物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)課件

高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)1質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為:角動(dòng)量大?。?---平行四邊形面積角動(dòng)量方向：右手螺旋定則思考：質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量如何？預(yù)備知識(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為:角動(dòng)量大?。?

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.一剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意3

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體的平面運(yùn)動(dòng).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)4

剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+5二轉(zhuǎn)動(dòng)定律O

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二轉(zhuǎn)動(dòng)定律O轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量6

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.注意單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系

質(zhì)量連續(xù)分布單位:千克·米2（kg·m2）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.剛7O′O

設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元

討論：一質(zhì)量為

m

、長(zhǎng)為

l

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，與棒垂直的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化.O′O轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直于棒O′O設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸8圓盤、圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于質(zhì)量為、半徑為、厚為

的均勻圓盤取半徑為

寬為

的薄圓環(huán)，則有可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與厚度無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與圓盤的相同。則有由于圓盤、圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于質(zhì)量為、半徑為、厚為9球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

將均質(zhì)球體分割成一系列彼此平行且都與對(duì)稱軸垂直得圓盤，則有球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將均質(zhì)球體分割成一系列10平行軸定理設(shè)任意物體繞某固定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，繞通過(guò)質(zhì)心而平行于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則有

miRirid

xCyθiO平行軸定理設(shè)任意物體繞某固定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，繞通過(guò)質(zhì)心而11MM2a2aOCMM2a2aOC12o

對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于板面內(nèi)與Oz軸交于一點(diǎn)的兩相互正交軸Ox和Oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直軸定理o對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于13

若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等與各部分對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。即

例如：有質(zhì)量為,長(zhǎng)為的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)球體組成的剛體，對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為組合定理若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)14物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)課件15竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣16

例1

一長(zhǎng)為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得mlo例1一長(zhǎng)為質(zhì)量為17式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得mlo式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得mlo18

例2

有一半徑為R質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,以角速度ω0繞通過(guò)圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng).若有一個(gè)與圓盤大小相同的粗糙平面(俗稱剎車片)擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤,故而有正壓力N均勻地作用在盤面上,從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢.設(shè)正壓力N和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出.試問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)?

解:在圓盤上取面積微元,面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小r剎車片例2有一半徑為R質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,以19面積微元所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩圓盤角加速度停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)rR面積微元所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩圓盤角加20Cxy*例3如圖一斜面長(zhǎng)l=1.5m,與水平面的夾角=5o.有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端,然后由頂端沿斜面向下滾動(dòng),一個(gè)物體是質(zhì)量m1=0.65kg、半徑為R1

的實(shí)心圓柱體,另一物體是質(zhì)量為m2=0.13kg、半徑R2=R1=R的薄壁圓柱筒.它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間?

解:物體由斜面頂端滾下,可視為質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成.Cxy*例3如圖一斜面長(zhǎng)l=1.5m,與21Cxy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律角量、線量關(guān)系實(shí)心圓拄空心圓筒Cxy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律角量、線量關(guān)系實(shí)心圓拄空心圓筒22

例4有一緩慢改變傾角的固定斜面，如圖所示。一質(zhì)量為m

，半徑為R的勻質(zhì)圓柱體從高h(yuǎn)處由靜止沿光滑斜面滑下，緊接著沿粗糙水平面運(yùn)動(dòng)。已知水平面與圓柱體間的摩擦系數(shù),求：

1）圓柱體沿水平面運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后開始作純滾動(dòng)。

2）圓柱體達(dá)到純滾動(dòng)前經(jīng)歷的水平距離。例4有一緩慢改變傾角的固定斜面，如圖所23

解：1）沿光滑斜面，圓柱體僅作滑動(dòng)；沿水平面達(dá)到純滾動(dòng)前作滑滾運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)方程為：由以上三式解得：解：1）沿光滑斜面，圓柱體僅作滑動(dòng)；沿水平面24達(dá)到純滾動(dòng)前有：達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)有：解得作純滾動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：2）達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)經(jīng)歷的距離：達(dá)到純滾動(dòng)前有：達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)有：解得作純滾動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：2）25

