§2 指數(shù)映射與測(cè)地坐標(biāo)系

第六章曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何初步§2指數(shù)映射與測(cè)地坐標(biāo)系測(cè)地線在內(nèi)蘊(yùn)幾何中的重要性，還體現(xiàn)在特殊坐標(biāo)系的構(gòu)造之上.可以想象，就像在歐氏平面上取坐標(biāo)曲線為直線會(huì)帶來某些方便一樣，曲面的一部分甚或全部坐標(biāo)曲線若由測(cè)地線構(gòu)成，則有助于對(duì)于內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的有效刻劃以及對(duì)于內(nèi)蘊(yùn)幾何量的簡化或突出表示.本節(jié)的中心內(nèi)容，就是揭示如何在曲面上引進(jìn)一般的內(nèi)蘊(yùn)坐標(biāo)系.指數(shù)映射及其性質(zhì)在曲面S:r=r(ui,U2)上取定一點(diǎn)P，任取切向量veTp-{0}，作測(cè)地射線J。從P點(diǎn)出發(fā)并且以p,vv為初始切向，則命由p,vp和唯一確定.|v|取C.的正向弧長sp,v參數(shù)化ui(s),i=1,2，使p點(diǎn)在S上的曲線坐標(biāo)為(ui(0),u2(0)).定義映射=r(ui(s),u2(s))gCuS，p,v即像點(diǎn)Qs=r(ui(s),u2(s))是Cpv上從P點(diǎn)出發(fā)而經(jīng)過弧長s所到達(dá)的點(diǎn).由此定義映射expp:VuTp—Sv—expp(v)，則此映射稱為曲面S上點(diǎn)p處的指數(shù)映射例1①球面上的北極點(diǎn)處的指數(shù)映射，將北極切平面上從北極出發(fā)的射線映射成經(jīng)線及其正向延長線.②圓柱面上固定一點(diǎn)處的指數(shù)映射，將切平面上從切點(diǎn)出發(fā)的射線映射成半條直紋或半條圓柱螺線或者緯圓周及其正向延長線.口

根據(jù)常微分方程組的唯一連續(xù)性理論，從固定一點(diǎn)出發(fā)的測(cè)地線作為方程組(1.4)的解，連續(xù)可微依賴于初始切向的取值.因此，指數(shù)映射expp可定義在切平面Tp上的點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)，并且在該鄰域內(nèi)成為連續(xù)可微映射.為了深入了解指數(shù)映射的性質(zhì)，需要考察相應(yīng)的解析表達(dá)式.為此，取切平面Tp點(diǎn)P作為原點(diǎn)的單位正交標(biāo)架｛P;氣,％｝，記v=P(n1cosv+門2sinw)=yq.,p=|v|=?...,；(y1)2+(y2)2，則(yi,y2)為Tp的直角坐標(biāo)系，(p,w)為Tp的相應(yīng)極坐標(biāo)系.弓I理1若曲面S:r=r(ui,u2)上的兩族坐標(biāo)曲線在點(diǎn)P單位正交，令氣=r.|P，視指數(shù)映射expP：y=(yi,y2)—r(ui(yi,y2),u2(yi,y2))，則譽(yù)ly=(0,0)=jQT,2*證明(想法：借助于Taylor展開，將ui用yj表示)觀察下列三點(diǎn):①對(duì)于veTP-｛0｝，測(cè)恤線CP,v的微分方程由(1.4)式給出，其在點(diǎn)P處的單位切向量為V=(ds，兒=堂|s=0q.￡tp；vyvyi在切平面Tp上看，而工pq,|v|=p=s，從而(2.1)u.(2.1)u.(s)=u.(0)+票)|s=0s++票)〔=0s2+q，.=1,2.dui|,=^,P=s；dss=0p由(1.4)式和(2.1)式代入上式則得u.(p)=u.(0)+y.--2ry^l^=0yjyk+o(p2)，i=1,2.由此便易得結(jié)論.推論在引理?xiàng)l件下，指數(shù)映射expp是局部微分同胚(局部一一，可微且逆映射可微)；視指數(shù)映射expp(yi,y2)-(ui(yi,y2),u2(yi,y2))，則它是曲面S上的容許參數(shù)變換定義1上述引理及其推論中所確定的曲面S上的參數(shù)系(yi,y2)稱為S上的以P為原點(diǎn)、以qi,q2為初始標(biāo)架的(局部)法坐標(biāo)系，相應(yīng)參數(shù)系(p,w)稱為S上的以P為原點(diǎn)(或極點(diǎn))、以門］為極軸的(局部)測(cè)地極坐標(biāo)系.