第講蒙特卡洛方法初探課件

第講蒙特卡洛方法初探1、不要輕言放棄，否則對不起自己。2、要冒一次險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場冒險(xiǎn)。走得最遠(yuǎn)的人，常是愿意去做，并愿意去冒險(xiǎn)的人?！胺€(wěn)妥”之船，從未能從岸邊走遠(yuǎn)。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒有加糖的咖啡，喝起來是苦澀的，回味起來卻有久久不會退去的余香。4、守業(yè)的最好辦法就是不斷的發(fā)展。5、當(dāng)愛不能完美，我寧愿選擇無悔，不管來生多么美麗，我不愿失去今生對你的記憶，我不求天長地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。第講蒙特卡洛方法初探第講蒙特卡洛方法初探1、不要輕言放棄，否則對不起自己。2、要冒一次險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場冒險(xiǎn)。走得最遠(yuǎn)的人，常是愿意去做，并愿意去冒險(xiǎn)的人?！胺€(wěn)妥”之船，從未能從岸邊走遠(yuǎn)。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒有加糖的咖啡，喝起來是苦澀的，回味起來卻有久久不會退去的余香。4、守業(yè)的最好辦法就是不斷的發(fā)展。5、當(dāng)愛不能完美，我寧愿選擇無悔，不管來生多么美麗，我不愿失去今生對你的記憶，我不求天長地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。蒙特卡洛方法初探實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)模擬的基本過程與方法。1、模擬的概念。4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。3、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例。2、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令。第講蒙特卡洛方法初探1、不要輕言放棄，否則對不起自己。第講蒙1第講蒙特卡洛方法初探課件2第講蒙特卡洛方法初探課件3第講蒙特卡洛方法初探課件4第講蒙特卡洛方法初探課件5

在實(shí)際問題中，面對一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設(shè)，與面臨的實(shí)際問題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無法應(yīng)用。這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇。

在一定的假設(shè)條件下，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算模擬系統(tǒng)的運(yùn)行，稱為數(shù)學(xué)模擬?，F(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱為計(jì)算機(jī)模擬。2、數(shù)學(xué)模擬

計(jì)算機(jī)模擬可以反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易。在實(shí)際問題中，面對一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方6

蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的方法．此方法對研究的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，通過對樣本值的統(tǒng)計(jì)分析，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)．蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用7用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：[1]設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖，即模擬模型．這個(gè)框圖要正確反映系統(tǒng)各部分運(yùn)行時(shí)的邏輯關(guān)系。[2]模擬隨機(jī)現(xiàn)象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象．用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：[1]設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖8產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令

在Matlab軟件中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機(jī)數(shù)，命令如下：1．產(chǎn)生m*n階(a，b)均勻分布U（a，b）的隨機(jī)數(shù)矩陣：unifrnd(a,b,m,n);產(chǎn)生一個(gè)[a，b]均勻分布的隨機(jī)數(shù)：unifrnd(a,b)

當(dāng)只知道一個(gè)隨機(jī)變量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它。產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令在Matlab軟件中，可以92．產(chǎn)生mm*nn階離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：R=unidrnd(N)R=unidrnd(N,mm,nn)2．產(chǎn)生mm*nn階離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：10當(dāng)研究對象視為大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時(shí)，可以認(rèn)為該對象服從正態(tài)分布。當(dāng)研究對象視為大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對11若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。指數(shù)分布的期望值為

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為指數(shù)分布的期望值為12排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)間隔、質(zhì)量與可靠性中電子元件的壽命通常服從指數(shù)分布。例顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為10(分鐘)的指數(shù)分布(指數(shù)分布的均值為10)-----指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是10分鐘.即平均10分鐘到達(dá)1個(gè)顧客.顧客到達(dá)的間隔時(shí)間可用exprnd(10)模擬。排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)間隔、質(zhì)量與可靠性中電子元件的壽命通常13設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值的概率為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的帕松分布。帕松分布在排隊(duì)系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。帕松分布的期望值為設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值146產(chǎn)生1個(gè)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)binornd(n,p)，產(chǎn)生mn個(gè)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)binornd(n,p,m,n)。擲一枚均勻硬幣，正面朝上的次數(shù)X服從參數(shù)為１，p的二項(xiàng)分布,X~B(1,p)6產(chǎn)生1個(gè)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)binornd(n15頻率的穩(wěn)定性模擬1.事件的頻率在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記m是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。頻率f=m/n2.頻率的穩(wěn)定性

