西安電子科技大學(xué)《復(fù)變函數(shù)與場論》課件- 留數(shù)的知識(shí)

第五章留數(shù)一、孤立奇點(diǎn)的概念定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱為的孤立奇點(diǎn).例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).第一節(jié)孤立奇點(diǎn)例2指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),的奇點(diǎn)存在,函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以函數(shù)在孤立奇點(diǎn)以外的奇點(diǎn)稱為非孤立奇點(diǎn).孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:1．可去奇點(diǎn)1．可去奇點(diǎn);2．極點(diǎn);3．本性奇點(diǎn).如果洛朗級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)

稱為

的可去奇點(diǎn).1)定義其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.2)可去奇點(diǎn)的判定(1)由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2)

判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例3中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).例4說明為的可去奇點(diǎn).解

所以為的可去奇點(diǎn).無負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為2.極點(diǎn)

其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),說明:1.2.特點(diǎn):(1)(2)的極點(diǎn),則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二級(jí)極點(diǎn),是一級(jí)極點(diǎn).2)極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開式中含有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)由定義判別(2)由定義的等價(jià)形式判別(3)利用極限判斷.例6求函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定類型.解是奇點(diǎn).是二級(jí)極點(diǎn);是三級(jí)極點(diǎn).本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn):在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為同時(shí)不存在.綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值不存在且不為無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)最高冪為存在且有限二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1.零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱為的

m級(jí)零點(diǎn).例6注意:

不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.2.零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的充要條件是證(必要性)由定義:設(shè)的泰勒展開式為:如果在解析,那末為的級(jí)如果為的級(jí)零點(diǎn)其中展開式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零,由泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略.(1)由于知是的一級(jí)零點(diǎn)，課堂練習(xí)是五級(jí)零點(diǎn),是二級(jí)零點(diǎn).知是的一級(jí)零點(diǎn).解

(2)答案例7求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù):(1)(2)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù).求尚有另2個(gè)一級(jí)零點(diǎn).3.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理如果是的m級(jí)極點(diǎn),那末就是的

m級(jí)零點(diǎn).反過來也成立.證如果是的m級(jí)極點(diǎn),則有當(dāng)時(shí),函數(shù)在解析且由于只要令那末的m級(jí)零點(diǎn).就是反之如果

的m級(jí)零點(diǎn),是那末當(dāng)時(shí),解析且所以是的m級(jí)極點(diǎn).說明此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡便的方法.例8函數(shù)有些什么奇點(diǎn),如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是是孤立奇點(diǎn).的一級(jí)極點(diǎn).即解

解析且所以不是二級(jí)極點(diǎn),而是一級(jí)極點(diǎn)//可去奇點(diǎn).是的幾級(jí)極點(diǎn)?思考例9問是的二級(jí)極點(diǎn)嗎?注意:不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論.三、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)定義注RZ規(guī)定：判別法1(利用變換域級(jí)數(shù)進(jìn)行判斷)1)不含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項(xiàng);那末是的1)可去奇點(diǎn);2)m級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn).2

(利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn))2.判別方法在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中:如果例10(1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式為:不含正冪項(xiàng)所以是的可去奇點(diǎn).(2)函數(shù)含有正冪項(xiàng)且z為最高正冪項(xiàng),所以是的一級(jí)極點(diǎn).(3)函數(shù)的展開式:含有無窮多的正冪項(xiàng)所以是的本性奇點(diǎn).課堂練習(xí)的奇點(diǎn)及其類型.說出函數(shù)答案判別法3:(利用極限特點(diǎn))如果極限1)存在且為有限值;2)無窮大;3)不存在且不為無窮大;那末是的1)可去奇點(diǎn);2)m級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn).存在且有限例11函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)?如果是極點(diǎn),指出它的級(jí).解

函數(shù)除點(diǎn)外,所以這些點(diǎn)都是的一級(jí)零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除1,-1,2外,都是的三級(jí)極點(diǎn).內(nèi)解析.在所以那末是的可去奇點(diǎn).因?yàn)椴皇堑墓铝⑵纥c(diǎn).所以一、留數(shù)的引入設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡單閉曲線第二節(jié)留數(shù)0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0(柯西-古薩基本定理)定義