例2①在歐氏平面上，法坐標(biāo)系就是直角坐標(biāo)系；測(cè)地極坐標(biāo)系就是極坐標(biāo)系.球面上以北極點(diǎn)為原點(diǎn)的法坐標(biāo)系，在去掉南極的球面上是正則參數(shù)系；以北極點(diǎn)為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系，在去掉兩極的球面上是局部正則參數(shù)系.圓柱面上固定一點(diǎn)處的法坐標(biāo)系，在去掉對(duì)徑直紋的區(qū)域上是正則參數(shù)系.口法坐標(biāo)系性質(zhì)從直觀上感覺，曲面上的法坐標(biāo)系在局部近似于“歐氏平面上的直角坐標(biāo)系”.在曲面S上任取單位切向a=y0neTp，在法坐標(biāo)系(yi,y2)下，測(cè)地射線J的弧長s參數(shù)化方程直接寫為p,ay=y0商.寫曲面s上的第一基本形式為I=ds2=g..(^1,y2)dyidyj，則沿測(cè)地射線Cp〃成立由(1.4)式給出的微分方程，可簡化為p,a(22)｛「川0貧，yo2s)yojyok=0，.gjk(y01s，y。2矽ydy0k=1.在法坐標(biāo)系原點(diǎn)P(0,0)處，由法坐標(biāo)系構(gòu)造過程可見坐標(biāo)曲線在該點(diǎn)處具有單位正交自然切向，即gjk(0,0)=&jk;進(jìn)一步，在(2.2)式中令s—0，并注意到(y01,y02)的任意性便可見｛"0)=0，gjk(0,0)=如.將聯(lián)絡(luò)系數(shù)與第一基本形式系數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相互表出，上式等價(jià)化為(23)｛如，0)=0，()鏟，0)?k.至此所得的結(jié)論可以總結(jié)成下列定理.定理1(法坐標(biāo)系性質(zhì))曲面S在法坐標(biāo)系(y1,y2)下的第一基本形式系數(shù)滿足性質(zhì)(2.3)，或?qū)憺?2.4)gzj(y1,y2)=8寸+O((yi)2+(y2)2).

測(cè)地極坐標(biāo)系性質(zhì)同理，從直觀上看，曲面上的測(cè)地極坐標(biāo)系在局部近似于“歐氏平面上的極坐標(biāo)系”.在曲面S上任取單位切向a=qcosWo+%sinw0=yQi^.eTp，在測(cè)地極坐標(biāo)系(P,W)下，測(cè)地射線Cp〃的弧長s參數(shù)化方程直接寫為p,aW=Wo=const.,p=s,s>0.寫曲面S上在測(cè)地極坐標(biāo)系(P,W)=(ui,U2)下的第一基本形式為I=ds2=g..(p,W)du.duj=g*〃(yi,y2)dy.dyj，則沿測(cè)地射線Cp,a成立由(1.4)式給出的微分方程，可簡化為{r1i1(p,w0)=o，r121(p,w0)=o；g11(p,w0)=1.由此，注意到W0的任意性，有(2.5)g11(p,W)三1，r1i1(p,W)三0；從而有(g11)i三0，(r11)*ri=「擊。?弓=0，進(jìn)而(g)(g)=(r?r)=r?r+r?r=r?r='以1】2三0，lg"1V1*2J1‘112r1‘21r1'122，此即g12此即g12=g12(W).進(jìn)步，.drdrlimKJ=limpr0甲plimKJ=limpr0甲pr0tdy1廠dy2從而g12(W)=limg12(W)=limr?r=0，此即(2.6)12pr012pr0p此即(2.6)g12(p,W)三0.利用法坐標(biāo)系進(jìn)一步分析，可得下列定理.定理2(測(cè)地極坐標(biāo)系性質(zhì))曲面S在測(cè)地極坐標(biāo)系(p,W)下的第一基本形式形為I=dp2+G(p,W)dW2，其中系數(shù)G滿足性質(zhì)limVG=0，lim(\，G)=1.pr0pr0p證明(2.5)和(2.6)兩式已經(jīng)說明(2.7)式成立.為證(2.8)式，取法坐標(biāo)系(y1,y2)使1=g*j(y1,y2)dy.dyj，則(-0sinw)G=(-PSinW，PcosW)(g%)2x2"p*J=[g*1]simw+g*22cos2W-2g*12sinwcosw]p2.