自動控制原理-講義課件

36、“不可能”這個字(法語是一個字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破侖。37、不要生氣要爭氣，不要看破要突破，不要嫉妒要欣賞，不要托延要積極，不要心動要行動。38、勤奮，機會，樂觀是成功的三要素。(注意：傳統(tǒng)觀念認為勤奮和機會是成功的要素，但是經(jīng)過統(tǒng)計學(xué)和成功人士的分析得出，樂觀是成功的第三要素。39、沒有不老的誓言，沒有不變的承諾，踏上旅途，義無反顧。40、對時間的價值沒有沒有深切認識的人，決不會堅韌勤勉。自動控制原理自動控制原理36、“不可能”這個字(法語是一個字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破侖。37、不要生氣要爭氣，不要看破要突破，不要嫉妒要欣賞，不要托延要積極，不要心動要行動。38、勤奮，機會，樂觀是成功的三要素。(注意：傳統(tǒng)觀念認為勤奮和機會是成功的要素，但是經(jīng)過統(tǒng)計學(xué)和成功人士的分析得出，樂觀是成功的第三要素。39、沒有不老的誓言，沒有不變的承諾，踏上旅途，義無反顧。40、對時間的價值沒有沒有深切認識的人，決不會堅韌勤勉。自動控制原理自動控制原理第四章（根軌跡法）#4—1根軌跡與根軌跡方程一、根軌跡：根軌跡法仍屬于時域分析法，是一種圖解法，它可用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)某個參數(shù)(如開環(huán)增益或時間常數(shù))由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在[s]平面上移動的軌跡。36、“不可能”這個字(法語是一個字)，只在愚人的字典中找得1自動控制原理_講義課件2自動控制原理_講義課件3自動控制原理_講義課件4自動控制原理_講義課件5如果變動K*，則所有Sj都要發(fā)生變化。令K*由0→∞變化，則n個特征根都將連續(xù)變化，在根（復(fù)）平面上各有一條變化軌跡，即有n條特征根的軌跡，這些軌跡稱為系統(tǒng)的根軌跡。如果變動K*，則所有Sj都要發(fā)生變化。令K*由6根軌跡圖示例（一）如圖所示的二階系統(tǒng)，R（s）C（s）KS（S+4）根軌跡圖示例（一）如圖所示的二階系統(tǒng)，R（s）C（s）KS7解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K開環(huán)極點：P1=0,P2=–4無開環(huán)零點(S)=————=————Gk(S)1+Gk(S)KS+4s+K2解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K開環(huán)極點：P8∴特征方程為：S+4S+K=02特征根：今令K=0→∞

范圍內(nèi)變化，利用解的公式計算對應(yīng)的特征根的值，通過連接這些根點，就可以在復(fù)平面上得到根軌跡曲線?！嗵卣鞣匠虨椋篠+4S+K=02特征根：今令K=9K=0,S1=0,S2=–4K=4,S1=S2=–2K=5,S1=–2+j,S2=–2–jK=8,S1=–2+2j,S2=–2–2jK→∞時,S1

→–2+j∞,S2→–2–j∞K=0,S1=0,S2=–410在復(fù)平面上，點出各對應(yīng)點的根點，把它們連接起來，再用箭頭表示它們的變化趨向，就得到二階系統(tǒng)的根軌跡圖k→∞k→∞-40-2在復(fù)平面上，點出各對應(yīng)點的根點，把它們連接起來，再用箭頭表示11有了根軌跡圖，就可對系統(tǒng)的動態(tài)性能進行分析：1、當(dāng)K=0→∞時，根軌跡均在[S]平面的左半部，因此，系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。2、當(dāng)0<K<4時，閉環(huán)特征根為實根。系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)。3、K=4時，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)。有了根軌跡圖，就可對系統(tǒng)的動態(tài)性能進行分析：1、當(dāng)K=0→∞124、K>4時，閉環(huán)特征根為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。5、開環(huán)傳遞函數(shù)有一個位于坐標(biāo)原點的極點，所以系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。4、K>4時，閉環(huán)特征根為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)13繪制根軌跡實質(zhì)上是尋找閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0的根因此滿足方程式G(s)H(s)=–1的s的值，都必定是根軌跡上的點，故稱上式為根軌跡方程。二、根軌跡方程繪制根軌跡實質(zhì)上是尋找閉環(huán)特征方程1+14利用開環(huán)傳遞函數(shù)的通式，即：

G(S)H(s)=–1為復(fù)變量，所以上式為一矢量方程，可表示為模值方程和相角方程。利用開環(huán)傳遞函數(shù)的通式，即：G(S)H(s)15模值和相角方程為：式中：模值和相角方程為：式中：16例一、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為GK(s)=———————如何應(yīng)用根軌跡方程在S平面上找到閉環(huán)極點？K(τ1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)例一、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為GK(s)=————17解：將上式改寫為零極點形式解：將上式改寫為零極點形式18S10S10191、在復(fù)平面上畫出開環(huán)的零極點。一般用X表示開環(huán)極點的位置，此系統(tǒng)有三個開環(huán)極點0、P1、P2;用小圓圈°表示開環(huán)零點的位置,此系統(tǒng)有一個開環(huán)零點Z1

成立，那么S1就是根軌跡上的點2、在復(fù)平面上任取一點S1，然后畫出從各開環(huán)零極點到S1

點的各矢量。則如果：1、在復(fù)平面上畫出開環(huán)的零極點。一般用X表示開環(huán)極點的位20例二、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為問復(fù)平面上點S1

是否為根軌跡上的點。例二、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為問復(fù)平面上點S1是否為21#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)二、根軌跡對稱于實軸三、根軌跡的起點、終點四、實軸上的根軌跡五、根軌跡漸近線六、根軌跡的起始角與終止角七、分離點坐標(biāo)八、根軌跡與虛軸的交點九、根之和練習(xí)：#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)22#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)根軌跡在復(fù)平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n，也就是分支數(shù)與閉環(huán)極點的數(shù)目相等。這是因為n階特征方程對應(yīng)有n個特征根，當(dāng)開環(huán)增益K=0→∞時，這n個特征根隨K變化，必然會出現(xiàn)n條根軌跡。#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)23二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點若為實數(shù)，則必位于實軸上，若為復(fù)數(shù)，則一定是共軛成對出現(xiàn)，所以根軌跡必對稱于實軸。二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點若為實數(shù)，則必位于實24三、根軌跡的起點、終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則有（n–m）條根軌跡終止于無窮遠處。根據(jù)根軌跡方程：三、根軌跡的起點、終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止25