例5

質(zhì)量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問(wèn)：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從

再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為ABC例5質(zhì)量為的26ABCOO

解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B

及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.ABCOO解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B27如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率ABC如令，可得（2）B由靜止出發(fā)作28

（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)定律結(jié)合（1）中其它方程（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩29ABCABC30三

角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理O

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理三角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理O剛31

角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

若，則.討論

在沖擊等問(wèn)題中常量三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.內(nèi)力矩不改32

有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.它是自然界的普遍適用的規(guī)律.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水飛輪航天器調(diào)姿有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.它是33解:

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

例1

兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2的圓盤A和B.A是機(jī)器上的飛輪,B是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤.開始時(shí),他們分別以角速度ω1和ω2繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).然后,兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下.嚙合為一體,其角速度為ω,求齒輪嚙合后兩圓盤的角速度.解:系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例1兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分34

解:

碰撞前M

落在A點(diǎn)的速度

例2

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來(lái).設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為

,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問(wèn)演員N可彈起多高?ll/2CABMNh

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度解:碰撞前M落在A點(diǎn)的速度35M、N和蹺板系統(tǒng)角動(dòng)量守恒演員N達(dá)到的高度ll/2CABMNhM、N和蹺板系統(tǒng)角動(dòng)量守恒演員N達(dá)到的高36

例3

質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l

的均勻細(xì)桿,可繞過(guò)其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí),有一只小蟲以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處,并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?

解:碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例3質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)桿,37角動(dòng)量定理考慮到角動(dòng)量定理考慮到38力矩的功1力矩作功2力矩的功率四

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能與動(dòng)能定理力矩的功1力矩作功2力矩的功率四剛體393轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.3轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理40質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能之和。此結(jié)論稱為柯尼希定理。特別地：作平面運(yùn)動(dòng)的剛體動(dòng)能為科尼希定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能之和。此結(jié)論稱41質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度加速度角速度角加速度質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量角動(dòng)量力力矩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度加速度角速42質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律力的功力矩的功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)的平43質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理動(dòng)能定理重力勢(shì)能重力勢(shì)能機(jī)械能守恒只有保守力作功時(shí)機(jī)械能守恒只有保守力作功時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)44圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；45

例4

一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為的子彈射入豎直竿底端，使竿的偏轉(zhuǎn)角為90o.問(wèn)子彈的初速率為多少?

解:

把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng).子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例4一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為46

例4

一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為、速率為的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問(wèn)子彈的初速率為多少?

解:

把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng).子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例4一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為47

射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒.射入竿后，以子彈、細(xì)桿和48

例5

一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒,棒的一端可繞通過(guò)O點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng),棒的另一端有質(zhì)量為m的小球.開始時(shí),棒靜止地處于水平位置A.當(dāng)棒轉(zhuǎn)過(guò)角到達(dá)位置B,棒的角速度為多少?

解:

取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng),在棒轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒,設(shè)A

位置為重力勢(shì)能零點(diǎn).AB例5一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒,49ABAB50剛體的平面運(yùn)動(dòng)知識(shí)拓展剛體的平面運(yùn)動(dòng)知識(shí)拓展51

一、問(wèn)題的提出回顧：剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)—平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)請(qǐng)觀察以下剛體的運(yùn)動(dòng)：火車車輪剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義：

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變.即剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．一、問(wèn)題的提出回顧：剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)—平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)請(qǐng)觀察52

二、剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化ⅠⅡSA1A2M●

過(guò)剛體作平面Ⅱ平行平面Ⅰ

平面Ⅱ與剛體相交截出一個(gè)平面圖形S；●平面圖形S始終保持在平面Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)；●在S面內(nèi)任選一點(diǎn)M，過(guò)M做平面Ⅱ垂線S剛體平面運(yùn)動(dòng)平面圖形S