記f(p,W)=g*]]sin2W+g*22cos2W-2g*12sinwcosw，貝fp=(g*u)psin2W+(g*22)pcos2W-2(g*]2)psinWcosW=[(g*11)1cosW+(g*]])2sinW]sin2W+[(g*22)]cosW+(g*22)2sinW]cos2W-2[(g*12)1cosW+(g*12)2sinW]sinWcosW;故由法坐標(biāo)系性質(zhì)可知limf(p,W)=1，limfp(p,W)=0.pr0pr0*于是，當(dāng)p—0時(shí)，有'無=Wp—0，(、G)p=-..,「+fp打—1.□注記測(cè)地極坐標(biāo)系性質(zhì)當(dāng)p—0時(shí)用無窮小表示則寫為(2.9)VG=p+pO(p2)=p+O(p3).定義2在曲面S上的以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(p,W)下，設(shè)正數(shù)p0使0<p<p0時(shí)(p,W)為正則參數(shù).稱W坐標(biāo)曲線p=p0為S上的以P為(圓)心、以p0為半徑的測(cè)地圓周，記為S1(P,p0)；稱開區(qū)域D(P,p0)={r(p,W)gSIp<p0}為S上的以P為(圓)心、以p0為半徑的測(cè)地(開)圓盤；稱團(tuán)區(qū)域D(P,p0)={r(p,W)gS|p<p0}為S上的以P為(圓)心、以p0為半徑的測(cè)地閉圓盤；亦稱p0為上述測(cè)地圓周或測(cè)地圓盤的測(cè)地半徑推論1(Gauss引理)曲面S上從P點(diǎn)出發(fā)的測(cè)地射線總正交于以P為心的測(cè)地圓周．推論2(測(cè)地線局部最短性)在曲面S上的以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(p,W)下，在S上連接原點(diǎn)P和測(cè)地圓周S1(P,p0)上任一點(diǎn)Q的最短連線是存在的，并且恰為從P點(diǎn)出發(fā)而到達(dá)Q點(diǎn)的測(cè)地射線段.證明不妨設(shè)在S上連接點(diǎn)P和點(diǎn)Q的曲線段CPQ落在測(cè)地閉圓盤D(P,p0)之中，且CPQ在坐標(biāo)系(p,W)下的弧長s參數(shù)化萬程確定為{W=p2),形[0,L].則CPQ長度L有下列估計(jì)：L吒ds=j"'[p'(s)]2+["(s)]2Gds>!Lp(s)|ds>!Lp，(s)ds=p0.上式右端等于從P點(diǎn)出發(fā)而到達(dá)。點(diǎn)的測(cè)地射線段的長度；且當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，p'(s)三1,"(s)三0，CPQ也只能是測(cè)地射線段.口曲面內(nèi)蘊(yùn)幾何與平面幾何的局部差異，在一點(diǎn)鄰近可以通過測(cè)地圓周和測(cè)地圓盤的行為而做出反映，并且可用該點(diǎn)處的Gauss曲率來刻畫(參見習(xí)題1).測(cè)地凸域下面進(jìn)一步考慮最短線的局部存在范圍定義3在曲面S上給定開區(qū)域U.若對(duì)U上的任意兩點(diǎn)P、Q，存在以之為端點(diǎn)的唯一一條測(cè)地線段CPQ，使CPQ成為在S上連接兩點(diǎn)P、Q的最短連線段，并且使件"，則稱區(qū)域U為S上的一個(gè)測(cè)地凸域例3①在歐氏平面上，測(cè)地凸域就是凸域.球面上的測(cè)地凸域，最大者為開半球面.在圓柱面上，測(cè)地圓盤為測(cè)地凸域的充要條件為其測(cè)地半徑小于圓柱面正截圓周周長的四分之一.口下面在測(cè)地圓盤中考察測(cè)地凸域的存在性.注意，當(dāng)測(cè)地半徑足夠小時(shí)，Liouville公式(1.2)和測(cè)地極坐標(biāo)性質(zhì)說明，正向測(cè)地圓周的測(cè)地曲率恒正；故由此可以直觀感覺到，測(cè)地半徑的大小，能夠影響與測(cè)地圓周相切的測(cè)地線在切點(diǎn)附近的行為.具體的例子可以考察球面.一般的，有下列結(jié)論.弓I理2設(shè)曲面S上的以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(p,")在測(cè)地閉圓盤D(P,p1)有意乂.則3p0e(0,p1)，使對(duì)于V5e(0,p0)，當(dāng)測(cè)地線C切于測(cè)地圓周S1(P,5)上的點(diǎn)Q時(shí)，C在切點(diǎn)Q附近除切點(diǎn)以外的部分都嚴(yán)格地落在測(cè)地閉圓盤D(P,5)之外.

