安徽省安慶市第九中學(xué)高一數(shù)學(xué)《34生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例(第一課時(shí))》教案(必修五)

3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（第一課時(shí)）授課目的：1．使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，領(lǐng)悟?qū)?shù)在解決實(shí)責(zé)問(wèn)題中的作用2．提高將實(shí)責(zé)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力授課重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題．授課難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題．授課過(guò)程：一．創(chuàng)立情況生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題平時(shí)稱為優(yōu)化問(wèn)題．經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題．二．新課解說(shuō)導(dǎo)數(shù)在實(shí)質(zhì)生活中的應(yīng)用主若是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)責(zé)問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成真有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：優(yōu)化問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)模型作答優(yōu)化問(wèn)題的答案用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題三．典例解析例1．海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，平時(shí)需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。怎樣設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最?。拷猓涸O(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為128dm,此時(shí)四周空白面積為xS(x)(x4)(1282)1282x5128,x0。xx求導(dǎo)數(shù)，得'(x)2512Sx2。512令S'(x)20，解得x16(x16舍去）。x2于是寬為1281288。x16當(dāng)x(0,16)時(shí)，S'(x)<0；當(dāng)x(16,)時(shí)，S'(x)>0.因此，x16是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。因此，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。例2．飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響某制造商制造并銷售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每銷售1mL的飲料，制造商可盈利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大多數(shù)徑為6cm問(wèn)題：（１）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最小？解：由于瓶子的半徑為r，因此每瓶飲料的利潤(rùn)是yfr0.24r30.8r20.8r3r2,0r633令fr0.8(r22r)0解得r2（r0舍去）當(dāng)r0,2時(shí)，fr0；當(dāng)r2,6時(shí)，fr0．當(dāng)半徑r2時(shí)，fr0它表示fr單調(diào)遞加，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑r2時(shí)，fr0它表示fr單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低．（1）半徑為2cm時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)f20，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值．2）半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大．例3．磁盤的最大儲(chǔ)藏量問(wèn)題問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的儲(chǔ)藏區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形地域．1）是不是r越小，磁盤的儲(chǔ)藏量越大？2）r為多少時(shí)，磁盤擁有最大儲(chǔ)藏量（最外面的磁道不儲(chǔ)藏任何信息）？解：由題意知：儲(chǔ)藏量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)儲(chǔ)藏區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于m，且最外面的磁道不儲(chǔ)藏任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)Rr。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大儲(chǔ)藏量，最內(nèi)一條磁道m(xù)2r必定裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。因此，磁盤總儲(chǔ)藏量nf(r)Rr×2r2r(Rr)mnmn（1）它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小，磁盤的儲(chǔ)藏量越大．(2）為求f(r)的最大值，計(jì)算f(r)0．f(r)22rRmn令f(r)0，解得rR2R時(shí)，f(r)0；當(dāng)rR當(dāng)r時(shí)，f(r)0．22因此rR2R22時(shí)，磁盤擁有最大儲(chǔ)藏量。此時(shí)最大儲(chǔ)藏量為mn4例4．圓柱形金屬飲料罐的容積一準(zhǔn)時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣采用，才能使所用的資料最?。拷猓涸O(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得hV，則VR22V22S(R)=2πRR2+2πR=R+2πR令s(R)2V+4πR=0R2解得，R=3V，從而h=V=V=34V=23V2R2(3V)22即h=2R由于S(R)只有一個(gè)極值，因此它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用資料最省四．課堂練習(xí)1．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若是所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．

（高為

1.2m，最大容積

1.8m3）2．課本練習(xí)五．回顧總結(jié)1．利用