在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)A1MA2做平動(dòng)M點(diǎn)可代表直線A1MA2上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)設(shè)剛體上任一點(diǎn)到固定平面Ⅰ的距離保持不變二、剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化ⅠⅡSA1A2M●過(guò)剛體作平面Ⅱ平面運(yùn)動(dòng)定理：

平面運(yùn)動(dòng)可任意選取基點(diǎn)，分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，或者說(shuō)平面圖形相對(duì)各平移參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)情況都一樣。

所以提平面圖形的角速度，無(wú)需指明是相對(duì)哪個(gè)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。平面運(yùn)動(dòng)定理：54例6行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA

＝wII·DA。所以例6行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪I55vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度。vBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B的速度以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度。vCA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C的速度vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以56定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。三

求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wS設(shè)有一個(gè)平面圖形S角速度為w，圖形上點(diǎn)A的速度為vA，如圖。在vA的垂線上取一點(diǎn)C(由vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，有如果取AC＝vA/w，則NCvAvCA該點(diǎn)稱為瞬時(shí)速度中心，或簡(jiǎn)稱為速度瞬心。vAA定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為

圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。

三

求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)平面圖形沿一固定表面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)。三

求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法vC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)平面圖形沿一固定表(2)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每點(diǎn)速度的垂線的交線上。三求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wABwOCvAABvB(2)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位(3)已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB，則速度瞬心必定在連線AB與速度矢vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)C上。三求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC(3)已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行，并且速度的方向(4)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等,如圖所示，圖形的速度瞬心在無(wú)限遠(yuǎn)處。(瞬時(shí)平動(dòng)：此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同，但加速度不一定相等)三求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wOvAABvB另外注意：瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的，它只是在某瞬時(shí)的速度為零，加速度并不為零。(4)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等,如圖所示，圖形的例7

求圖示B點(diǎn)及直桿中點(diǎn)M的速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)AvAvBB30°CvMwM

瞬心在C點(diǎn)例7求圖示B點(diǎn)及直桿中點(diǎn)M的速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)Av例8

已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。O例8已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求45o90o90oO1OBAD例9

已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1)AB桿的角速度；(2)

B和D點(diǎn)的速度。w

解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，OA和O1B都作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)是AB桿作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vAvBvDCwAB45o90o90oO1OBAD例9已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1B＝例10

直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無(wú)滑動(dòng)，如圖，求時(shí)圓柱的角速度。

解一：圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在

點(diǎn)，設(shè)其角速度為。

AB圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在

點(diǎn)，則即亦即故例10直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以例11半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng)，

圓心A點(diǎn)的速度及加速度如圖，AB桿長(zhǎng)度l，可以繞圓心A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。求：（1）B端的速度和加速度；（2）AB桿的角速度和角加速度。aAvARB45°AvBCAB解：由速度分布可知AB桿瞬心在C點(diǎn)，例11半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng)，圓心A點(diǎn)的速度aAvARB45°AAB(2)取A點(diǎn)為基點(diǎn)，進(jìn)行加速度分析aBaA在Bx、By軸投影得xyAB?√√√√?大小方向√√aAvARB45°AAB(2)取A點(diǎn)為基點(diǎn)，進(jìn)行加速度A0O1OB0例12已知：OA=r，AB=2r，O1B=2r，

OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及角加速度如圖，vAvB解：對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，AB桿的瞬心為O點(diǎn)AB求：B點(diǎn)的速度和加速度。A0O1OB0例12已知：OA=r，AB=2A0O1OB0(2)加速度分析，取A點(diǎn)為基點(diǎn)在BA軸投影得√?√√大小方向√√√?√√√√A0O1OB0(2)加速度分析，取A點(diǎn)為基點(diǎn)在BA剛體力學(xué)問(wèn)題解析剛體力學(xué)問(wèn)題解析71