擲一枚均勻硬幣，記錄擲硬幣試驗(yàn)中頻率P*的波動情況。頻率的穩(wěn)定性模擬1.事件的頻率2.頻率的穩(wěn)定性擲16functionliti1(p,mm)pro=zeros(1,mm);randnum=binornd(1,p,1,mm)a=0;fori=1:mma=a+randnum(1,i);pro(i)=a/i;endpro=pronum=1:mm;plot(num,pro)在Matlab中編輯.m文件輸入以下命令：functionliti1(p,mm)在Matlab中編輯17在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1018在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,10000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1019練習(xí)擲一枚不均勻硬幣，正面出現(xiàn)概率為0.3，記錄前1000次擲硬幣試驗(yàn)中正面頻率的波動情況，并畫圖。練習(xí)擲一枚不均勻硬幣，正面出現(xiàn)概率為0.3，記錄前1000次20在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1021例2擲兩枚不均勻硬幣，每枚正面出現(xiàn)概率為0.4，記錄前1000次擲硬幣試驗(yàn)中兩枚都為正面頻率的波動情況，并畫圖。在Matlab中編輯.m文件輸入以下命令：functionliti2(p,mm)pro=zeros(1,mm);randnum=binornd(1,p,2,mm)；a=0;fori=1:mma=a+randnum(1,i)*randnum(2,i);pro(i)=a/i;endpro=pro，num=1:mm;plot(num,pro)例2擲兩枚不均勻硬幣，每枚正面出現(xiàn)概率為0.4，記錄前1022liti2(0.4,100)liti2(0.4,100)23liti2(0.4,10000)liti2(0.4,10000)24例3:在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,10。每次任取一個(gè)球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號碼均為偶數(shù)的概率。（用頻率估計(jì)概率）

解：有放回取3個(gè)球,所有取法有103種;有放回取3個(gè)偶數(shù)號碼的球,所有取法有53種.所以古典概率模擬

例3:在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,25functionproguji=liti3(n,mm)frq=0;randnum=unidrnd(n,mm,3);proguji=0;fori=1:mma=(randnum(i,1)+1)*(randnum(i,2)+1)*(randnum(i,3)+1)；ifmod(a,2)==1frq=frq+1endend;proguji=frq/mmfunctionproguji=liti3(n,mm)26例4兩盒火柴，每盒20根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。問其中一盒中火柴被取完而另一盒中至少還有5根火柴的概率有多大？（用頻率估計(jì)概率）例4兩盒火柴，每盒20根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。27functionproguji=liti40(mm)%mm是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnum=binornd(1,0.5,mm,2*20);proguji=0;fori=1:mma1=0;a2=0;j=1;while(a1<20)&(a2<20)ifrandnum(i,j)==1a1=a1+1;elsea2=a2+1;endj=j+1;endifabs(a1-a2)>=5frq=frq+1;endend;proguji=frq/mmfunctionproguji=liti40(mm)28>>liti40(100)proguji=0.4800>>liti40(1000)proguji=0.4970>>liti40(10000)proguji=0.4910>>liti40(100000)proguji=0.4984>>liti40(100)29例4兩盒火柴，每盒n根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。問其中一盒中火柴被取完而另一盒中至少還有k根火柴的概率有多大？（用頻率估計(jì)概率）例4兩盒火柴，每盒n根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。問30functionproguji=liti4(n,k,mm)%n是每盒中的火柴數(shù)%k是剩余的火柴數(shù)%mm是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnum=binornd(1,0.5,mm,2*n);proguji=0;fori=1:mma1=0;a2=0;j=1;while(a1<n)&(a2<n)ifrandnum(i,j)==1a1=a1+1;elsea2=a2+1;endj=j+1;endifabs(a1-a2)>=k,frq=frq+1;end%a1=a1,a2=a2,frq%pauseend;proguji=frq/mmfunctionproguji=liti4(n,k,mm)31>>liti4(20,5,100)proguji=0.4800>>liti4(20,5,1000)proguji=0.4970>>liti4(20,5,10000)proguji=0.4910>>liti4(20,5,100000)proguji=0.4984>>liti4(20,5,100)32

