傳染病模型與微分方程數(shù)值解課件

傳染病模型與微分方程數(shù)值解課件常微分方程的數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿(mǎn)足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿(mǎn)足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。高數(shù)中微分方程解法在實(shí)際中基本不會(huì)直接使用(一)常微分方程數(shù)值解因此，研究常微分方程的數(shù)值解法十分必要。2常微分方程的數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很1、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法(向前歐拉法).(二)建立數(shù)值解法的一些途徑對(duì)應(yīng)有隱式歐拉法31、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法2、使用數(shù)值積分對(duì)方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分,并利用梯形公式,有實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用故有公式梯形方法/*trapezoidformula*/此即改進(jìn)的歐拉法42、使用數(shù)值積分對(duì)方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x15中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*3、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫(kù)塔法、線(xiàn)性多步法等方法庫(kù)塔三階方法四階龍格-庫(kù)塔公式63、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫(kù)塔法、線(xiàn)性多步法等4、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為o(hk)時(shí)(k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng))，稱(chēng)它是一個(gè)k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。線(xiàn)性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。74、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表[t，x]=solver(‘f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫(xiě)成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)初值條件自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3,絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),rt,at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.(三)用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t,x]=ode23(‘f’,ts,x0)3級(jí)2階龍格-庫(kù)塔公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0)5級(jí)4階龍格-庫(kù)塔公式8[t，x]=solver(‘f’,ts,x0,1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫(xiě)成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意:91、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文設(shè)取步長(zhǎng)，從到用四階龍格-庫(kù)塔方法微分方程求解實(shí)例求解初值問(wèn)題h=0.2;ts=0:h:1;y0=1;[t,x]=ode45('dfun1',ts,y0);[t,x],plot(t,x)functiondx=dfun1(x,y)dx=y-2*x/y;建立m-文件輸入命令3、結(jié)果如圖10設(shè)取步長(zhǎng)，從解:令y1=x，y2=y1’,1、建立m-文件dfun2.m如下：functiondx=dfun2(t,y)dx=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];例則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：[t,y]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0]);[t,y]plot(t,y(:,1),'r-',t,y(:,2),'b.-');holdonplot(y(:,1),y(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');2、取t0=0,tf=20,輸入命令：11解:令y1=x，y2=y1’,1、建立m-文件dfun23、結(jié)果如圖[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0])plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'b.-');holdonplot(x(:,1),x(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');123、結(jié)果如圖[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程分析對(duì)象特征的變化規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程動(dòng)態(tài)模型13描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程分析對(duì)象特征的變化規(guī)5.1傳染病模型描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段本世紀(jì)初,瘟疫常在世界上某地流行,隨著人類(lèi)文明的不斷進(jìn)步,很多疾病,諸如天花、霍亂已經(jīng)得到有效的控制.