平面的投影及平面上的點課件

[例題]過點E

作線段AB、CD

的公垂線EF。ffc[例題]ffc1b'

[例題]作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCc'b'[例題]作三角形ABC，ABC為直角，使BC在2平面的投影二、各種位置平面的投影特性一、平面的表示法三、平面上的點和直線四、直線與平面的相對位置五、平面與平面的相對位置平面的投影二、各種位置平面的投影特性一、平面的表示法三3一、平面的表示法1.幾何元素表示法2.跡線表示法一、平面的表示法1.幾何元素表示法2.跡線表示法4一個平面的空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定:不在同一直線上的三個點；一直線和直線外的一個點；相交兩直線；平行兩直線；任意平面圖形。1.幾何元素表示法平面的投影可以由其中一組幾何元素的投影來表示。一個平面的空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定:不在5’a’abb’cc’x一直線和直線外的一個點x’a’abb’cc’相交兩直線’a’abb’cc’x平行兩直線c’’a’abb’cx任意平面圖形用各組幾何元素所表示的同一平面的投影圖。x’a’abb’cc’不在同一直線上的三點’a’abb’cc’x一直線和直線外的一個點x’a’6△ABC⊥P面投影積聚為一直線

abc△ABC∥P面投影反映實形△abc≌△ABC△ABC傾斜于P面投影為小于原平面的類似形

△abc＜△ABC平面對一個投影面的投影特性△ABC⊥P面△ABC∥P面△ABC傾斜于P面平7d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcadd(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMe8a"b"c"ca'b'baABC一般位置面a"b"c"ca'b'baABC一般位置面9與三個投影面都處于傾斜位置的平面。一般位置平面三個投影都是小于原平面的類似形。ab’b”XZYHOa’s’s”a”bsYw與三個投影面都處于傾斜位置的平面。一般位置平面三個投影都10一般位置平面一般位置平面11鉛垂面--僅⊥H面的平面正垂面--僅⊥V面的平面?zhèn)却姑?-僅⊥W面的平面1.投影面垂直面

垂直于一個投影面而對另外兩個投影面傾斜的平面。各種位置平面的投影特性鉛垂面--僅⊥H面的平面1.投影面垂直面垂直于一個投12鉛垂面--僅⊥H面的平面水平投影p積聚為一傾斜線段，并反映β、γ角。正面投影p’和側(cè)面投影p”都是小于原平面的類似形。pp’p”XZYWYHOγβ鉛垂面--僅⊥H面的平面水平投影p積聚為一傾斜線段，并反映β13鉛垂面--僅⊥H面的平面鉛垂面--僅⊥H面的平面14正垂面--僅⊥V面的平面正面投影p’積聚為一傾斜線段，并反映α、γ角。水平投影p和側(cè)面投影p”都是小于原平面的類似形。γαpq’p”XZYWYHOγqq”q’Qqq’’正垂面--僅⊥V面的平面正面投影p’積聚為一傾斜線段，并反映15側(cè)垂面--僅⊥W面的平面A.側(cè)面投影r’’積聚為一傾斜線段，并反映α、β角。B.水平投影r和正面投影r’都是小于原平面的類似形。αpr”XZYWYHOγrr’βr’Rrr’’側(cè)垂面--僅⊥W面的平面A.側(cè)面投影r’’積聚為一傾斜線段16YHYWYHYWHαβ投影面垂直面的投影特性γβγαYHYWYHYWHαβ投影面垂直面的投影特性γβγα17