根軌跡的起點，即K*=0時的閉環(huán)極點，當(dāng)K*=0時，上式右邊為無窮大，而左邊只有當(dāng)S→Pj

時，才為無窮大，所以K=0時，根軌跡分別從開環(huán)n個極點開始。即根軌跡起始于開環(huán)極點。根軌跡的終點，即K*

→∞時的閉環(huán)極點。上式可知當(dāng)K*

→∞時，右邊為0，而等式左邊只有當(dāng)S→Zi

時，才為0。所以K→∞時，根軌跡終止于各零點。

根軌跡的起點，即K*=0時的閉環(huán)極點，當(dāng)26

當(dāng)n>m時，只有m條根軌跡趨向于零點，還有（n–m）條根軌跡趨向如何？由于n>m,當(dāng)S→∞時，上式可寫成（Zi,Pj可忽略不計）則：∴當(dāng)K→∞時，有n–m條根軌跡趨于∞當(dāng)n>m時，只有m條根軌跡趨向于27四、實軸上的根軌跡

若實軸上某線段的右側(cè)，開環(huán)零極點數(shù)目之和為奇數(shù)，則該線段一定為根軌跡段。在實軸的根軌跡上取一點S1,一對開環(huán)復(fù)數(shù)零極點對S1

的向量對稱于實軸，其相角等值反號，在相角方程中將相互抵消，剩余的僅是位于實軸上的開環(huán)零極點對S1

向量，但位于S1

點左邊的開環(huán)零極點對S1點的向量相角為零，位于S1

點右邊的開環(huán)零極點構(gòu)成相角π，故根據(jù)相角方程，只有實軸上的根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零極點數(shù)之和為奇數(shù)，才能滿足相角方程。四、實軸上的根軌跡若實軸上某線段的右側(cè)，28五、根軌跡漸近線如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)K→∞

時，有（n–m）條根軌跡趨向∞，這（n–m）條根軌跡趨向無窮遠的方位，可由漸近線決定。漸近線與實軸交點坐標(biāo)：五、根軌跡漸近線如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點29漸近線與實軸正方向的夾角：K依次取0，±1,±2……一直到出現(xiàn)重復(fù)為止。漸近線與實軸正方向的夾角：K依次取0，±1,±30例一、畫出所給系統(tǒng)的根軌跡例一、畫出所給系統(tǒng)的根軌跡31解：P1=0,P2=–1,P3=–2

無零點∴有三條根軌跡趨向無窮遠，其漸近線與實軸的交點坐標(biāo)解：P1=0,P2=–1,P3=–320-1-20-1-233分離點分離點34六、分離點坐標(biāo)一般情況下，如果根軌跡位于實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間，則這兩極點間至少存在一個分離點。如果根軌跡位于兩相鄰開環(huán)零點間（其中一個零點可位于無窮遠處），那么，這兩個零點之間至少存在一個分離點。兩條或兩條以上的根軌跡的分支，可隨K的增大而相遇又立即分開的交點稱為根軌跡的分離點或會合點。分離點即為根軌跡的交點，它必為系統(tǒng)的重根，故可由特征方程取導(dǎo)數(shù)聯(lián)解得出。六、分離點坐標(biāo)一般情況下，如果根軌跡位35或：對特征方程求導(dǎo)得：或：對特征方程求導(dǎo)得：36分離點的計算公式：分離點的計算公式：37例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡38解：P1=–1,P2=–2,Z1=–3,K*=K據(jù)法則1：n=2有兩條分支據(jù)法則3：兩條分支分別起始于－1,－2點，一條終止于－3點另一條為無窮遠處。據(jù)法則4：在開環(huán)極點－1，－2，之間及開環(huán)零點（－3，－∞）之間的實軸為根軌跡據(jù)法則5：有一條漸近線K=0,則φ=π可見漸近線就是根軌跡本身。解：P1=–1,P2=–2,Z1=–39據(jù)法則6：可確定實軸上的分離點與會合點顯然–1與–2間的實軸上有分離點，在–3與–∞間的實軸上有會合點。據(jù)法則6：可確定實軸上的分離點與會合點顯然40–1–2–30–1–2–3041例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，42七、根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的相交，意味著閉環(huán)為純虛根，±jw，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此將S=jw代入特征方程中得：七、根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的相交，意味著閉43例一、試繪制下列系統(tǒng)的根軌跡圖例一、試繪制下列系統(tǒng)的根軌跡圖44解：P1=0,P2=–1,P3=–2無零點

∴有三條根軌跡趨向無窮遠，其漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為：解：P1=0,P2=–1,P3=–45分離點：分離點：46令S=jw令S=jw470–1–2P0P1P20–1–2P0P1P248例二、設(shè)反饋控制系統(tǒng)中要求：（1）概略繪制系統(tǒng)軌跡圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）如果改變反饋通路傳遞函數(shù)使H(s)=1+2S試判斷H(s)改變后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究H(s)改變所產(chǎn)生的效應(yīng)。例二、設(shè)反饋控制系統(tǒng)中要求：（1）概略繪制系統(tǒng)軌跡圖，判斷系49解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)零點，開環(huán)極點為：P1=P2=0,P3=–2,P4=–5實軸上根軌跡區(qū)間為：[–5，–2]，[0，0]根軌跡漸近線條數(shù)為：4，且：由分離點方程：得：解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)零點，開環(huán)極點實軸上根軌跡區(qū)間為：[–500–2–50–2–551從上圖可知，無論K*取何值，閉環(huán)系統(tǒng)恒不穩(wěn)定（2）當(dāng)H(s)=1+2S時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中K1*=2K*.H(s)的改變使系統(tǒng)增加了一個開環(huán)零點。實軸上的根軌跡區(qū)間為：[–∞，–5]，[–2,–0.5][0,0]從上圖可知，無論K*取何值，閉環(huán)系統(tǒng)恒不穩(wěn)定（2）當(dāng)H(52根軌跡漸近線條數(shù)為：3且：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:根軌跡漸近線條數(shù)為：3且：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:53列勞斯表S4110K*S372K*

S2K*S當(dāng)K*=22.75時，勞斯表S行的元素全為零。由輔助方程：列勞斯表S4154解得根軌跡與虛軸的交點為：S1,2=±j2.55.0–0.5–2–5解得根軌跡與虛軸的交點為：S1,2=±j2.55.55由上圖可知，當(dāng)0<K*<22.75時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定由上圖可知，當(dāng)0<K*<22.75時，閉環(huán)系統(tǒng)56八、根軌跡的起始角與終止角所謂根軌跡的起始角，是指起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與水平線的正向夾角。而根軌跡的終止角是指終止于開環(huán)零點的根軌跡，在終點處的切線與水平線的正向夾角。八、根軌跡的起始角與終止角所謂根軌跡的起始角57例一、設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的概略的根軌跡例一、設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的概略的根軌跡58解：開環(huán)極點P1=0,P2,3=–0.5±j1.5