然而,即使在今天,一些貧窮的發(fā)展中國(guó)家，仍出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象,醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)的官員與專(zhuān)家所關(guān)注的問(wèn)題是：?jiǎn)栴}提出感染疾病的人數(shù)與哪些因素有關(guān)?145.1傳染病模型描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)問(wèn)題分析不同類(lèi)型傳染病的傳播過(guò)程有不同的特點(diǎn),故不從醫(yī)學(xué)的角度對(duì)各種傳染病的傳播過(guò)程一一進(jìn)行分析，而是按一般的傳播機(jī)理建立模型．由于傳染病在傳播的過(guò)程涉及因素較多，在分析問(wèn)題的過(guò)程中，不可能通過(guò)一次假設(shè)建立完善的數(shù)學(xué)模型.思路：針對(duì)結(jié)果中的不合理之處，逐步修改假設(shè)，最終得出較好的模型。先做出最簡(jiǎn)單的假設(shè)，對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行分析，15問(wèn)題分析不同類(lèi)型傳染病的傳播過(guò)程有不同的特點(diǎn),模型一模型假設(shè)：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。(2)假設(shè)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為設(shè)已感染人數(shù)(病人)x(t),假設(shè)是連續(xù)可微函數(shù)建模?16模型一模型假設(shè)：(2)假設(shè)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致舉個(gè)實(shí)例x=0:0.1:10;y=exp(x);plot(x,y,'b-');最初只有1個(gè)病人，1個(gè)病人一天可傳染1個(gè)人exp(10)=2202617舉個(gè)實(shí)例x=0:0.1:10;最初只有1個(gè)病人，1個(gè)病人一天被傳染的機(jī)會(huì)也減少，于是將變小。若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)模型缺點(diǎn)問(wèn)題：隨著時(shí)間的推移，病人的數(shù)目將無(wú)限增加，這一點(diǎn)與實(shí)際情況不符．模型修改的關(guān)鍵：的變化規(guī)律原因：當(dāng)不考慮傳染病期間的出生、死亡和遷移時(shí)，一個(gè)地區(qū)的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù),在傳染病流行初期，較大，因此應(yīng)為時(shí)間t的函數(shù)。隨著病人的增多，健康人數(shù)減少,18被傳染的機(jī)會(huì)也減少，于是將變小。若有效接觸的是病人，則不能模型2區(qū)分未感染者(健康人)和已感染者(病人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，健康人和病人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型SusceptibleInfective19模型2區(qū)分未感染者(健康人)和已感染者(病人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)Logistic模型方程的解：傳染病患者比例與時(shí)間t關(guān)系傳染病人數(shù)的變化率與患者比率i的關(guān)系染病人數(shù)由開(kāi)始到高峰并逐漸達(dá)到穩(wěn)定增長(zhǎng)速度由低增至最高后降落下來(lái)對(duì)模型作進(jìn)一步分析i~t感染病人占一半時(shí)傳染率最大！20Logistic模型方程的解：傳染病患者比例與時(shí)間t關(guān)系傳模型21/2tmtm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻(日接觸率)tm，推遲傳染高峰的到來(lái),即改善保健措施,提高衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮到來(lái).t=tm,(i=1/2),di/dt最大病人最多的一天日接觸率表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，越小衛(wèi)生水平越高。i~t21模型21/2tmtm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻(日接觸率)模型的缺點(diǎn)缺點(diǎn)：當(dāng)t→∞時(shí)，i(t)→1，這表示所有的人最終都將成為病人，這一點(diǎn)與實(shí)際情況也不符原因：這是由假設(shè)(1)所導(dǎo)致，沒(méi)有考慮病人可以治愈及病人病發(fā)身亡的情況。思考題：考慮有病人病發(fā)身亡的情況，再對(duì)模型進(jìn)行修改。22模型的缺點(diǎn)缺點(diǎn)：當(dāng)t→∞時(shí)，i(t)→1，這表示所有的人傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人平均每天治愈總病人數(shù)的比例為~日治愈率模型3每天治愈的病人為μN(yùn)i

；病人治愈后成為仍可被感染的健康者。健康者和病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)、i(t)，則：s(t)+i(t)＝1(1/μ稱(chēng)為傳染病的平均傳染期)23傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，建模~日接觸率1/~感染期解析法可求解該模型方程的解=24建模~日接觸率1/~感染期解析法可求解該模型方程的模型討論~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)1-1/idi/dt01>1i0i00ti>11-1/闕值25模型討論~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接i0i00ti>11-1/是因?yàn)殡S著傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)占當(dāng)時(shí)健康人數(shù)的比例的增加，當(dāng)時(shí)的病人數(shù)所占比例也隨之上升當(dāng)σ增大時(shí)，i(∞)也增大，26i0i00ti>11-1/是因?yàn)殡S著傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳染病。原因：感染期內(nèi)有效接觸使健康人數(shù)變成的病人人數(shù)不超過(guò)把病人治愈的人數(shù)。模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例i0i0t1di/dt<0因此接觸數(shù)=1~閾值(沒(méi)有康復(fù)的)隔離27控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳染病。