方體93ABCDPXYZGABCDPXYZG94例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn),求證:(1)A1E⊥平面DBC1;(2)AB1∥平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy例3棱長(zhǎng)都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,A1C1B195解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0),B(0,,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,,2),C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,從而A1E⊥平面DBC1(2),而n=-2+0+2=0∴AB1

∥平面DBC1解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-96例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn),求證:平面AED⊥平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1例4正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB197證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,∴平面AED⊥平面A1FD∵n1·n2=-2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是，設(shè)：正方體的棱長(zhǎng)為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),證明:以A為原點(diǎn)建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,983.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n,這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn),則向量在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a、b的距離.∴

即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB99例8在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1zxyABCDD1C1B1A1100解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由,得

n=(-1,-1,2).∵,∴異面直線AC1與BD間的距離解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,,則101(2)點(diǎn)到平面的距離A為平面α外一點(diǎn)(如圖),n為平面α的法向量,過(guò)A作平面α的斜線AB及垂線AH.

==.于是，點(diǎn)到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點(diǎn)的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與平面的法向量模的比值.nABHαθ(2)點(diǎn)到平面的距離nABHαθ102例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=