P3=-2.5零點Z1=–1.5,Z2=–2±j1）據(jù)法則1有4條根軌跡2）據(jù)法則4則（0—–1.5）（–2.5—∞）為實軸上的根軌跡3）據(jù)法則3有n–m=4–3=1條→∞

4）據(jù)法則5求→∞的根軌跡的漸近線解：開環(huán)極點P1=0,P2,3=–0.5±595）據(jù)法則6K=0時則：5）據(jù)法則6K=0時則：600–2.5–1.50–2.5–1.561例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡62解：d1

即為所求解：d1即為所求63

Z1P1P2dZ1P1P2d64九、根之和

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在n>m時，可以表示為：九、根之和系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在n>m時，可65式中：Si

為閉環(huán)特征根當(dāng)n–m≥2時，特征方程第二項與K*無關(guān)，無論K*取何值，開環(huán)n個極點之和總是等于閉環(huán)特征方程n個根之和。式中：Si為閉環(huán)特征根66所以當(dāng)K*變化時，為常數(shù)，由此可知系統(tǒng)所有特征根之和為定值，故若有一些特征根增大時，必將有一些特征根要減小，即：當(dāng)K*增大時，若系統(tǒng)的某些特征根在復(fù)平面上向左移動（即這時對應(yīng)的根軌跡曲線向左延伸），則必有另一些特征根向右移動（即另一些相應(yīng)的根軌跡曲線向右延伸）。所以當(dāng)K*變化時，67例一、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線例一、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線68解：無零點解：無零點69下面按法則先后順序求根軌跡的參數(shù)1、因為開環(huán)有4個極點，故有4條根軌跡2、確定實軸上的根軌跡（0—–20）3、n=4,m=0所以有根軌跡→∞4條漸近線的方向和位置如下：下面按法則先后順序求根軌跡的參數(shù)1、因為開環(huán)有4個極點，故70自動控制原理_講義課件714、求根起始角因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，求P3,4

處根軌跡起始角。K=0

時，4、求根起始角因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，求P3,4725、求分離點5、求分離點736、求虛軸交點系統(tǒng)的特征方程為：令S=jw代入得：6、求虛軸交點系統(tǒng)的特征方程為：令S=jw代入得：74由：解得：由：解得：750–20–20–20–276練習(xí)：練習(xí)：77自動控制原理_講義課件78自動控制原理_講義課件79自動控制原理_講義課件80§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應(yīng)解析式二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系三、主導(dǎo)極點與偶極子§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉81§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉環(huán)零，極點表示的階躍響應(yīng)解析式設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉82式中：Zi

為閉環(huán)零點

Si

為閉環(huán)極點假設(shè)輸入為階躍作用，即r(t)=1(t),R(s)=1/S式中：Zi為閉環(huán)零點

Si為閉環(huán)極83如果中無重極點，可將上式分解成部分分式得：如果中無重極點，可將上式分解成部分分式得84自動控制原理_講義課件85經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從上式可看出：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點Sk

及系數(shù)Ak

決定，而系數(shù)Ak

也是與閉環(huán)零，極點分布有關(guān)。經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從上式可看出：系統(tǒng)的單86二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系一個控制系統(tǒng)總是希望它的輸出量盡可能復(fù)現(xiàn)給定輸入量，要求動態(tài)過程的快速性，平穩(wěn)性要好一些，要達到這一要求，閉環(huán)零極點應(yīng)如何分布呢？二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系871、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須使所有的閉環(huán)極點Si

均位于[S]平面的左半部。即Sk<02、要求系統(tǒng)快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng)式中的每個分量eSkt

衰減得快，則閉環(huán)極點應(yīng)遠離虛軸要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好，則復(fù)數(shù)極點最好設(shè)置在[S]平面中與負實軸成±450夾角線附近?！哂啥A系統(tǒng)的分析可知，共軛復(fù)數(shù)極點位于±450線上，對應(yīng)的阻尼比（ζ=0.707）為最佳阻尼比，這時系統(tǒng)的平穩(wěn)性與快速性都較理想。1、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須使所有的閉環(huán)極點Si均位于[S883、要求動態(tài)過程盡快消失，要求系數(shù)Ak

小∵Ak

小，對應(yīng)的暫態(tài)分量小。由上式可知，要使分母大，分子小，從而看出，閉環(huán)極點之間的間距(Sk

–Si)要大，零點Zi應(yīng)靠近極點Sk3、要求動態(tài)過程盡快消失，要求系數(shù)Ak小由上式可知，要使89三、主導(dǎo)極點與偶極子1、主導(dǎo)極點離虛軸最近的閉環(huán)極點（復(fù)數(shù)極點或?qū)崝?shù)極點）對系統(tǒng)動態(tài)過程性能的影響最大，起著主要的決定作用，稱為主導(dǎo)極點。一般其它極點的實部絕對值比主導(dǎo)極點的實部絕對值大6倍以上時，則那些閉環(huán)極點可以忽略。有時甚至比主導(dǎo)極點的實部絕對值大2—3倍的極點也可忽略不計。三、主導(dǎo)極點與偶極子1、主導(dǎo)極點離虛軸最近的90工程上往往只用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)2、偶極子一對靠得很近的閉環(huán)零極點，稱為偶極子。從C(t)式中可看出，當(dāng)極點Sk

與某零點Zi

靠得很近時，它們之間的模值很小，則對應(yīng)的Ak

很小，AkeSkt

也很小，故C(t)中的這個分量可忽略不計工程上往往只用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。即將系91偶極子這個概念對控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計是很有用的，我們可以有意識地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c，以抵消對動態(tài)過程影響較大的不利極點，使系統(tǒng)的動態(tài)過程獲得改善。

工程上，某極點Sk

與某零點Zi

之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級，就可以認為這對零、極點為偶極子。偶極子這個概念對控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計是很有用的，我92★4—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的暫態(tài)特性三、系統(tǒng)閉環(huán)極點的確定★4—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性93★4—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性由穩(wěn)定性的充要條件可知，只有當(dāng)系統(tǒng)的全部特征根都在復(fù)平面的左半平面上時，系統(tǒng)才穩(wěn)定。在畫系統(tǒng)根軌跡時可以看到，當(dāng)k*=0→∞時，可能出現(xiàn)一部分根軌跡落在右半根平面上的情況。于是就存在這樣的問題，即要確定k*的取值范圍，即確定與左半平面的根軌跡對應(yīng)的那些]K*值，系統(tǒng)只是在上述取值條件時，才是穩(wěn)定的?！?—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性94例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線95解：P1=0,P2=0,P3=–1有三條根軌跡，n–m=3條根軌跡→∞漸近線：解：P1=0,P2=0,P3=–1有三條96P1,P2