原因：感染期內(nèi)有傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱(chēng)移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程模型4某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強(qiáng)的免疫力,所以病愈的人既非健康人，也非病人。SusceptibleInfectiveRemoved28傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱(chēng)移出者SIR模SIR模型無(wú)法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)is~29SIR模型無(wú)法求出的解析解在該方程組無(wú)法得到解析解，只能用數(shù)值計(jì)算的方法。在討論方程組解的性質(zhì)時(shí)，通常需要用到兩個(gè)概念：所謂解曲線(xiàn)就是方程組的解相軌線(xiàn)就是將時(shí)間參數(shù)t消去后得到的i與s的關(guān)系曲線(xiàn)解曲線(xiàn)和相軌線(xiàn)解曲線(xiàn)和相軌線(xiàn)30該方程組無(wú)法得到解析解，只能用數(shù)值計(jì)算的方法。在討論方程組解s~i模型數(shù)值解functiondx=dfill(t,x)a=1;b=0.3;dx=[a*x(2)*x(1)-b*x(1);-a*x(2)*x(1)];ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('dfill',ts,x0);[t,x]plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),gridpause,plot(x(:,2),x(:,1)),gridis0.32470.2027…31s~i模型數(shù)值解functiondx=dfill(t,x)消去dtSIR模型相軌線(xiàn)的定義域相軌線(xiàn)11si0D在D內(nèi)作相軌線(xiàn)的圖形，進(jìn)行分析32消去dtSIR模型相軌線(xiàn)的定義域相軌線(xiàn)模型結(jié)果分析1、不論初始條件如何，病人總要消失首先由模型知其次33模型結(jié)果分析1、不論初始條件如何，病人相軌線(xiàn)及其分析si101DSIR模型傳染病有蔓延過(guò)程傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線(xiàn)的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/

~是傳染病蔓延與否的閾值P3P4P2S034相軌線(xiàn)及其分析si101DSIR模型傳染預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/降低s0提高r0提高閾值1/降低(=/),群體免疫與預(yù)防35預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日的估計(jì)相軌線(xiàn)一次傳染病結(jié)束后，可估計(jì)出~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)36的估計(jì)相軌線(xiàn)一次傳染病結(jié)束后，可估計(jì)出~一個(gè)感染被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=當(dāng)<<1/時(shí),即*1/<<137被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i0練習(xí)求解剛性方程的命令:ode23s,ode15s等(用法相同)設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目的編造了一個(gè)謠言。該城市具有初中以上文化程度的人占總?cè)藬?shù)的一半，這些人只有1/4相信這一謠言，而其他人約有1/3會(huì)相信。又設(shè)凡相信此謠言的人每人在單位時(shí)間內(nèi)傳播的平均人數(shù)正比于當(dāng)時(shí)尚未聽(tīng)說(shuō)此謠言的人數(shù)，而不相信此謠言的人不傳播謠言。試建立一個(gè)反映謠傳情況的微分方程模型。思考題138練習(xí)求解剛性方程的命令:ode23s,ode15sfunctiondf=dfrumor(t,x)d1=1/2;dxin=1/4;x1=1/2;xxin=1/3;chuan=1/100;df=zeros(2,1);df=[chuan*d1*dxin*(1-x(1)-x(2));chuan*x1*xxin*(1-x(1)-x(2))];凡相信此謠言的人每人在單位時(shí)間內(nèi)傳播的平均人數(shù)正比:chuan初中以上文化程度的人比例:d1;這些人相信這一謠言的比例:dxin;初中以下文化程度的人比例:x1;這些人相信這一謠言的比例:xxin;ts=0:10:1000;x0=[0,0];[t,x]=ode45(@dfrumor,ts,x0);formatlong[t,x]39functiondf=dfrumor(t,x)凡相信此謠言謝謝！謝謝！傳染病模型與微分方程數(shù)值解課件常微分方程的數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際上對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿(mǎn)足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿(mǎn)足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。高數(shù)中微分方程解法在實(shí)際中基本不會(huì)直接使用(一)常微分方程數(shù)值解因此，研究常微分方程的數(shù)值解法十分必要。42常微分方程的數(shù)值解及實(shí)驗(yàn)在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很1、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法(向前歐拉法).(二)建立數(shù)值解法的一些途徑對(duì)應(yīng)有隱式歐拉法431、用差商代替導(dǎo)數(shù)若步長(zhǎng)h較小，則有故有公式：此即歐拉法2、使用數(shù)值積分對(duì)方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分,并利用梯形公式,有實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用故有公式梯形方法/*trapezoidformula*/此即改進(jìn)的歐拉法442、使用數(shù)值積分對(duì)方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x145中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*3、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫(kù)塔法、線(xiàn)性多步法等方法庫(kù)塔三階方法四階龍格-庫(kù)塔公式463、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫(kù)塔法、線(xiàn)性多步法等4、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為o(hk)時(shí)(k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng))，稱(chēng)它是一個(gè)k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。