飛輪質(zhì)量60kg,直徑d=0.50m閘瓦與輪間μ=0.4;飛輪質(zhì)量分布在外層圓周,要求在t=5s內(nèi)制動(dòng),求F力大小.剛體問(wèn)題1F

對(duì)飛輪

其中fN

對(duì)制動(dòng)桿FNf飛輪質(zhì)量60kg,直徑d=0.50m閘瓦與輪間μ=0.72AB質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿由豎直受一微擾倒下,求夾角為θ時(shí),質(zhì)心速度及桿的角速度剛體問(wèn)題2BC質(zhì)心不受水平方向作用,做自由下落運(yùn)動(dòng)!由機(jī)械能守恒:vvBvn由相關(guān)速度:桿對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:AB質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿由豎直受一微擾倒下,求夾角為θ時(shí),質(zhì)心73小試身手題1著地時(shí),兩桿瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸為A(B)

BA由機(jī)械能守恒:

vch

如圖，兩根等重的細(xì)桿AB及AC，在C點(diǎn)用鉸鏈連接，放在光滑水平面上，設(shè)兩桿由圖示位置無(wú)初速地開始運(yùn)動(dòng)，求鉸鏈C著地時(shí)的速度．小試身手題1著地時(shí),兩桿瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸為A(B)BA由機(jī)械能守恒74小試身手題2軸心降低h過(guò)程中機(jī)械能守恒

Bhv其中圓柱體對(duì)軸P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

PT由轉(zhuǎn)動(dòng)定律:

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律:

如圖，圓柱體A的質(zhì)量為m，在其中部繞以細(xì)繩，繩的一端B固定不動(dòng)，圓柱體初速為零地下落，當(dāng)其軸心降低h時(shí)，求圓柱體軸心的速度及繩上的張力．

小試身手題2軸心降低h過(guò)程中機(jī)械能守恒Bhv其中圓柱體對(duì)軸75小試身手題3純滾動(dòng)時(shí)圓柱角速度由機(jī)械能守恒:vc0ωc0與墻彈性碰撞,質(zhì)心速度反向,角速度不變,此后受摩擦力作用經(jīng)時(shí)間t

達(dá)純滾動(dòng):vc0ωc0vctωct由動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理純滾動(dòng)后機(jī)械能守恒:

如圖，實(shí)心圓柱體從高度為h的斜坡上從靜止純滾動(dòng)地到達(dá)水平地面上，繼續(xù)純滾動(dòng)，與光滑豎直墻做完全彈性碰撞后返回，經(jīng)足夠長(zhǎng)的水平距離后重新做純滾動(dòng)，并純滾動(dòng)地爬上斜坡，設(shè)地面與圓柱體之間的摩擦系數(shù)為μ，試求圓柱體爬坡所能達(dá)到的高度h′.小試身手題3純滾動(dòng)時(shí)圓柱角速度由機(jī)械能守恒:vc0ωc0與墻76小試身手題4122112⑴完成彈性碰撞后設(shè)兩球各經(jīng)t1、t2達(dá)到純滾動(dòng)，質(zhì)心速度為v1、v2，對(duì)球1：，

對(duì)球2：

在水平地面上有兩個(gè)完全相同的均勻?qū)嵭那颍湟蛔黾儩L動(dòng)，質(zhì)心速度為v，另一靜止不動(dòng)，兩球做完全彈性碰撞，因碰撞時(shí)間很短，碰撞過(guò)程中摩擦力的影響可以不計(jì)．試求⑴碰后兩球達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)的質(zhì)心速度；⑵全部過(guò)程中損失的機(jī)械能的百分?jǐn)?shù)．續(xù)解小試身手題4122112⑴完成彈性碰撞后設(shè)兩球各經(jīng)t1、t277⑵系統(tǒng)原機(jī)械能為