幾何概率模擬1.定義

向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投的點(diǎn)落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)，則稱這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)?；蚝喎Q為幾何概型。幾何概率模擬1.定義向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投332.概率計(jì)算

P(A)=[A的度量]/[S的度量]例5兩人約定于12點(diǎn)到1點(diǎn)到某地會面，先到者等20分鐘后離去，試求兩人能會面的概率？

解：設(shè)x,y分別為甲、乙到達(dá)時(shí)刻(分鐘)令A(yù)={兩人能會面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面積/S的面積=（602-402）/602=5/9=0.55562.概率計(jì)算P(A)=[A的度量]/[S的度量]例534functionproguji=liti5(mm)%mm是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnum1=unifrnd(0,60,mm,1);randnum2=unifrnd(0,60,mm,1);randnum=randnum1-randnum2;proguji=0;forii=1:mmifabs(randnum(ii,1))<=20frq=frq+1;endendproguji=frq/mmliti5(10000)proguji=0.5557functionproguji=liti5(mm)liti35例6

在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對我方進(jìn)行干擾和破壞．為躲避我方打擊，敵方對其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn)．

經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對敵方目標(biāo)的指示有50％是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的概率能毀傷敵人一門火炮，有1/6的概率能全部消滅敵人．

現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對敵人實(shí)施的1次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來，利用頻率穩(wěn)定性，確定有效射擊(毀傷一門炮或全部消滅)的概率.復(fù)雜概率模擬例6在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單36分析：這是一個(gè)復(fù)雜概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率.

為了直觀地顯示我方射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式。分析：這是一個(gè)復(fù)雜概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的37

需要模擬出以下兩件事：

1.問題分析[1]觀察所對目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2．

因此，可用投擲一枚硬幣的方式予以確定,當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確．需要模擬出以下兩件事：1.38[2]當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況

模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷一門火炮的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6)．

這時(shí)可用投擲骰子的方法來確定：如果出現(xiàn)的是１、２、３三個(gè)點(diǎn)：則認(rèn)為沒能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是４、５點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是６點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮．[2]當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況392.符號假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)；k1：沒擊中敵人火炮的射擊總數(shù)；k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)．E：有效射擊(毀傷一門炮或兩門炮)的概率2.符號假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)；403.模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i＜mm?E=(k2+k3)/mm停止硬幣正面?YNNY1，2，34，563.模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i41functionliti6(p,mm)efreq=zeros(1,mm);randnum1=binornd(1,p,1,mm);randnum2=unidrnd(6,1,mm);k1=0;k2=0;k3=0;fori=1:mmifrandnum1(i)==0k1=k1+1;elseifrandnum2(i)<=3k1=k1+1;elseifrandnum2(i)==6k3=k3+1;elsek2=k2+1;endendefreq(i)=(k2+k3)/i;endnum=1:mm;plot(num,efreq)在Matlab中編輯.m文件輸入以下命令：functionliti6(p,mm)在Matlab中編輯42在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,2000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,2043在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,20000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,20445.理論計(jì)算5.理論計(jì)算456.結(jié)果比較

模擬結(jié)果與理論計(jì)算近似一致，能更加真實(shí)地表達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動態(tài)過程．