線(xiàn)性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。474、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表[t，x]=solver(‘f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫(xiě)成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)初值條件自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3,絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset(’reltol’,rt,’abstol’,at),rt,at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差.(三)用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t,x]=ode23(‘f’,ts,x0)3級(jí)2階龍格-庫(kù)塔公式[t,x]=ode45(@f,ts,x0)5級(jí)4階龍格-庫(kù)塔公式48[t，x]=solver(‘f’,ts,x0,1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫(xiě)成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意:491、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文設(shè)取步長(zhǎng)，從到用四階龍格-庫(kù)塔方法微分方程求解實(shí)例求解初值問(wèn)題h=0.2;ts=0:h:1;y0=1;[t,x]=ode45('dfun1',ts,y0);[t,x],plot(t,x)functiondx=dfun1(x,y)dx=y-2*x/y;建立m-文件輸入命令3、結(jié)果如圖50設(shè)取步長(zhǎng)，從解:令y1=x，y2=y1’,1、建立m-文件dfun2.m如下：functiondx=dfun2(t,y)dx=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];例則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：[t,y]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0]);[t,y]plot(t,y(:,1),'r-',t,y(:,2),'b.-');holdonplot(y(:,1),y(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');2、取t0=0,tf=20,輸入命令：51解:令y1=x，y2=y1’,1、建立m-文件dfun23、結(jié)果如圖[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20],[2,0])plot(t,x(:,1),'r-',t,x(:,2),'b.-');holdonplot(x(:,1),x(:,2),'co');holdofflegend('t~x','t~x`','x~y');523、結(jié)果如圖[t,x]=ode45(@dfun2,[0,20描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程分析對(duì)象特征的變化規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài)研究控制對(duì)象特征的手段根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目的和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類(lèi)比法建立微分方程動(dòng)態(tài)模型53描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過(guò)程分析對(duì)象特征的變化規(guī)5.1傳染病模型描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延的手段本世紀(jì)初,瘟疫常在世界上某地流行,隨著人類(lèi)文明的不斷進(jìn)步,很多疾病,諸如天花、霍亂已經(jīng)得到有效的控制.然而,即使在今天,一些貧窮的發(fā)展中國(guó)家，仍出現(xiàn)傳染病流行的現(xiàn)象,醫(yī)療衛(wèi)生部門(mén)的官員與專(zhuān)家所關(guān)注的問(wèn)題是：?jiǎn)栴}提出感染疾病的人數(shù)與哪些因素有關(guān)?545.1傳染病模型描述傳染病的傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)問(wèn)題分析不同類(lèi)型傳染病的傳播過(guò)程有不同的特點(diǎn),故不從醫(yī)學(xué)的角度對(duì)各種傳染病的傳播過(guò)程一一進(jìn)行分析，而是按一般的傳播機(jī)理建立模型．由于傳染病在傳播的過(guò)程涉及因素較多，在分析問(wèn)題的過(guò)程中，不可能通過(guò)一次假設(shè)建立完善的數(shù)學(xué)模型.思路：針對(duì)結(jié)果中的不合理之處，逐步修改假設(shè)，最終得出較好的模型。先做出最簡(jiǎn)單的假設(shè)，對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行分析，55問(wèn)題分析不同類(lèi)型傳染病的傳播過(guò)程有不同的特點(diǎn),模型一模型假設(shè)：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內(nèi)不會(huì)死亡。(2)假設(shè)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為設(shè)已感染人數(shù)(病人)x(t),假設(shè)是連續(xù)可微函數(shù)建模?56模型一模型假設(shè)：(2)假設(shè)每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致舉個(gè)實(shí)例x=0:0.1:10;y=exp(x);plot(x,y,'b-');最初只有1個(gè)病人，1個(gè)病人一天可傳染1個(gè)人exp(10)=2202657舉個(gè)實(shí)例x=0:0.1:10;最初只有1個(gè)病人，1個(gè)病人一天被傳染的機(jī)會(huì)也減少，于是將變小。