之間有一分離點–10–0.333P1,P2之間有一分離點–10–0.33397從根軌跡圖可以看出，不論系統(tǒng)k*取何值，總有兩條分支在右半平面上，即系統(tǒng)總不穩(wěn)定。這種不穩(wěn)定是由于開環(huán)零極點配置即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定的，故稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。從根軌跡圖可以看出，不論系統(tǒng)k*取何值，98二、系統(tǒng)的暫態(tài)特性主導(dǎo)極點在動態(tài)過程中起主要作用，那么在計算性能指標(biāo)時，在一定條件下，就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點所對應(yīng)的分量，將多階系統(tǒng)近似看作一、二階系統(tǒng)。二、系統(tǒng)的暫態(tài)特性主導(dǎo)極點在動態(tài)過程中起主要作用99例一、已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)σ%，ts.例一、已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)100解：閉環(huán)有三個極點，分別為：其零極點分布如圖所示：極點S1

離虛軸最近，所以此系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為實數(shù)極點S1，而極點S2,3可忽略不計，這時系統(tǒng)可近似看成一階系統(tǒng)。S1S2S3解：閉環(huán)有三個極點，分別為：其零極點分布如圖所示：極點S1101

式中：T=0.67S

由時域分析可知：系統(tǒng)無超調(diào)量σ%=0，ts=3T=3×0.67=2S式中：T=0.67S102例二、已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，試估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。例二、已知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，試估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。103解：閉環(huán)極點：S1=–1.5,S2,3=–4±j9.2

零點：Z1=–1.7零極點分布如圖所示：極點S1與零點Z1構(gòu)成偶極子，故主導(dǎo)極點不應(yīng)是S1，而是S2,3，則系統(tǒng)可近似為二階系統(tǒng)。

S1Z1S2S3解：閉環(huán)極點：S1=–1.5,S2,3=–4104σ%===25%σ%=105

例三、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導(dǎo)極點具有阻尼比ζ=0.5時的性能指標(biāo)。例三、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的106解：

1、作根軌跡圖⑴有三條根軌跡⑵實軸上（0—–1），（–2—–∞）為根軌跡段⑶漸近線夾角與坐標(biāo)：解：

1、作根軌跡圖107⑷分離點坐標(biāo)d∴d1=–0.423,d2=–1.58∵d2

不在根軌跡段上，故舍去。⑸求虛軸交點坐標(biāo)⑷分離點坐標(biāo)d∴d1=–0.423,d2108令S=jw

得：令S=jw得：1090–1–2

d11.414–1.4140–1–2d11.414–1.4141102、分析系統(tǒng)穩(wěn)定性當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K>3時，根軌跡將有兩條分支伸向[S]平面的右半部，這時系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍為：0<K<32、分析系統(tǒng)穩(wěn)定性當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益K>31113、根據(jù)對阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點S1,S2

的位置。首先，在[S]平面上畫出ζ=0.5時的阻尼線，使其與實軸負方向的夾角為:

θ=cos–1ζ=cos–10.5=600

，阻尼線與根軌跡相交點的坐標(biāo)設(shè)為S1，則從根軌跡圖上可測得：S1=–0.33+j0.58與S2=–0.33–j0.58

利用根軌跡的模值方程可求得與S1點對應(yīng)的k*值3、根據(jù)對阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點S1,S2的112下面確定除S1,S2極點以外的第三個極點的位置已知兩個極點S1,2=–0.33±j0.58,用綜合除法可求得第三個極點S3=–2.34S3

離虛軸的距離是S1,2

的7倍，可認為S1,2

為主導(dǎo)極點。這樣，可根據(jù)閉環(huán)主導(dǎo)極點S1,2

來估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng)的形式：下面確定除S1,S2極點以外的第三個極點的位置已知兩個極113∴σ%==16.3%∴σ%=114三、系統(tǒng)閉環(huán)極點的確定一般系統(tǒng)可用方框圖表示–R(s)C(s)三、系統(tǒng)閉環(huán)極點的確定一般系統(tǒng)可用方框圖表示–R(s)C(s115系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：故閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點由：K1K2N1(s)N2(s)+D1(s)D2(s)=0

確定，它也就是系統(tǒng)的特征根。而根軌跡正是反映當(dāng)K*=K1K2

變化時特征根的變化規(guī)律。因而只要根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)畫出了根軌跡，利用幅值方程就可按已知的K*值確定它相應(yīng)的閉環(huán)極點。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：故閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點由：1161、零點的確定閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點由：K1N1(s)D2(s)=0確定，實際上就是由N1(s)=0即系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)的零點和由D2(s)=0即系統(tǒng)反饋通道傳遞函數(shù)的極點來確定。一般前向通道和反饋通道都由典型環(huán)節(jié)聯(lián)接組成，在這種情況下，閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點也就很容易得出。1、零點的確定閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點由：K1N1(1172、閉環(huán)極點的確定在畫出根軌跡后，若要確定根軌跡上的點S1

所對應(yīng)的K*值時很容易的，因根據(jù)幅值方程：只要度量出點S1

與各開環(huán)極點間的長度Li

和S1

與各開環(huán)零點間的長度Lj代入上式就可以得出與S1

對應(yīng)的K*值。2、閉環(huán)極點的確定在畫出根軌跡后，若要確定根軌跡118但是，若已知系統(tǒng)根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）值，要找出對應(yīng)于此K*值的在n條根軌跡分支上的點，即找出系統(tǒng)的閉環(huán)極點值，卻是比較麻煩和困難的，為此，要采用試探法，即在根軌跡上找試驗點，用前面的方法計算它對應(yīng)的K*值，直到找出K*值恰好等于給定值為止。一般先在實軸上找所求的實數(shù)閉環(huán)極點，因為它比較好計算，找起來方便。在找出一個或n個閉環(huán)極點后，最后的兩個就可以用對特征方程作除法得出。但是，若已知系統(tǒng)根軌跡增益K*（或開環(huán)增益K）值，要找出對應(yīng)119例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試求當(dāng)K*=1.06

時的閉環(huán)極點。例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試求當(dāng)K*=1.06時120解：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點P1=0,P2=–

1,P3=–2

系統(tǒng)無開環(huán)零點，n=3,m

=0

有3條根軌跡分支。解：系統(tǒng)有三個開環(huán)極點P1=0,P2=–1121分離點處：根軌跡與虛軸交點：分離點處：根軌跡與虛軸交點：1220P1P2d0P1P2d123從根軌跡可看出，因分離點的K*=0.38，故當(dāng)K*>0.38后，根軌跡將進入復(fù)平面。令K*=1.06，可知它必是一個實根在