證明在以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(p,W)下，測(cè)地極坐標(biāo)性質(zhì)說明存在PoG(0,P1)，使在測(cè)地閉圓盤D(P,p0)-｛P｝之內(nèi)恒成立('拓)p>80=const.>0.此時(shí)，對(duì)于VSg(0,p0)，設(shè)弧長s參數(shù)化測(cè)地線C：｛P「P(S)、切于正向測(cè)地圓周W=W(s)S1(P,5)上的一點(diǎn)Q:(Pa,%)=(P(0)，W(0)).cos中=dsSi岫柜L(矽,晌若圖6-3記夾角函數(shù)中=頓s)為測(cè)地線Ccos中=dsSi岫柜L(矽,晌若圖6-3且可不妨設(shè)其滿足頓0)=普.而此時(shí)由Liouville公式(1.2)得0=半+(VG)罕.ds*，pds在Q點(diǎn)，如(Q)詈(0)=1，故駐1>0使半在［-￡1,￡1］恒正，從而=-代G)p件<-￡0?<0，此即說明切向角函數(shù)中(S)在［-氣，氣］嚴(yán)格單調(diào)減少.進(jìn)一步取弧長參數(shù)非空區(qū)間［-￡2,￡2］U*1((0,」))C［-氣,81］，則在其間滿足集(s)=cos頓s)*=0「<0，-￡2<s<0；，s=0；

I〉0，0<s<￡2.集(s)=cos頓s)*=0，對(duì)即：函數(shù)P(s)在弧長參數(shù)區(qū)間［-￡2,￡2］具有唯一的嚴(yán)格最小值點(diǎn)s=0應(yīng)最小值為P(0)=P(Q)=5.至此既得結(jié)論.口注記從證明過程可見，當(dāng)上述測(cè)地線C切于測(cè)地圓周S1(P,5)上的一--■一一、-?-...-.，對(duì)點(diǎn)Q且C在切點(diǎn)Q附近嚴(yán)格地落在測(cè)地團(tuán)圓盤D(P,5)之外時(shí)，點(diǎn)P到C上各點(diǎn)的最短連線的長度在切點(diǎn)Q附近有嚴(yán)格的極小值，并可實(shí)現(xiàn)為測(cè)地射線段PQ.通過測(cè)地線微分方程組關(guān)于初值的連續(xù)可微依賴性分析，根據(jù)測(cè)地線的局部最短性以及最短線一定是測(cè)地線，可證下列引理3(習(xí)題2)；并可進(jìn)一步利用引理2,用以得到測(cè)地凸域的局部存在性定理(習(xí)題3).

引理3對(duì)于曲面S上的任意一點(diǎn)P，存在以P為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系(P,W)在D(P,3p0)有意乂，并且對(duì)于VQeD(P,p0)，使以Q為原點(diǎn)的測(cè)地極坐標(biāo)系在D(P,2p0)有意義.此時(shí)，對(duì)于VQeD(P,p0)，成立二，—、—,_、—.D(P,p0)uD(Q,2p0)uD(P,3p0).定理3定理3(測(cè)地凸域局部存在性存在測(cè)地凸域包含P點(diǎn).給定曲面S上的任一點(diǎn)P，在S上1.在曲面S上給定原點(diǎn)P0和測(cè)地半徑r，記測(cè)地圓周S1(P0,r)周長為L(r)，記測(cè)地圓盤D(P0,r)面積為A(r).試證：S在點(diǎn)P0處的Gauss曲率K(P°)滿足1.K(P°)=limr^032冗r一L(r)丸r3K(P°)=limr^012冗r2—人(r)丸r4測(cè)地線族的正交軌線族(t線)圖6-42.測(cè)地線族的正交軌線族(t線)圖6-43.設(shè)正則曲面上存在測(cè)地團(tuán)圓盤D(P,3p0)，使對(duì)于V腿(0,3p0)，當(dāng)測(cè)地線C切于測(cè)地圓周S1(P,6)上的點(diǎn)Q時(shí)，C在切點(diǎn)Q附近除切點(diǎn)以外的部分都嚴(yán)格地落在.._..-..-.測(cè)地閉圓盤D(P,6)之外.證明引理3所確定的測(cè)地圓盤D