達(dá)到純滾動(dòng)后的機(jī)械能讀題⑵系統(tǒng)原機(jī)械能為達(dá)到純滾動(dòng)后的機(jī)械能讀題78設(shè)以某棱為軸轉(zhuǎn)動(dòng)歷時(shí)Δt，角速度ωi→ωf，vivf30°30°fNθa對(duì)質(zhì)心由動(dòng)量定理：對(duì)剛體由動(dòng)量矩定理：時(shí)間短，忽略重力沖量及沖量矩

如圖所示，一個(gè)直、剛性的固體正六角棱柱，形狀就像通常的鉛筆，棱柱的質(zhì)量為M，密度均勻．橫截面六邊形每邊長(zhǎng)為a．六角棱柱相對(duì)于它的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為．現(xiàn)令棱柱開始不均勻地滾下斜面．假設(shè)摩擦力足以阻止任何滑動(dòng)，并且一直接觸斜面．某一棱剛碰上斜面之前的角速度為ωi，碰后瞬間角速度為ωf，在碰撞前后瞬間的動(dòng)能記為Eki和Ekf，試證明ωf＝sωi，Ekf＝rE，并求出系數(shù)s和r的值．小試身手題5設(shè)以某棱為軸轉(zhuǎn)動(dòng)歷時(shí)Δt，角速度ωi→ωf，vivf30°379高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)80質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為:角動(dòng)量大?。?---平行四邊形面積角動(dòng)量方向：右手螺旋定則思考：質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的角動(dòng)量如何？預(yù)備知識(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的角動(dòng)量為:角動(dòng)量大小：81

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.一剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意82

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體的平面運(yùn)動(dòng).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)83

剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+84二轉(zhuǎn)動(dòng)定律O

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二轉(zhuǎn)動(dòng)定律O轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量85

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的密度、幾何形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.注意單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系

質(zhì)量連續(xù)分布單位:千克·米2（kg·m2）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.剛86O′O

設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元

討論：一質(zhì)量為

m

、長(zhǎng)為

l

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，與棒垂直的軸的位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化.O′O轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒轉(zhuǎn)軸過(guò)中心垂直于棒O′O設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸87圓盤、圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于質(zhì)量為、半徑為、厚為

的均勻圓盤取半徑為

寬為

的薄圓環(huán)，則有可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與厚度無(wú)關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與圓盤的相同。則有由于圓盤、圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于質(zhì)量為、半徑為、厚為88球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

將均質(zhì)球體分割成一系列彼此平行且都與對(duì)稱軸垂直得圓盤，則有球體繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將均質(zhì)球體分割成一系列89平行軸定理設(shè)任意物體繞某固定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，繞通過(guò)質(zhì)心而平行于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則有

miRirid

xCyθiO平行軸定理設(shè)任意物體繞某固定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，繞通過(guò)質(zhì)心而90MM2a2aOCMM2a2aOC91o

對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于位于板面內(nèi)與Oz軸交于一點(diǎn)的兩相互正交軸Ox和Oy的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直軸定理o對(duì)于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于92

若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,等與各部分對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。即

例如：有質(zhì)量為,長(zhǎng)為的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)球體組成的剛體，對(duì)Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為組合定理若力學(xué)體系有幾個(gè)部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)93物理競(jìng)賽輔導(dǎo)之剛體動(dòng)力學(xué)課件94竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣95

例1

一長(zhǎng)為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得mlo例1一長(zhǎng)為質(zhì)量為96式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得mlo式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得mlo97

例2

有一半徑為R質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,以角速度ω0繞通過(guò)圓心垂直圓盤平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng).若有一個(gè)與圓盤大小相同的粗糙平面(俗稱剎車片)擠壓此轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤,故而有正壓力N均勻地作用在盤面上,從而使其轉(zhuǎn)速逐漸變慢.設(shè)正壓力N和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實(shí)驗(yàn)測(cè)出.試問(wèn)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止轉(zhuǎn)動(dòng)?