–2—–∞區(qū)間，而另兩個根為共軛復(fù)根。為此，可先在實軸根軌跡–2—–∞間用試探法求取對應(yīng)的實根。設(shè)所求實根為S1,則已知S1=–2時,K*=0,故可取S1=–2.3作試探。從根軌跡可看出，因分離點的K*=0.124如圖所示，可度量S1

點與各開環(huán)極點間的離，顯然對應(yīng)的L1=2.3,L2=1.3L3=0.3S1P3P2P1L3L2L1如圖所示，可度量S1點與各開環(huán)極點間的離，顯然對應(yīng)的L125不是所求的值，同樣可再選∴應(yīng)在–2.3—–2.5之間當(dāng)S1=–2.34時，K*=1.06用這種方法，如果開始選的S1

點離所求值差得很多，那么就可能要計算很多的點，這樣就很麻煩了，為了更快地接近目標(biāo)，可以先采一些近似估計。不是所求的值，同樣可再選∴應(yīng)在–2.3—–2.5126如對本例來說，如果開始設(shè)S1

點在極點

P3

的右側(cè)

處，則就有L3=,L2=+P2,L1=+P1

現(xiàn)在對它們作近似處理，即認為(+P2)=P2,(+P1)=P1,顯然，這種近似關(guān)系結(jié)果，必有大于所求的值，正好有利于確定準確的S1

點范圍。如對本例來說，如果開始設(shè)S1點在極點

P3的右側(cè)127時，把這個值反回去計算對應(yīng)的偏大但這樣來，已經(jīng)把所求的S1

點縮小在–2—–2.53

的范圍內(nèi)了。以后再根據(jù)K*

的偏離程度，適當(dāng)修正值，就可以很快得到比較準確的結(jié)果。時，把這個值反回去計算對應(yīng)的偏大但這樣來，已經(jīng)把所128找出實根S1=–2.34后，由特征方程式利用除法，把（S–S1）因子提出，就可以得出另兩個特征根。找出實根S1=–2.34后，由特征方程式利用除法，129再解：再解：130例二、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試求K*=4時，系統(tǒng)閉環(huán)極點值。例二、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試求K*=4時，系統(tǒng)閉環(huán)極點131解：P1=0,P2=–3,P3,4=–1±j

無零點實軸上的分離點d1=–2.29

，對應(yīng)K*=4.3復(fù)數(shù)開環(huán)極點的起始角解：P1=0,P2=–3,P3,4=–132虛軸上的交點：虛軸上的交點：1330–1–3P2P1P3P4–1.25–2.290–1–3P2P1P3P4–1.25–2.29134系統(tǒng)有4個特征根，根據(jù)所給的K*=4,比分離點K*=4.3

要小，可判斷出在實軸上由兩個根，即系統(tǒng)在K*=4

時有兩個實根和兩個共軛復(fù)根。用試探法求取實根，先有–2.29—–3

之間找第一個根，設(shè)此根為S2，它與P2=–3

的距離為，則S2

對應(yīng)的Kg

應(yīng)為：系統(tǒng)有4個特征根，根據(jù)所給的K*=4,135L1

為S2

與P1

的長度L2

為S2與P2的長度L3

為S2與P3

的長度L4為S2

與P4

的長度作近似處理來估算，即：L1為S2與P1的長度作近似處理來估算136以此再代回計算得：偏小，故應(yīng)再選大些，根據(jù)偏小程度，考慮增大引起（P2

–）和[1+（2–)2]要減小，因此增大應(yīng)比K*

偏小的程度更高，由此可選=0.46進行計算，得：以此再代回計算得：偏小，故應(yīng)再選大些，根據(jù)137就很接近了，再稍作調(diào)整，最后可得出:現(xiàn)再找0—–2.29間的根S1

，也可設(shè)S1

在–2

點的右側(cè)處近似計算得出=0近似得S1=–2

代入后再計算K*=2×1×2=4

正是所求。為實根就很接近了，再稍作調(diào)整，最后可得出:現(xiàn)再找0—–2.1382、二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點與,w

的關(guān)系2、二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點與,w的關(guān)系139根的實部就是閉環(huán)極點的橫坐標(biāo)，虛部就是閉環(huán)極點的縱坐標(biāo)，根的幅值為，相角的補角都可在圖中找出。在圖中還能看出，具有相同幅值的根將落在以為半徑的圓上，故把這種圓稱等線，具有相同阻尼系數(shù)的根將有相同的值，故以定值為傾角的直線稱為等線。所以若已知根的位置，就可以從坐標(biāo)圖確定，等值，反過來，根據(jù)給定的，，也可以確定所求的根的位置。根的實部就是閉140謝謝！61、奢侈是舒適的，否則就不是奢侈?！狢ocoChanel

62、少而好學(xué)，如日出之陽；壯而好學(xué)，如日中之光；志而好學(xué)，如炳燭之光?！獎⑾?/p>

63、三軍可奪帥也，匹夫不可奪志也?！浊?/p>

64、人生就是學(xué)校。在那里，與其說好的教師是幸福，不如說好的教師是不幸?！Ｘ悹?/p>

65、接受挑戰(zhàn)，就可以享受勝利的喜悅。——杰納勒爾·喬治·S·巴頓謝謝！61、奢侈是舒適的，否則就不是奢侈。——CocoCha14136、“不可能”這個字(法語是一個字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破侖。37、不要生氣要爭氣，不要看破要突破，不要嫉妒要欣賞，不要托延要積極，不要心動要行動。38、勤奮，機會，樂觀是成功的三要素。(注意：傳統(tǒng)觀念認為勤奮和機會是成功的要素，但是經(jīng)過統(tǒng)計學(xué)和成功人士的分析得出，樂觀是成功的第三要素。39、沒有不老的誓言，沒有不變的承諾，踏上旅途，義無反顧。40、對時間的價值沒有沒有深切認識的人，決不會堅韌勤勉。自動控制原理自動控制原理36、“不可能”這個字(法語是一個字)，只在愚人的字典中找得到。--拿破侖。37、不要生氣要爭氣，不要看破要突破，不要嫉妒要欣賞，不要托延要積極，不要心動要行動。38、勤奮，機會，樂觀是成功的三要素。(注意：傳統(tǒng)觀念認為勤奮和機會是成功的要素，但是經(jīng)過統(tǒng)計學(xué)和成功人士的分析得出，樂觀是成功的第三要素。39、沒有不老的誓言，沒有不變的承諾，踏上旅途，義無反顧。40、對時間的價值沒有沒有深切認識的人，決不會堅韌勤勉。自動控制原理自動控制原理第四章（根軌跡法）#4—1根軌跡與根軌跡方程一、根軌跡：根軌跡法仍屬于時域分析法，是一種圖解法，它可用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)某個參數(shù)(如開環(huán)增益或時間常數(shù))由零到無窮大變化時，閉環(huán)特征根在[s]平面上移動的軌跡。36、“不可能”這個字(法語是一個字)，只在愚人的字典中找得142自動控制原理_講義課件143自動控制原理_講義課件144自動控制原理_講義課件145自動控制原理_講義課件146如果變動K*，則所有Sj都要發(fā)生變化。令K*由0→∞變化，則n個特征根都將連續(xù)變化，在根（復(fù)）平面上各有一條變化軌跡，即有n條特征根的軌跡，這些軌跡稱為系統(tǒng)的根軌跡。如果變動K*，則所有Sj都要發(fā)生變化。令K*由147根軌跡圖示例（一）如圖所示的二階系統(tǒng)，R（s）C（s）KS（S+4）根軌跡圖示例（一）如圖所示的二階系統(tǒng)，R（s）C（s）KS148解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K開環(huán)極點：P1=0,P2=–4無開環(huán)零點(S)=————=————Gk(S)1+Gk(S)KS+4s+K2解：Gk(S)=————KS(s+4)K*=K開環(huán)極點：P149∴特征方程為：S+4S+K=02特征根：今令K=0→∞