若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)模型缺點(diǎn)問(wèn)題：隨著時(shí)間的推移，病人的數(shù)目將無(wú)限增加，這一點(diǎn)與實(shí)際情況不符．模型修改的關(guān)鍵：的變化規(guī)律原因：當(dāng)不考慮傳染病期間的出生、死亡和遷移時(shí)，一個(gè)地區(qū)的總?cè)藬?shù)可視為常數(shù),在傳染病流行初期，較大，因此應(yīng)為時(shí)間t的函數(shù)。隨著病人的增多，健康人數(shù)減少,58被傳染的機(jī)會(huì)也減少，于是將變小。若有效接觸的是病人，則不能模型2區(qū)分未感染者(健康人)和已感染者(病人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，健康人和病人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型SusceptibleInfective59模型2區(qū)分未感染者(健康人)和已感染者(病人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)Logistic模型方程的解：傳染病患者比例與時(shí)間t關(guān)系傳染病人數(shù)的變化率與患者比率i的關(guān)系染病人數(shù)由開(kāi)始到高峰并逐漸達(dá)到穩(wěn)定增長(zhǎng)速度由低增至最高后降落下來(lái)對(duì)模型作進(jìn)一步分析i~t感染病人占一半時(shí)傳染率最大！60Logistic模型方程的解：傳染病患者比例與時(shí)間t關(guān)系傳模型21/2tmtm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻(日接觸率)tm，推遲傳染高峰的到來(lái),即改善保健措施,提高衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮到來(lái).t=tm,(i=1/2),di/dt最大病人最多的一天日接觸率表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，越小衛(wèi)生水平越高。i~t61模型21/2tmtm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻(日接觸率)模型的缺點(diǎn)缺點(diǎn)：當(dāng)t→∞時(shí)，i(t)→1，這表示所有的人最終都將成為病人，這一點(diǎn)與實(shí)際情況也不符原因：這是由假設(shè)(1)所導(dǎo)致，沒(méi)有考慮病人可以治愈及病人病發(fā)身亡的情況。思考題：考慮有病人病發(fā)身亡的情況，再對(duì)模型進(jìn)行修改。62模型的缺點(diǎn)缺點(diǎn)：當(dāng)t→∞時(shí)，i(t)→1，這表示所有的人傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人平均每天治愈總病人數(shù)的比例為~日治愈率模型3每天治愈的病人為μN(yùn)i

；病人治愈后成為仍可被感染的健康者。健康者和病人在總?cè)藬?shù)中所占的比例分別為s(t)、i(t)，則：s(t)+i(t)＝1(1/μ稱(chēng)為傳染病的平均傳染期)63傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人，建模~日接觸率1/~感染期解析法可求解該模型方程的解=64建模~日接觸率1/~感染期解析法可求解該模型方程的模型討論~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接觸數(shù)1-1/idi/dt01>1i0i00ti>11-1/闕值65模型討論~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱(chēng)為接i0i00ti>11-1/是因?yàn)殡S著傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)占當(dāng)時(shí)健康人數(shù)的比例的增加，當(dāng)時(shí)的病人數(shù)所占比例也隨之上升當(dāng)σ增大時(shí)，i(∞)也增大，66i0i00ti>11-1/是因?yàn)殡S著傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳染病。原因：感染期內(nèi)有效接觸使健康人數(shù)變成的病人人數(shù)不超過(guò)把病人治愈的人數(shù)。模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例i0i0t1di/dt<0因此接觸數(shù)=1~閾值(沒(méi)有康復(fù)的)隔離67控制有效接觸（隔離的效果）將最終消滅傳染病。原因：感染期內(nèi)有傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱(chēng)移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程模型4某些傳染病如麻疹等，治愈后均有很強(qiáng)的免疫力,所以病愈的人既非健康人，也非病人。SusceptibleInfectiveRemoved68傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱(chēng)移出者SIR模SIR模型無(wú)法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)is~69SIR模型無(wú)法求出的解析解在該方程組無(wú)法得到解析解，只能用數(shù)值計(jì)算的方法。在討論方程組解的性質(zhì)時(shí)，通常需要用到兩個(gè)概念：所謂解曲線(xiàn)就是方程組的解相軌線(xiàn)就是將時(shí)間參數(shù)t消去后得到的i與s的關(guān)系曲線(xiàn)解曲線(xiàn)和相軌線(xiàn)解曲線(xiàn)和相軌線(xiàn)70該方程組無(wú)法得到解析解，只能用數(shù)值計(jì)算的方法。在討論方程組解s~i模型數(shù)值解functiondx=dfill(t,x)a=1;b=0.3;dx=[a*x(2)*x(1)-b*x(1);-a*x(2)*x(1)];ts=0:50;x0=[0.02,0.98];[t,x]=ode45('dfill',ts,x0);[t,x]plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),gridpause,plot(x(:,2),x(:,1)),gridis0.32470.2027…71s~i模型數(shù)值解functiondx=dfill(t,x)消去dtSIR模型相軌線(xiàn)的定義域相軌線(xiàn)11si0D在D內(nèi)作相軌線(xiàn)的圖形，進(jìn)行分析72消去dtSIR模型