記作的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱為以如果Residue

二、利用留數(shù)求積分說明:2.留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).1.留數(shù)定理在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點(diǎn)函數(shù)證[證畢]兩邊同時(shí)除以且...如圖2.留數(shù)的計(jì)算方法(1)如果為的可去奇點(diǎn),如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末規(guī)則1成洛朗級(jí)數(shù)求(2)如果為的本性奇點(diǎn),(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則則需將展開如果為的級(jí)極點(diǎn),規(guī)則2證那末+(含有正冪的項(xiàng))兩邊求階導(dǎo)數(shù),[證畢]得規(guī)則3如果設(shè)及在都解析，證的一級(jí)零點(diǎn),為的一級(jí)極點(diǎn).為那末為的一級(jí)極點(diǎn),且有解析且在因此其中在解析且為的一級(jí)極點(diǎn),三、在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)注意積分路線取順時(shí)針方向說明記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡單閉曲線，.......證由留數(shù)定義有:(繞原點(diǎn)的并將內(nèi)部的正向簡單閉曲線)包含在2.定理二如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.[證畢]說明:由定理得(留數(shù)定理)計(jì)算積分計(jì)算無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).優(yōu)點(diǎn):使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡化.(避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù))3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則4說明:定理二和規(guī)則4提供了計(jì)算函數(shù)沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.現(xiàn)取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周:于是有證內(nèi)除在外無其他奇點(diǎn).[證畢]四、典型例題例1求在的留數(shù).解例2求在的留數(shù).分析是的三級(jí)零點(diǎn)由規(guī)則2得計(jì)算較麻煩.如果利用洛朗展開式求較方便:解說明:

如為m級(jí)極點(diǎn)，當(dāng)m較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí),可直接展開洛朗級(jí)數(shù)求來計(jì)算留數(shù).2.在應(yīng)用規(guī)則2時(shí),取得比實(shí)際的級(jí)數(shù)高.級(jí)數(shù)高反而使計(jì)算方便.1.在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則.為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把m取得比實(shí)際的如上例取例3求在的留數(shù).解是的四級(jí)極點(diǎn).在內(nèi)將展成洛朗級(jí)數(shù):例4求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).解(1)在內(nèi),解解為奇點(diǎn),當(dāng)時(shí)為一級(jí)極點(diǎn)，(分子3級(jí)零點(diǎn)、分母2級(jí)零點(diǎn))解的一級(jí)極點(diǎn)為例5計(jì)算積分C為正向圓周:解為一級(jí)極點(diǎn),為二級(jí)極點(diǎn),例6計(jì)算積分C為正向圓周:函數(shù)在的外部,除點(diǎn)外沒有其他奇點(diǎn).解根據(jù)定理2與規(guī)則4:與以下解法作比較:被積函數(shù)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn)都在圓周的內(nèi)部,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)更簡單.例7計(jì)算積分C為正向圓周:解

除被積函數(shù)點(diǎn)外,其他奇點(diǎn)為由于與1在C的內(nèi)部,則所以思考題答案

思想方法:封閉路線的積分.兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條第三節(jié)

留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用當(dāng)歷經(jīng)變程時(shí),的正方向繞行一周.z沿單位圓周一、形如的積分z的有理函數(shù),且在單位圓周上分母不為零,滿足留數(shù)定理的條件.包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).例1計(jì)算積分解則例2計(jì)算解令極點(diǎn)為:(在單位圓內(nèi))(在單位圓外)例3解故積分有意義.因此若有理函數(shù)R(x)的分母至少比分子高兩次,并且函數(shù)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).一般設(shè)分析可先討論最后令即可.二、形如的積分2.

積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的按段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.

被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).xy..這里可補(bǔ)線(以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周)與一起構(gòu)成封閉曲線C,R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取R適當(dāng)大,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)都包在這積分路線內(nèi).根據(jù)留數(shù)定理得:當(dāng)充分大時(shí),總可使例4計(jì)算積分解

在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn)xy..積分存在要求:R(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且R(z)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).與曲線C,使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)包在這積分路線內(nèi).同前一型:補(bǔ)線一起構(gòu)成封閉都三、形如的積分對于充分大的,且時(shí),有從而由留數(shù)定理:例5計(jì)算積分解

在上半平面