范圍內(nèi)變化，利用解的公式計算對應(yīng)的特征根的值，通過連接這些根點，就可以在復(fù)平面上得到根軌跡曲線。∴特征方程為：S+4S+K=02特征根：今令K=150K=0,S1=0,S2=–4K=4,S1=S2=–2K=5,S1=–2+j,S2=–2–jK=8,S1=–2+2j,S2=–2–2jK→∞時,S1

→–2+j∞,S2→–2–j∞K=0,S1=0,S2=–4151在復(fù)平面上，點出各對應(yīng)點的根點，把它們連接起來，再用箭頭表示它們的變化趨向，就得到二階系統(tǒng)的根軌跡圖k→∞k→∞-40-2在復(fù)平面上，點出各對應(yīng)點的根點，把它們連接起來，再用箭頭表示152有了根軌跡圖，就可對系統(tǒng)的動態(tài)性能進行分析：1、當(dāng)K=0→∞時，根軌跡均在[S]平面的左半部，因此，系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。2、當(dāng)0<K<4時，閉環(huán)特征根為實根。系統(tǒng)呈過阻尼狀態(tài)。3、K=4時，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)。有了根軌跡圖，就可對系統(tǒng)的動態(tài)性能進行分析：1、當(dāng)K=0→∞1534、K>4時，閉環(huán)特征根為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。5、開環(huán)傳遞函數(shù)有一個位于坐標(biāo)原點的極點，所以系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。4、K>4時，閉環(huán)特征根為一對共軛復(fù)根，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)154繪制根軌跡實質(zhì)上是尋找閉環(huán)特征方程1+G(s)H(s)=0的根因此滿足方程式G(s)H(s)=–1的s的值，都必定是根軌跡上的點，故稱上式為根軌跡方程。二、根軌跡方程繪制根軌跡實質(zhì)上是尋找閉環(huán)特征方程1+155利用開環(huán)傳遞函數(shù)的通式，即：

G(S)H(s)=–1為復(fù)變量，所以上式為一矢量方程，可表示為模值方程和相角方程。利用開環(huán)傳遞函數(shù)的通式，即：G(S)H(s)156模值和相角方程為：式中：模值和相角方程為：式中：157例一、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為GK(s)=———————如何應(yīng)用根軌跡方程在S平面上找到閉環(huán)極點？K(τ1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)例一、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為GK(s)=————158解：將上式改寫為零極點形式解：將上式改寫為零極點形式159S10S101601、在復(fù)平面上畫出開環(huán)的零極點。一般用X表示開環(huán)極點的位置，此系統(tǒng)有三個開環(huán)極點0、P1、P2;用小圓圈°表示開環(huán)零點的位置,此系統(tǒng)有一個開環(huán)零點Z1

成立，那么S1就是根軌跡上的點2、在復(fù)平面上任取一點S1，然后畫出從各開環(huán)零極點到S1

點的各矢量。則如果：1、在復(fù)平面上畫出開環(huán)的零極點。一般用X表示開環(huán)極點的位161例二、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為問復(fù)平面上點S1

是否為根軌跡上的點。例二、單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為問復(fù)平面上點S1是否為162#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)二、根軌跡對稱于實軸三、根軌跡的起點、終點四、實軸上的根軌跡五、根軌跡漸近線六、根軌跡的起始角與終止角七、分離點坐標(biāo)八、根軌跡與虛軸的交點九、根之和練習(xí)：#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)163#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)根軌跡在復(fù)平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n，也就是分支數(shù)與閉環(huán)極點的數(shù)目相等。這是因為n階特征方程對應(yīng)有n個特征根，當(dāng)開環(huán)增益K=0→∞時，這n個特征根隨K變化，必然會出現(xiàn)n條根軌跡。#4—2根軌跡的繪制一、根軌跡的分支數(shù)164二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點若為實數(shù)，則必位于實軸上，若為復(fù)數(shù)，則一定是共軛成對出現(xiàn)，所以根軌跡必對稱于實軸。二、根軌跡對稱于實軸閉環(huán)極點若為實數(shù)，則必位于實165三、根軌跡的起點、終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則有（n–m）條根軌跡終止于無窮遠處。根據(jù)根軌跡方程：三、根軌跡的起點、終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止166

根軌跡的起點，即K*=0時的閉環(huán)極點，當(dāng)K*=0時，上式右邊為無窮大，而左邊只有當(dāng)S→Pj

時，才為無窮大，所以K=0時，根軌跡分別從開環(huán)n個極點開始。即根軌跡起始于開環(huán)極點。根軌跡的終點，即K*

→∞時的閉環(huán)極點。上式可知當(dāng)K*

→∞時，右邊為0，而等式左邊只有當(dāng)S→Zi

時，才為0。所以K→∞時，根軌跡終止于各零點。

根軌跡的起點，即K*=0時的閉環(huán)極點，當(dāng)167

當(dāng)n>m時，只有m條根軌跡趨向于零點，還有（n–m）條根軌跡趨向如何？由于n>m,當(dāng)S→∞時，上式可寫成（Zi,Pj可忽略不計）則：∴當(dāng)K→∞時，有n–m條根軌跡趨于∞當(dāng)n>m時，只有m條根軌跡趨向于168四、實軸上的根軌跡