6.結(jié)果比較模擬結(jié)果與理論計(jì)算近似一致，能更加真46三.蒙特卡洛模擬的理論基礎(chǔ)與模擬結(jié)果的誤差大數(shù)定律中心極限定理三.蒙特卡洛模擬的理論基礎(chǔ)與模擬結(jié)果的誤差大數(shù)定律中心極限定47大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)nA

是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，則有或大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)nA是48在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與p有較大偏差是小概率事件,因而在n足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律的意義：在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A49設(shè)X1，X2，…，XN是來自總體X(EX<)的簡單隨機(jī)樣本，即X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，則

辛欽大數(shù)定律即設(shè)X1，X2，…，XN是來自總體X(EX<50中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一分布，且有期望和方差：則對于任意實(shí)數(shù)x,中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一51若令則等價(jià)于于是若令則等價(jià)于于是52這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的階為O(n-1/2)。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的53關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：（1），蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，也即蒙特卡羅方法的收斂是概率意義下的收斂，雖然不能斷言其誤差不超過某個(gè)值，但能指出其誤差以接近1的概率不超過某個(gè)界限。如=0.5，誤差此時(shí)，誤差超過ε的概率與小于ε的概率1-相等，都等于0.5。關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：如=0.5，誤差此時(shí)，54來代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出。關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：（2）誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計(jì)值來代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出。關(guān)于蒙特卡55顯然，當(dāng)給定置信度后，誤差由和n決定。要減小，或者是增大n

，或者是減小方差

2。在固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級，試驗(yàn)次數(shù)n需增加兩個(gè)數(shù)量級。因此，單純增大n不是一個(gè)有效的辦法。四、減小方差的各種技巧

顯然，當(dāng)給定置信度后，誤差由和四、減小方差56另一方面，如能減小估計(jì)的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于n增大四倍的效果(n=(u/)2)。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。另一方面，如能減小估計(jì)的均方差，57一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個(gè)子樣的時(shí)間增加。在固定時(shí)間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個(gè)子樣的費(fèi)用（使用計(jì)算機(jī)的時(shí)間）兩者來衡量。這就是蒙特卡羅方法中效率的概念。它定義為nc，其中c是觀察一個(gè)子樣的平均費(fèi)用。顯然

nc=(u

/)22c它與2c成正比。四、效率

一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀四、效率58總而言之，作為提高蒙特卡洛方法效率的重要方向，是在減小標(biāo)準(zhǔn)差的同時(shí)兼顧考慮費(fèi)用大小，使2c盡可能地小。nc=(u

/)22c)總而言之，作為提高蒙特卡洛方法效率的nc=(u59五、蒙特卡洛方法的特點(diǎn)MonteCarlo方法及其程序結(jié)構(gòu)簡單——產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，計(jì)算相應(yīng)的值。即通過大量的簡單重復(fù)抽樣和簡單計(jì)算實(shí)現(xiàn)該方法。2）收斂速度與問題維數(shù)無關(guān)——MonteCarlo方法的收斂速度為O(n-1/2)，與一般數(shù)值方法相比很慢。因此，用MonteCarlo方法不能解決精確度要求很高的問題五、蒙特卡洛方法的特點(diǎn)MonteCarlo方法及其程序結(jié)構(gòu)60——從可見，MonteCarlo方法的誤差只與標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量n有關(guān)，而與樣本所在空間無關(guān)，即MonteCarlo方法的收斂速度與問題維數(shù)無關(guān)。而其他數(shù)值方法則不然。因此，這就決定了MonteCarlo方法對多維問題的適用性?！獜目梢姡琈onteCarlo方法的誤差只與標(biāo)準(zhǔn)差61——在解題時(shí)受問題條線限制的影響較小，例如要計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分3）MonteCarlo方法的適用性強(qiáng)時(shí)，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生n個(gè)點(diǎn),得到積分的近似值其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的?！诮忸}時(shí)受問題條線限制的影響較小，例3）Monte623.某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時(shí)的概率為0.8,能用1500小時(shí)的概率為0.4,求已用1000小時(shí)的燈泡能用到1500小時(shí)的概率（頻率估計(jì)概率）。2.在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,10。今有放回任取兩個(gè)球，求取得的第一個(gè)球號碼為奇數(shù)，第二個(gè)球的號碼為偶數(shù)的概率（頻率估計(jì)概率）擲三枚不均勻硬幣，每枚正面出現(xiàn)概率為0.3，記錄前1000次擲硬幣試驗(yàn)中至少兩枚都為正面頻率的波動情況，并畫圖。