投影面垂直面的投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，它與投影軸的夾角反映平面對另外兩個投影面的傾角。（2）在另外兩個投影面上的投影是小于原平面的類似形。投影面垂直面的投影特性：18Xabc’b’a’分析：鉛垂面的水平投影為斜交于X軸的直線，有積聚性。本題鉛垂面用三角形表示。c例1含直線AB(ab,a’b’)作鉛垂面(用平面圖形表示)。Xabc’b’a’分析：鉛垂面的水平投影為斜交于X軸的直線，192.投影面平行面平行于某一投影面的平面。//H面的平面--水平面//V面的平面--正平面//W面的平面–側(cè)平面2.投影面平行面平行于某一投影面的平面。/20水平面--//H面的平面Zpp’p”XYHOYW水平投影p反映平面P的實形；正面投影p’和側(cè)面投影p”都積聚為直線，分別∥OX軸和OYW軸。水平面--//H面的平面Zpp’p”XYHOYW水平投影p21正平面--//V面的平面YWqq’q”XZYHO正面投影q’反映平面P的實形；水平投影q和側(cè)面投影q”都積聚為直線，分別∥OX軸和OZ軸。q’Qqq’’正平面--//V面的平面YWqq’q”XZYHO正面投影q22側(cè)平面--//W面的平面Rr‘r’‘HVWZrr’r”XYHOYW側(cè)面投影r’’反映平面R的實形；水平面投影r和正面投影r’都積聚為直線，分別∥OYH軸和OZ軸。r側(cè)平面--//W面的平面Rr‘r’‘HVWZrr’r”XY23投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性24

投影面平行面的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影反映實形。（2）在另外兩個投影面上的投影都積聚為直線，平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行面的投影特性：25aXa’bcc’b’例3含點A作△ABC//V面。

分析:正平面的水平投影積聚為直線并∥OX軸，正面投影反映實形。

作法：作abc//OX軸。作△a’b’c’≌△ABC。aXa’bcc’b’例3含點A作△ABC//V面。分26O’OX圓平面為水平面（1）當(dāng)圓∥投影面時，圓在該投影面上的投影反映實形--圓,另外兩投影積聚為直線,長度等于圓的直徑。4.圓的投影特性O(shè)’OX圓平面為水平面（1）當(dāng)圓∥投影面時，圓在該投影面上的27（2）當(dāng)圓⊥投影面時，它在該面的投影積聚為傾斜于投影軸的直線，長度等于圓的直徑。另外兩個投影為橢圓。OO'X圓平面為正垂面（2）當(dāng)圓⊥投影面時，它在該面的投影積聚為傾斜于投影軸的直線28（3）當(dāng)圓傾斜于投影面時，它的投影為圓的類似形--橢圓。（3）當(dāng)圓傾斜于投影面時，它的投影為圓的類似形--橢圓。29圓的投影的作圖方法1）當(dāng)圓∥投影面時OO'X圓平面為正平面反映圓的實形長度=圓的直徑圓的投影的作圖方法1）當(dāng)圓∥投影面時OO'X圓平面為正平面反30投影橢圓的長、短軸是圓內(nèi)一對

相互垂直的直徑的投影。（1）正垂圓的投影橢圓

長軸:正垂直徑AB的投影ab=AB短軸:正平直徑DE的投影de=DEcosα

2）當(dāng)圓⊥投影面時長軸和短軸正垂直徑AB正平直徑DE投影橢圓的長、短軸是圓內(nèi)一對（1）正垂圓的投影橢圓31OO”正垂圓的投影作圖O'Xa’(b’)dee’d’αa”b”Dd”e”baD長軸:正垂直徑AB的投影

ab=a”b”=AB短軸:正平直徑DE的投影de=DEcosαd”e”=DEcosγγ

DOO”正垂圓的投影作圖O'Xa’(b’)dee’d’αa”b32鉛垂面上圓的投影(b)(a)長軸：鉛垂直徑CD的投影c’d’=D短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβ（2）鉛垂圓的投影鉛垂直徑CD水平直徑AB鉛垂面上圓的投影(b)(a)長軸：鉛垂直徑CD的投影c’d33短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβa”b”=Dcosγ長軸：鉛垂直徑CD的投影c’d’=c”d”=DOXO'c’(d’)βb’a’abc’d’DD鉛垂圓的投影作圖O”c”d”Dβb”a”γ