若實軸上某線段的右側(cè)，開環(huán)零極點數(shù)目之和為奇數(shù)，則該線段一定為根軌跡段。在實軸的根軌跡上取一點S1,一對開環(huán)復(fù)數(shù)零極點對S1

的向量對稱于實軸，其相角等值反號，在相角方程中將相互抵消，剩余的僅是位于實軸上的開環(huán)零極點對S1

向量，但位于S1

點左邊的開環(huán)零極點對S1點的向量相角為零，位于S1

點右邊的開環(huán)零極點構(gòu)成相角π，故根據(jù)相角方程，只有實軸上的根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零極點數(shù)之和為奇數(shù)，才能滿足相角方程。四、實軸上的根軌跡若實軸上某線段的右側(cè)，169五、根軌跡漸近線如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)K→∞

時，有（n–m）條根軌跡趨向∞，這（n–m）條根軌跡趨向無窮遠的方位，可由漸近線決定。漸近線與實軸交點坐標(biāo)：五、根軌跡漸近線如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點170漸近線與實軸正方向的夾角：K依次取0，±1,±2……一直到出現(xiàn)重復(fù)為止。漸近線與實軸正方向的夾角：K依次取0，±1,±171例一、畫出所給系統(tǒng)的根軌跡例一、畫出所給系統(tǒng)的根軌跡172解：P1=0,P2=–1,P3=–2

無零點∴有三條根軌跡趨向無窮遠，其漸近線與實軸的交點坐標(biāo)解：P1=0,P2=–1,P3=–1730-1-20-1-2174分離點分離點175六、分離點坐標(biāo)一般情況下，如果根軌跡位于實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間，則這兩極點間至少存在一個分離點。如果根軌跡位于兩相鄰開環(huán)零點間（其中一個零點可位于無窮遠處），那么，這兩個零點之間至少存在一個分離點。兩條或兩條以上的根軌跡的分支，可隨K的增大而相遇又立即分開的交點稱為根軌跡的分離點或會合點。分離點即為根軌跡的交點，它必為系統(tǒng)的重根，故可由特征方程取導(dǎo)數(shù)聯(lián)解得出。六、分離點坐標(biāo)一般情況下，如果根軌跡位176或：對特征方程求導(dǎo)得：或：對特征方程求導(dǎo)得：177分離點的計算公式：分離點的計算公式：178例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡179解：P1=–1,P2=–2,Z1=–3,K*=K據(jù)法則1：n=2有兩條分支據(jù)法則3：兩條分支分別起始于－1,－2點，一條終止于－3點另一條為無窮遠處。據(jù)法則4：在開環(huán)極點－1，－2，之間及開環(huán)零點（－3，－∞）之間的實軸為根軌跡據(jù)法則5：有一條漸近線K=0,則φ=π可見漸近線就是根軌跡本身。解：P1=–1,P2=–2,Z1=–180據(jù)法則6：可確定實軸上的分離點與會合點顯然–1與–2間的實軸上有分離點，在–3與–∞間的實軸上有會合點。據(jù)法則6：可確定實軸上的分離點與會合點顯然181–1–2–30–1–2–30182例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡例：已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，183七、根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的相交，意味著閉環(huán)為純虛根，±jw，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此將S=jw代入特征方程中得：七、根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的相交，意味著閉184例一、試繪制下列系統(tǒng)的根軌跡圖例一、試繪制下列系統(tǒng)的根軌跡圖185解：P1=0,P2=–1,P3=–2無零點

∴有三條根軌跡趨向無窮遠，其漸近線與實軸的交點坐標(biāo)為：解：P1=0,P2=–1,P3=–186分離點：分離點：187令S=jw令S=jw1880–1–2P0P1P20–1–2P0P1P2189例二、設(shè)反饋控制系統(tǒng)中要求：（1）概略繪制系統(tǒng)軌跡圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）如果改變反饋通路傳遞函數(shù)使H(s)=1+2S試判斷H(s)改變后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究H(s)改變所產(chǎn)生的效應(yīng)。例二、設(shè)反饋控制系統(tǒng)中要求：（1）概略繪制系統(tǒng)軌跡圖，判斷系190解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)零點，開環(huán)極點為：P1=P2=0,P3=–2,P4=–5實軸上根軌跡區(qū)間為：[–5，–2]，[0，0]根軌跡漸近線條數(shù)為：4，且：由分離點方程：得：解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)零點，開環(huán)極點實軸上根軌跡區(qū)間為：[–1910–2–50–2–5192從上圖可知，無論K*取何值，閉環(huán)系統(tǒng)恒不穩(wěn)定（2）當(dāng)H(s)=1+2S時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中K1*=2K*.H(s)的改變使系統(tǒng)增加了一個開環(huán)零點。實軸上的根軌跡區(qū)間為：[–∞，–5]，[–2,–0.5][0,0]從上圖可知，無論K*取何值，閉環(huán)系統(tǒng)恒不穩(wěn)定（2）當(dāng)H(193根軌跡漸近線條數(shù)為：3且：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:根軌跡漸近線條數(shù)為：3且：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:194列勞斯表S4110K*S372K*

S2K*S當(dāng)K*=22.75時，勞斯表S行的元素全為零。由輔助方程：列勞斯表S41195解得根軌跡與虛軸的交點為：S1,2=±j2.55.0–0.5–2–5解得根軌跡與虛軸的交點為：S1,2=±j2.55.196由上圖可知，當(dāng)0<K*<22.75時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定由上圖可知，當(dāng)0<K*<22.75時，閉環(huán)系統(tǒng)197八、根軌跡的起始角與終止角所謂根軌跡的起始角，是指起始于開環(huán)極點的根軌跡在起點處的切線與水平線的正向夾角。而根軌跡的終止角是指終止于開環(huán)零點的根軌跡，在終點處的切線與水平線的正向夾角。八、根軌跡的起始角與終止角所謂根軌跡的起始角198例一、設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的概略的根軌跡例一、設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試繪制系統(tǒng)的概略的根軌跡199解：開環(huán)極點P1=0,P2,3=–0.5±j1.5

P3=-2.5零點Z1=–1.5,Z2=–2±j1）據(jù)法則1有4條根軌跡2）據(jù)法則4則（0—–1.5）（–2.5—∞）為實軸上的根軌跡3）據(jù)法則3有n–m=4–3=1條→∞

4）據(jù)法則5求→∞的根軌跡的漸近線解：開環(huán)極點P1=0,P2,3=–0.5±2005）據(jù)法則6K=0時則：5）據(jù)法則6K=0時則：2010–2.5–1.50–2.5–1.5202例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡203解：d1

即為所求解：d1即為所求204

Z1P1P2dZ1P1P2d205九、根之和

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在n>m時，可以表示為：九、根之和系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在n>m時，可206式中：Si