作業(yè):3.某廠生產(chǎn)的燈泡能用1000小時(shí)的概率為0.8,能用634:兩船欲停靠同一個(gè)碼頭,設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干，而且到達(dá)碼頭的時(shí)間在一晝夜內(nèi)是等可能的.如果兩船到達(dá)碼頭后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.（頻率估計(jì)概率）5:在0,1,2,3,…..,9中不重復(fù)地任取4個(gè)數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.（頻率估計(jì)概率）6:從1,2,…..,10十個(gè)數(shù)字中有放回地任取5個(gè)數(shù)字,求取出的5個(gè)數(shù)字中按由小到大排列,中間的那個(gè)數(shù)等于4的概率.（頻率估計(jì)概率）4:兩船欲?？客粋€(gè)碼頭,設(shè)兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間各不相干6451、天下之事常成于困約，而敗于奢靡?！懹?/p>

52、生命不等于是呼吸，生命是活動?！R梭

53、偉大的事業(yè)，需要決心，能力，組織和責(zé)任感。——易卜生

54、唯書籍不朽。——喬特

55、為中華之崛起而讀書。——周恩來謝謝！51、天下之事常成于困約，而敗于奢靡?！懹?/p>

52、65第講蒙特卡洛方法初探1、不要輕言放棄，否則對不起自己。2、要冒一次險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場冒險(xiǎn)。走得最遠(yuǎn)的人，常是愿意去做，并愿意去冒險(xiǎn)的人?！胺€(wěn)妥”之船，從未能從岸邊走遠(yuǎn)。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒有加糖的咖啡，喝起來是苦澀的，回味起來卻有久久不會退去的余香。4、守業(yè)的最好辦法就是不斷的發(fā)展。5、當(dāng)愛不能完美，我寧愿選擇無悔，不管來生多么美麗，我不愿失去今生對你的記憶，我不求天長地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。第講蒙特卡洛方法初探第講蒙特卡洛方法初探1、不要輕言放棄，否則對不起自己。2、要冒一次險(xiǎn)!整個(gè)生命就是一場冒險(xiǎn)。走得最遠(yuǎn)的人，常是愿意去做，并愿意去冒險(xiǎn)的人?！胺€(wěn)妥”之船，從未能從岸邊走遠(yuǎn)。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒有加糖的咖啡，喝起來是苦澀的，回味起來卻有久久不會退去的余香。4、守業(yè)的最好辦法就是不斷的發(fā)展。5、當(dāng)愛不能完美，我寧愿選擇無悔，不管來生多么美麗，我不愿失去今生對你的記憶，我不求天長地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。蒙特卡洛方法初探實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)模擬的基本過程與方法。1、模擬的概念。4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)。3、計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例。2、產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令。第講蒙特卡洛方法初探1、不要輕言放棄，否則對不起自己。第講蒙66第講蒙特卡洛方法初探課件67第講蒙特卡洛方法初探課件68第講蒙特卡洛方法初探課件69第講蒙特卡洛方法初探課件70

在實(shí)際問題中，面對一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設(shè)，與面臨的實(shí)際問題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無法應(yīng)用。這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇。

在一定的假設(shè)條件下，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算模擬系統(tǒng)的運(yùn)行，稱為數(shù)學(xué)模擬。現(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱為計(jì)算機(jī)模擬。2、數(shù)學(xué)模擬

計(jì)算機(jī)模擬可以反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易。在實(shí)際問題中，面對一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方71

蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的方法．此方法對研究的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，通過對樣本值的統(tǒng)計(jì)分析，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)．蒙特卡洛（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用72用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：[1]設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖，即模擬模型．這個(gè)框圖要正確反映系統(tǒng)各部分運(yùn)行時(shí)的邏輯關(guān)系。[2]模擬隨機(jī)現(xiàn)象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象．用蒙特卡洛方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：[1]設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖73產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令

在Matlab軟件中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機(jī)數(shù)，命令如下：1．產(chǎn)生m*n階(a，b)均勻分布U（a，b）的隨機(jī)數(shù)矩陣：unifrnd(a,b,m,n);產(chǎn)生一個(gè)[a，b]均勻分布的隨機(jī)數(shù)：unifrnd(a,b)

當(dāng)只知道一個(gè)隨機(jī)變量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它。產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令在Matlab軟件中，可以742．產(chǎn)生mm*nn階離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：R=unidrnd(N)R=unidrnd(N,mm,nn)2．產(chǎn)生mm*nn階離散均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：75當(dāng)研究對象視為大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時(shí)，可以認(rèn)為該對象服從正態(tài)分布。當(dāng)研究對象視為大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對76若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。指數(shù)分布的期望值為

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為指數(shù)分布的期望值為77排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)間隔、質(zhì)量與可靠性中電子元件的壽命通常服從指數(shù)分布。例顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為10(分鐘)的指數(shù)分布(指數(shù)分布的均值為10)-----指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是10分鐘.即平均10分鐘到達(dá)1個(gè)顧客.顧客到達(dá)的間隔時(shí)間可用exprnd(10)模擬。排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)間隔、質(zhì)量與可靠性中電子元件的壽命通常78設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值的概率為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的帕松分布。帕松分布在排隊(duì)系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。帕松分布的期望值為設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值796產(chǎn)生1個(gè)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)binornd(n,p)，產(chǎn)生mn個(gè)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)binornd(n,p,m,n)。擲一枚均勻硬幣，正面朝上的次數(shù)X服從參數(shù)為１，p的二項(xiàng)分布,X~B(1,p)6產(chǎn)生1個(gè)參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)binornd(n80頻率的穩(wěn)定性模擬1.事件的頻率在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗(yàn)，記m是n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)。頻率f=m/n2.頻率的穩(wěn)定性

擲一枚均勻硬幣，記錄擲硬幣試驗(yàn)中頻率P*的波動情況。頻率的穩(wěn)定性模擬1.事件的頻率2.頻率的穩(wěn)定性擲81functionliti1(p,mm)pro=zeros(1,mm);randnum=binornd(1,p,1,mm)a=0;fori=1:mma=a+randnum(1,i);pro(i)=a/i;endpro=pronum=1:mm;plot(num,pro)在Matlab中編輯.m文件輸入以下命令：functionliti1(p,mm)在Matlab中編輯82在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1083在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,10000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.5,1084練習(xí)擲一枚不均勻硬幣，正面出現(xiàn)概率為0.3，記錄前1000次擲硬幣試驗(yàn)中正面頻率的波動情況，并畫圖。練習(xí)擲一枚不均勻硬幣，正面出現(xiàn)概率為0.3，記錄前1000次85在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti1(0.3,1086例2擲兩枚不均勻硬幣，每枚正面出現(xiàn)概率為0.4，記錄前1000次擲硬幣試驗(yàn)中兩枚都為正面頻率的波動情況，并畫圖。在Matlab中編輯.m文件輸入以下命令：functionliti2(p,mm)pro=zeros(1,mm);randnum=binornd(1,p,2,mm)；a=0;fori=1:mma=a+randnum(1,i)*randnum(2,i);pro(i)=a/i;endpro=pro，num=1:mm;plot(num,pro)例2擲兩枚不均勻硬幣，每枚正面出現(xiàn)概率為0.4，記錄前1087liti2(0.4,100)liti2(0.4,100)88liti2(0.4,10000)liti2(0.4,10000)89例3:在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,10。每次任取一個(gè)球，記錄其號碼后放回袋中，再任取下一個(gè)。這種取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3個(gè)球，求這3個(gè)球的號碼均為偶數(shù)的概率。（用頻率估計(jì)概率）