短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβa”b”=Dco34

垂直面上圓的投影特性：（1）在與圓平面垂直的投影面上，圓的投影是直線段，長度等于圓的直徑。（2）在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓，長軸是圓平面上平行于這個投影面的直徑的投影，短軸是圓平面上與上述直徑相垂直的直徑的投影。垂直面上圓的投影特性：354-7平面上的點和直線1.平面上取直線2.平面上取點3.投影面垂直面上的點和直線4-7平面上的點和直線1.平面上取直線2.平面上取點3.投36一、平面上的直線1.平面上的直線2.在平面上作正平線和水平線一、平面上的直線1.平面上的直線37直線在平面上的幾何條件：(1)通過平面上的兩已知點。BACPMN直線MN在平面上1.平面上取直線直線在平面上的幾何條件：(1)通過平面上的兩已知點。BAC38EFDPNM

結(jié)論--要在平面上取直線，應(yīng)先在平面上的已知直線上取點，再過點作直線。直線MN在平面P上(2)通過平面上的一點并平行于平面上的另一直線。EFDPNM結(jié)論--要在平面上取直線，應(yīng)先在平面上的已39bacb’Xc’a’1’12’2

作法1:

在平面內(nèi)的兩已知邊上各取一點連成直線。例5在△ABC給定的平面上作一任意直線。直線ⅠⅡ即為所求。

作法2:在平面內(nèi)的一已知邊上取一點，再過點作平面內(nèi)另一直線的平行線。bacb’Xc’a’1’12’2作法1:在平面內(nèi)的兩已40在平面上作正平線和水平線dd'e'e在平面上作正平線和水平線dd'e'e41BACPL點在平面上的幾何條件:點在該平面的一已知直線上。M在平面上取點的一般方法：含該點在平面上作輔助直線，然后在所作直線上取點。2.平面上取點∵直線L在P面上，∴M點在平面P上。BACPL點在平面上的幾何條件:點在該平面的一已知直線上。42a’b’c’cab1’1dd’例6已知點D在△ABC所決定的平面上，求作其正面投影d’。作法1ⅠCABD空間分析D點一定在該平面的一條直線上。a’b’c’cab1’1dd’例6已知點D在△ABC所決43a’b’c’cab2’2dd’例7已知點D在△ABC所決定的平面內(nèi)，求作其正面投影d’。作法2ⅡCABD空間分析a’b’c’cab2’2dd’例7已知點D在△ABC所決44bb’Xc’a’ad’dc例8試完成平面四邊形ABCD的水平投影。分析:平面ABCD的對角線一定相交。k’kC點一定在該平面的一條直線上。bb’Xc’a’ad’dc例8試完成平面四邊形ABCD的水45b’c”zywyHXOc’a”(b”)a’bc121”(2”)1’2’33’3”a例9完成側(cè)垂面△ABC的水平投影。可按已知點的兩個投影求第三投影的方法作出△abc。b’c”zywyHXOc’a”(b”)a’bc121”(2”46例10已知一平面ABCD。(1)判別點K是否在平面上；(2)已知平面上點E的正面投影，求作其水平投影。e’Xa’b’c’d’abdck’kef’fg’g∵K點不在直線FC上，∴K點不在平面上。例10已知一平面ABCD。(1)判別點K是否在平面上；(247[例題]過點E

作線段AB、CD

的公垂線EF。ffc[例題]ffc48b'

[例題]作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCc'b'[例題]作三角形ABC，ABC為直角，使BC在49平面的投影二、各種位置平面的投影特性一、平面的表示法三、平面上的點和直線四、直線與平面的相對位置五、平面與平面的相對位置平面的投影二、各種位置平面的投影特性一、平面的表示法三50一、平面的表示法1.幾何元素表示法2.跡線表示法一、平面的表示法1.幾何元素表示法2.跡線表示法51一個平面的空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定:不在同一直線上的三個點；一直線和直線外的一個點；相交兩直線；平行兩直線；任意平面圖形。1.幾何元素表示法平面的投影可以由其中一組幾何元素的投影來表示。一個平面的空間位置可以由下列任一組幾何元素來確定:不在52’a’abb’cc’x一直線和直線外的一個點x’a’abb’cc’相交兩直線’a’abb’cc’x平行兩直線c’’a’abb’cx任意平面圖形用各組幾何元素所表示的同一平面的投影圖。x’a’abb’cc’不在同一直線上的三點’a’abb’cc’x一直線和直線外的一個點x’a’53△ABC⊥P面投影積聚為一直線