為閉環(huán)特征根當(dāng)n–m≥2時，特征方程第二項與K*無關(guān)，無論K*取何值，開環(huán)n個極點之和總是等于閉環(huán)特征方程n個根之和。式中：Si為閉環(huán)特征根207所以當(dāng)K*變化時，為常數(shù)，由此可知系統(tǒng)所有特征根之和為定值，故若有一些特征根增大時，必將有一些特征根要減小，即：當(dāng)K*增大時，若系統(tǒng)的某些特征根在復(fù)平面上向左移動（即這時對應(yīng)的根軌跡曲線向左延伸），則必有另一些特征根向右移動（即另一些相應(yīng)的根軌跡曲線向右延伸）。所以當(dāng)K*變化時，208例一、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線例一、已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線209解：無零點解：無零點210下面按法則先后順序求根軌跡的參數(shù)1、因為開環(huán)有4個極點，故有4條根軌跡2、確定實軸上的根軌跡（0—–20）3、n=4,m=0所以有根軌跡→∞4條漸近線的方向和位置如下：下面按法則先后順序求根軌跡的參數(shù)1、因為開環(huán)有4個極點，故211自動控制原理_講義課件2124、求根起始角因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，求P3,4

處根軌跡起始角。K=0

時，4、求根起始角因開環(huán)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，求P3,42135、求分離點5、求分離點2146、求虛軸交點系統(tǒng)的特征方程為：令S=jw代入得：6、求虛軸交點系統(tǒng)的特征方程為：令S=jw代入得：215由：解得：由：解得：2160–20–20–20–2217練習(xí)：練習(xí)：218自動控制原理_講義課件219自動控制原理_講義課件220自動控制原理_講義課件221§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應(yīng)解析式二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系三、主導(dǎo)極點與偶極子§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉222§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉環(huán)零，極點表示的階躍響應(yīng)解析式設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：§4—3系統(tǒng)閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的關(guān)系

一、用閉223式中：Zi

為閉環(huán)零點

Si

為閉環(huán)極點假設(shè)輸入為階躍作用，即r(t)=1(t),R(s)=1/S式中：Zi為閉環(huán)零點

Si為閉環(huán)極224如果中無重極點，可將上式分解成部分分式得：如果中無重極點，可將上式分解成部分分式得225自動控制原理_講義課件226經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從上式可看出：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點Sk

及系數(shù)Ak

決定，而系數(shù)Ak

也是與閉環(huán)零，極點分布有關(guān)。經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)從上式可看出：系統(tǒng)的單227二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系一個控制系統(tǒng)總是希望它的輸出量盡可能復(fù)現(xiàn)給定輸入量，要求動態(tài)過程的快速性，平穩(wěn)性要好一些，要達到這一要求，閉環(huán)零極點應(yīng)如何分布呢？二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系2281、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須使所有的閉環(huán)極點Si

均位于[S]平面的左半部。即Sk<02、要求系統(tǒng)快速性好，應(yīng)使階躍響應(yīng)式中的每個分量eSkt

衰減得快，則閉環(huán)極點應(yīng)遠離虛軸要求系統(tǒng)平穩(wěn)性好，則復(fù)數(shù)極點最好設(shè)置在[S]平面中與負實軸成±450夾角線附近。∵由二階系統(tǒng)的分析可知，共軛復(fù)數(shù)極點位于±450線上，對應(yīng)的阻尼比（ζ=0.707）為最佳阻尼比，這時系統(tǒng)的平穩(wěn)性與快速性都較理想。1、要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則必須使所有的閉環(huán)極點Si均位于[S2293、要求動態(tài)過程盡快消失，要求系數(shù)Ak

小∵Ak

小，對應(yīng)的暫態(tài)分量小。由上式可知，要使分母大，分子小，從而看出，閉環(huán)極點之間的間距(Sk

–Si)要大，零點Zi應(yīng)靠近極點Sk3、要求動態(tài)過程盡快消失，要求系數(shù)Ak小由上式可知，要使230三、主導(dǎo)極點與偶極子1、主導(dǎo)極點離虛軸最近的閉環(huán)極點（復(fù)數(shù)極點或?qū)崝?shù)極點）對系統(tǒng)動態(tài)過程性能的影響最大，起著主要的決定作用，稱為主導(dǎo)極點。一般其它極點的實部絕對值比主導(dǎo)極點的實部絕對值大6倍以上時，則那些閉環(huán)極點可以忽略。有時甚至比主導(dǎo)極點的實部絕對值大2—3倍的極點也可忽略不計。三、主導(dǎo)極點與偶極子1、主導(dǎo)極點離虛軸最近的231工程上往往只用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。即將系統(tǒng)近似地看成是一階或二階系統(tǒng)2、偶極子一對靠得很近的閉環(huán)零極點，稱為偶極子。從C(t)式中可看出，當(dāng)極點Sk

與某零點Zi

靠得很近時，它們之間的模值很小，則對應(yīng)的Ak

很小，AkeSkt

也很小，故C(t)中的這個分量可忽略不計工程上往往只用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的動態(tài)性能。即將系232偶極子這個概念對控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計是很有用的，我們可以有意識地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c，以抵消對動態(tài)過程影響較大的不利極點，使系統(tǒng)的動態(tài)過程獲得改善。

工程上，某極點Sk

與某零點Zi

之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級，就可以認為這對零、極點為偶極子。偶極子這個概念對控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計是很有用的，我233★4—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)的暫態(tài)特性三、系統(tǒng)閉環(huán)極點的確定★4—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性234★4—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性由穩(wěn)定性的充要條件可知，只有當(dāng)系統(tǒng)的全部特征根都在復(fù)平面的左半平面上時，系統(tǒng)才穩(wěn)定。在畫系統(tǒng)根軌跡時可以看到，當(dāng)k*=0→∞時，可能出現(xiàn)一部分根軌跡落在右半根平面上的情況。于是就存在這樣的問題，即要確定k*的取值范圍，即確定與左半平面的根軌跡對應(yīng)的那些]K*值，系統(tǒng)只是在上述取值條件時，才是穩(wěn)定的?！?—4用根軌跡分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性235例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線例一、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試繪制其根軌跡曲線236解：P1=0,P2=0,P3=–1有三條根軌跡，n–m=3條根軌跡→∞漸近線：解：P1=0,P2=0,P3=–1有三條237P1,P2

之間有一分離點–10–0.333P1,P2之間有一分離點–10–0.333238從根軌跡圖可以看出，不論系統(tǒng)k*取何值，總有兩條分支在右半平面上，即系統(tǒng)總不穩(wěn)定。這種不穩(wěn)定是由于開環(huán)零極點