解：有放回取3個(gè)球,所有取法有103種;有放回取3個(gè)偶數(shù)號碼的球,所有取法有53種.所以古典概率模擬

例3:在一袋中有10個(gè)相同的球，分別標(biāo)有號碼1,2,…,90functionproguji=liti3(n,mm)frq=0;randnum=unidrnd(n,mm,3);proguji=0;fori=1:mma=(randnum(i,1)+1)*(randnum(i,2)+1)*(randnum(i,3)+1)；ifmod(a,2)==1frq=frq+1endend;proguji=frq/mmfunctionproguji=liti3(n,mm)91例4兩盒火柴，每盒20根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。問其中一盒中火柴被取完而另一盒中至少還有5根火柴的概率有多大？（用頻率估計(jì)概率）例4兩盒火柴，每盒20根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。92functionproguji=liti40(mm)%mm是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnum=binornd(1,0.5,mm,2*20);proguji=0;fori=1:mma1=0;a2=0;j=1;while(a1<20)&(a2<20)ifrandnum(i,j)==1a1=a1+1;elsea2=a2+1;endj=j+1;endifabs(a1-a2)>=5frq=frq+1;endend;proguji=frq/mmfunctionproguji=liti40(mm)93>>liti40(100)proguji=0.4800>>liti40(1000)proguji=0.4970>>liti40(10000)proguji=0.4910>>liti40(100000)proguji=0.4984>>liti40(100)94例4兩盒火柴，每盒n根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。問其中一盒中火柴被取完而另一盒中至少還有k根火柴的概率有多大？（用頻率估計(jì)概率）例4兩盒火柴，每盒n根。每次隨機(jī)在任一盒中取出一根火柴。問95functionproguji=liti4(n,k,mm)%n是每盒中的火柴數(shù)%k是剩余的火柴數(shù)%mm是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnum=binornd(1,0.5,mm,2*n);proguji=0;fori=1:mma1=0;a2=0;j=1;while(a1<n)&(a2<n)ifrandnum(i,j)==1a1=a1+1;elsea2=a2+1;endj=j+1;endifabs(a1-a2)>=k,frq=frq+1;end%a1=a1,a2=a2,frq%pauseend;proguji=frq/mmfunctionproguji=liti4(n,k,mm)96>>liti4(20,5,100)proguji=0.4800>>liti4(20,5,1000)proguji=0.4970>>liti4(20,5,10000)proguji=0.4910>>liti4(20,5,100000)proguji=0.4984>>liti4(20,5,100)97

幾何概率模擬1.定義

向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投的點(diǎn)落在G中任意可度量區(qū)域g內(nèi)的可能性與g的度量成正比，而與g的位置和形狀無關(guān)，則稱這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)為幾何型隨機(jī)試驗(yàn)?；蚝喎Q為幾何概型。幾何概率模擬1.定義向任一可度量區(qū)域G內(nèi)投一點(diǎn)，如果所投982.概率計(jì)算

P(A)=[A的度量]/[S的度量]例5兩人約定于12點(diǎn)到1點(diǎn)到某地會面，先到者等20分鐘后離去，試求兩人能會面的概率？

解：設(shè)x,y分別為甲、乙到達(dá)時(shí)刻(分鐘)令A(yù)={兩人能會面}={(x,y)||x-y|≤20，x≤60,y≤60}P(A)=A的面積/S的面積=（602-402）/602=5/9=0.55562.概率計(jì)算P(A)=[A的度量]/[S的度量]例599functionproguji=liti5(mm)%mm是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)次數(shù)frq=0;randnum1=unifrnd(0,60,mm,1);randnum2=unifrnd(0,60,mm,1);randnum=randnum1-randnum2;proguji=0;forii=1:mmifabs(randnum(ii,1))<=20frq=frq+1;endendproguji=frq/mmliti5(10000)proguji=0.5557functionproguji=liti5(mm)liti100例6