abc△ABC∥P面投影反映實形△abc≌△ABC△ABC傾斜于P面投影為小于原平面的類似形

△abc＜△ABC平面對一個投影面的投影特性△ABC⊥P面△ABC∥P面△ABC傾斜于P面平54d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcadd(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMe55a"b"c"ca'b'baABC一般位置面a"b"c"ca'b'baABC一般位置面56與三個投影面都處于傾斜位置的平面。一般位置平面三個投影都是小于原平面的類似形。ab’b”XZYHOa’s’s”a”bsYw與三個投影面都處于傾斜位置的平面。一般位置平面三個投影都57一般位置平面一般位置平面58鉛垂面--僅⊥H面的平面正垂面--僅⊥V面的平面?zhèn)却姑?-僅⊥W面的平面1.投影面垂直面

垂直于一個投影面而對另外兩個投影面傾斜的平面。各種位置平面的投影特性鉛垂面--僅⊥H面的平面1.投影面垂直面垂直于一個投59鉛垂面--僅⊥H面的平面水平投影p積聚為一傾斜線段，并反映β、γ角。正面投影p’和側(cè)面投影p”都是小于原平面的類似形。pp’p”XZYWYHOγβ鉛垂面--僅⊥H面的平面水平投影p積聚為一傾斜線段，并反映β60鉛垂面--僅⊥H面的平面鉛垂面--僅⊥H面的平面61正垂面--僅⊥V面的平面正面投影p’積聚為一傾斜線段，并反映α、γ角。水平投影p和側(cè)面投影p”都是小于原平面的類似形。γαpq’p”XZYWYHOγqq”q’Qqq’’正垂面--僅⊥V面的平面正面投影p’積聚為一傾斜線段，并反映62側(cè)垂面--僅⊥W面的平面A.側(cè)面投影r’’積聚為一傾斜線段，并反映α、β角。B.水平投影r和正面投影r’都是小于原平面的類似形。αpr”XZYWYHOγrr’βr’Rrr’’側(cè)垂面--僅⊥W面的平面A.側(cè)面投影r’’積聚為一傾斜線段63YHYWYHYWHαβ投影面垂直面的投影特性γβγαYHYWYHYWHαβ投影面垂直面的投影特性γβγα64

投影面垂直面的投影特性：（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線，它與投影軸的夾角反映平面對另外兩個投影面的傾角。（2）在另外兩個投影面上的投影是小于原平面的類似形。投影面垂直面的投影特性：65Xabc’b’a’分析：鉛垂面的水平投影為斜交于X軸的直線，有積聚性。本題鉛垂面用三角形表示。c例1含直線AB(ab,a’b’)作鉛垂面(用平面圖形表示)。Xabc’b’a’分析：鉛垂面的水平投影為斜交于X軸的直線，662.投影面平行面平行于某一投影面的平面。//H面的平面--水平面//V面的平面--正平面//W面的平面–側(cè)平面2.投影面平行面平行于某一投影面的平面。/67水平面--//H面的平面Zpp’p”XYHOYW水平投影p反映平面P的實形；正面投影p’和側(cè)面投影p”都積聚為直線，分別∥OX軸和OYW軸。水平面--//H面的平面Zpp’p”XYHOYW水平投影p68正平面--//V面的平面YWqq’q”XZYHO正面投影q’反映平面P的實形；水平投影q和側(cè)面投影q”都積聚為直線，分別∥OX軸和OZ軸。q’Qqq’’正平面--//V面的平面YWqq’q”XZYHO正面投影q69側(cè)平面--//W面的平面Rr‘r’‘HVWZrr’r”XYHOYW側(cè)面投影r’’反映平面R的實形；水平面投影r和正面投影r’都積聚為直線，分別∥OYH軸和OZ軸。r側(cè)平面--//W面的平面Rr‘r’‘HVWZrr’r”XY70投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性71