在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對我方進(jìn)行干擾和破壞．為躲避我方打擊，敵方對其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn)．

經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對敵方目標(biāo)的指示有50％是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的概率能毀傷敵人一門火炮，有1/6的概率能全部消滅敵人．

現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對敵人實(shí)施的1次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來，利用頻率穩(wěn)定性，確定有效射擊(毀傷一門炮或全部消滅)的概率.復(fù)雜概率模擬例6在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單101分析：這是一個(gè)復(fù)雜概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率.

為了直觀地顯示我方射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式。分析：這是一個(gè)復(fù)雜概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的102

需要模擬出以下兩件事：

1.問題分析[1]觀察所對目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2．

因此，可用投擲一枚硬幣的方式予以確定,當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確．需要模擬出以下兩件事：1.103[2]當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況

模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷一門火炮的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6)．

這時(shí)可用投擲骰子的方法來確定：如果出現(xiàn)的是１、２、３三個(gè)點(diǎn)：則認(rèn)為沒能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是４、５點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是６點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮．[2]當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況1042.符號假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)；k1：沒擊中敵人火炮的射擊總數(shù)；k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)．E：有效射擊(毀傷一門炮或兩門炮)的概率2.符號假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)；1053.模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i＜mm?E=(k2+k3)/mm停止硬幣正面?YNNY1，2，34，563.模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i106functionliti6(p,mm)efreq=zeros(1,mm);randnum1=binornd(1,p,1,mm);randnum2=unidrnd(6,1,mm);k1=0;k2=0;k3=0;fori=1:mmifrandnum1(i)==0k1=k1+1;elseifrandnum2(i)<=3k1=k1+1;elseifrandnum2(i)==6k3=k3+1;elsek2=k2+1;endendefreq(i)=(k2+k3)/i;endnum=1:mm;plot(num,efreq)在Matlab中編輯.m文件輸入以下命令：functionliti6(p,mm)在Matlab中編輯107在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,2000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,20108在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,20000)在Matlab命令行中輸入以下命令：liti6(0.5,201095.理論計(jì)算5.理論計(jì)算1106.結(jié)果比較

模擬結(jié)果與理論計(jì)算近似一致，能更加真實(shí)地表達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動態(tài)過程．

6.結(jié)果比較模擬結(jié)果與理論計(jì)算近似一致，能更加真111三.蒙特卡洛模擬的理論基礎(chǔ)與模擬結(jié)果的誤差大數(shù)定律中心極限定理三.蒙特卡洛模擬的理論基礎(chǔ)與模擬結(jié)果的誤差大數(shù)定律中心極限定112大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)nA

是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，則有或大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)nA是113在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與p有較大偏差是小概率事件,因而在n足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律的意義：在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A114設(shè)X1，X2，…，XN是來自總體X(EX<)的簡單隨機(jī)樣本，即X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，則

辛欽大數(shù)定律即設(shè)X1，X2，…，XN是來自總體X(EX<115中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一分布，且有期望和方差：則對于任意實(shí)數(shù)x,中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一116若令則等價(jià)于于是若令則等價(jià)于于是117這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的階為O(n-1/2)。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為這表明，不等式近似地以概率1成立。上式也表明，收斂到的118關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：（1），蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，也即蒙特卡羅方法的收斂是概率意義下的收斂，雖然不能斷言其誤差不超過某個(gè)值，但能指出其誤差以接近1的概率不超過某個(gè)界限。如=0.5，誤差此時(shí)，誤差超過ε的概率與小于ε的概率1-相等，都等于0.5。關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：如=0.5，誤差此時(shí)，119來代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出。關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點(diǎn)：（2）誤差中的均方差是未知的，必須