投影面平行面的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影反映實形。（2）在另外兩個投影面上的投影都積聚為直線，平行于相應(yīng)的投影軸。投影面平行面的投影特性：72aXa’bcc’b’例3含點A作△ABC//V面。

分析:正平面的水平投影積聚為直線并∥OX軸，正面投影反映實形。

作法：作abc//OX軸。作△a’b’c’≌△ABC。aXa’bcc’b’例3含點A作△ABC//V面。分73O’OX圓平面為水平面（1）當(dāng)圓∥投影面時，圓在該投影面上的投影反映實形--圓,另外兩投影積聚為直線,長度等于圓的直徑。4.圓的投影特性O(shè)’OX圓平面為水平面（1）當(dāng)圓∥投影面時，圓在該投影面上的74（2）當(dāng)圓⊥投影面時，它在該面的投影積聚為傾斜于投影軸的直線，長度等于圓的直徑。另外兩個投影為橢圓。OO'X圓平面為正垂面（2）當(dāng)圓⊥投影面時，它在該面的投影積聚為傾斜于投影軸的直線75（3）當(dāng)圓傾斜于投影面時，它的投影為圓的類似形--橢圓。（3）當(dāng)圓傾斜于投影面時，它的投影為圓的類似形--橢圓。76圓的投影的作圖方法1）當(dāng)圓∥投影面時OO'X圓平面為正平面反映圓的實形長度=圓的直徑圓的投影的作圖方法1）當(dāng)圓∥投影面時OO'X圓平面為正平面反77投影橢圓的長、短軸是圓內(nèi)一對

相互垂直的直徑的投影。（1）正垂圓的投影橢圓

長軸:正垂直徑AB的投影ab=AB短軸:正平直徑DE的投影de=DEcosα

2）當(dāng)圓⊥投影面時長軸和短軸正垂直徑AB正平直徑DE投影橢圓的長、短軸是圓內(nèi)一對（1）正垂圓的投影橢圓78OO”正垂圓的投影作圖O'Xa’(b’)dee’d’αa”b”Dd”e”baD長軸:正垂直徑AB的投影

ab=a”b”=AB短軸:正平直徑DE的投影de=DEcosαd”e”=DEcosγγ

DOO”正垂圓的投影作圖O'Xa’(b’)dee’d’αa”b79鉛垂面上圓的投影(b)(a)長軸：鉛垂直徑CD的投影c’d’=D短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβ（2）鉛垂圓的投影鉛垂直徑CD水平直徑AB鉛垂面上圓的投影(b)(a)長軸：鉛垂直徑CD的投影c’d80短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβa”b”=Dcosγ長軸：鉛垂直徑CD的投影c’d’=c”d”=DOXO'c’(d’)βb’a’abc’d’DD鉛垂圓的投影作圖O”c”d”Dβb”a”γ

短軸：水平直徑AB的投影a’b’=Dcosβa”b”=Dco81

垂直面上圓的投影特性：（1）在與圓平面垂直的投影面上，圓的投影是直線段，長度等于圓的直徑。（2）在與圓平面傾斜的投影面上的投影是橢圓，長軸是圓平面上平行于這個投影面的直徑的投影，短軸是圓平面上與上述直徑相垂直的直徑的投影。垂直面上圓的投影特性：824-7平面上的點和直線1.平面上取直線2.平面上取點3.投影面垂直面上的點和直線4-7平面上的點和直線1.平面上取直線2.平面上取點3.投83一、平面上的直線1.平面上的直線2.在平面上作正平線和水平線一、平面上的直線1.平面上的直線84直線在平面上的幾何條件：(1)通過平面上的兩已知點。BACPMN直線MN在平面上1.平面上取直線直線在平面上的幾何條件：(1)通過平面上的兩已知點。BAC85EFDPNM

結(jié)論--要在平面上取直線，應(yīng)先在平面上的已知直線上取點，再過點作直線。直線MN在