解:在圓盤上取面積微元,面積元所受對(duì)轉(zhuǎn)軸的摩擦力矩大小r剎車片例2有一半徑為R質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤,以98面積微元所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩圓盤角加速度停止轉(zhuǎn)動(dòng)需時(shí)rR面積微元所受摩擦力矩圓環(huán)所受摩擦力矩圓盤所受摩擦力矩圓盤角加99Cxy*例3如圖一斜面長(zhǎng)l=1.5m,與水平面的夾角=5o.有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端,然后由頂端沿斜面向下滾動(dòng),一個(gè)物體是質(zhì)量m1=0.65kg、半徑為R1

的實(shí)心圓柱體,另一物體是質(zhì)量為m2=0.13kg、半徑R2=R1=R的薄壁圓柱筒.它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間?

解:物體由斜面頂端滾下,可視為質(zhì)心的平動(dòng)和相對(duì)質(zhì)心的滾動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成.Cxy*例3如圖一斜面長(zhǎng)l=1.5m,與100Cxy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律角量、線量關(guān)系實(shí)心圓拄空心圓筒Cxy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律角量、線量關(guān)系實(shí)心圓拄空心圓筒101

例4有一緩慢改變傾角的固定斜面，如圖所示。一質(zhì)量為m

，半徑為R的勻質(zhì)圓柱體從高h(yuǎn)處由靜止沿光滑斜面滑下，緊接著沿粗糙水平面運(yùn)動(dòng)。已知水平面與圓柱體間的摩擦系數(shù),求：

1）圓柱體沿水平面運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間后開始作純滾動(dòng)。

2）圓柱體達(dá)到純滾動(dòng)前經(jīng)歷的水平距離。例4有一緩慢改變傾角的固定斜面，如圖所102

解：1）沿光滑斜面，圓柱體僅作滑動(dòng)；沿水平面達(dá)到純滾動(dòng)前作滑滾運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)方程為：由以上三式解得：解：1）沿光滑斜面，圓柱體僅作滑動(dòng)；沿水平面103達(dá)到純滾動(dòng)前有：達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)有：解得作純滾動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：2）達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)經(jīng)歷的距離：達(dá)到純滾動(dòng)前有：達(dá)到純滾動(dòng)時(shí)有：解得作純滾動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：2）104

例5

質(zhì)量為的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為的物體B

上.滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問(wèn)：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從

再求線加速度及繩的張力.靜止落下距離

時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為ABC例5質(zhì)量為的105ABCOO

解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B

及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.ABCOO解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B106如令，可得（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率ABC如令，可得（2）B由靜止出發(fā)作107

（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩，轉(zhuǎn)動(dòng)定律結(jié)合（1）中其它方程（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩108ABCABC109三

角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理O

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理三角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理O剛110

角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理

若，則.討論

在沖擊等問(wèn)題中常量三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.內(nèi)力矩不改111

有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.它是自然界的普遍適用的規(guī)律.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水飛輪航天器調(diào)姿有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.它是112解:

系統(tǒng)角動(dòng)量守恒

例1

兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2的圓盤A和B.A是機(jī)器上的飛輪,B是用以改變飛輪轉(zhuǎn)速的離合器圓盤.開始時(shí),他們分別以角速度ω1和ω2繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).然后,兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下.嚙合為一體,其角速度為ω,求齒輪嚙合后兩圓盤的角速度.解:系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例1兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分113

解:

碰撞前M

落在A點(diǎn)的速度

例2

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來(lái).設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為

,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問(wèn)演員N可彈起多高?ll/2CABMNh

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度解:碰撞前M落在A點(diǎn)的速度114M、N和蹺板系統(tǒng)角動(dòng)量守恒演員N達(dá)到的高度ll/2CABMNhM、N和蹺板系統(tǒng)角動(dòng)量守恒演員N達(dá)到的高115

例3

質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l

的均勻細(xì)桿,可繞過(guò)其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí),有一只小蟲以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處,并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?

解:碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例3質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)桿,116角動(dòng)量定理考慮到角動(dòng)量定理考慮到117力矩的功1力矩作功2力矩的功率四

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能與動(dòng)能定理力矩的功1力矩作功2力矩的功率四剛體1183轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.3轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能4剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理119質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能之和。此結(jié)論稱為柯尼希定理。特別地：作平面運(yùn)動(dòng)的剛體動(dòng)能為科尼希定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能等于質(zhì)心動(dòng)能與體系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能之和。此結(jié)論稱120質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度加速度角速度角加速度質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)量角動(dòng)量力力矩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度加速度角速121質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律力的功力矩的功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)的平122質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理動(dòng)能定理重力勢(shì)能重力勢(shì)能機(jī)械能守恒只有保守力作功時(shí)機(jī)械能守恒只有保守力作功時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)123圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；124

例4

一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為的子彈射入豎直竿底端，使竿的偏轉(zhuǎn)角為90o.問(wèn)子彈的初速率為多少?

解:

把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng).子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例4一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為125

例4

一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為、速率為的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問(wèn)子彈的初速率為多少?

解:

把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng).子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒例4一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為126

射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒.射入竿后，以子彈、細(xì)桿和127

例5

一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒,棒的一端可繞通過(guò)O點(diǎn)并垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動(dòng),棒的另一端有質(zhì)量為m的小球.開始時(shí),棒靜止地處于水平位置A.當(dāng)棒轉(zhuǎn)過(guò)角到達(dá)位置B,棒的角速度為多少?

解:

取小球、細(xì)棒和地球?yàn)橄到y(tǒng),在棒轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒,設(shè)A

位置為重力勢(shì)能零點(diǎn).AB例5一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒,128ABAB129剛體的平面運(yùn)動(dòng)知識(shí)拓展剛體的平面運(yùn)動(dòng)知識(shí)拓展130

一、問(wèn)題的提出回顧：剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)—平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)請(qǐng)觀察以下剛體的運(yùn)動(dòng)：火車車輪剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義：

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,剛體上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變.即剛體上任一點(diǎn)都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)．一、問(wèn)題的提出回顧：剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)—平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)請(qǐng)觀察131

二、剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化ⅠⅡSA1A2M●

過(guò)剛體作平面Ⅱ平行平面Ⅰ

平面Ⅱ與剛體相交截出一個(gè)平面圖形S；●平面圖形S始終保持在平面Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)；●在S面內(nèi)任選一點(diǎn)M，過(guò)M做平面Ⅱ垂線S剛體平面運(yùn)動(dòng)平面圖形S

在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)A1MA2做平動(dòng)M點(diǎn)可代表直線A1MA2上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)設(shè)剛體上任一點(diǎn)到固定平面Ⅰ的距離保持不變二、剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化ⅠⅡSA1A2M●過(guò)剛體作平面Ⅱ平面運(yùn)動(dòng)定理：

平面運(yùn)動(dòng)可任意選取基點(diǎn)，分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中平動(dòng)的速度和加速度與基點(diǎn)的選擇有關(guān)，而繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，或者說(shuō)平面圖形相對(duì)各平移參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)情況都一樣。

所以提平面圖形的角速度，無(wú)需指明是相對(duì)哪個(gè)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。平面運(yùn)動(dòng)定理：133例6行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA

＝wII·DA。所以例6行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪I134vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度。vBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B的速度以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度。vCA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C的速度vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以135定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為零的點(diǎn)。三

求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wS設(shè)有一個(gè)平面圖形S角速度為w，圖形上點(diǎn)A的速度為vA，如圖。在vA的垂線上取一點(diǎn)C(由vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，有如果取AC＝vA/w，則NCvAvCA該點(diǎn)稱為瞬時(shí)速度中心，或簡(jiǎn)稱為速度瞬心。vAA定理：一般情況，在每一瞬時(shí)，平面圖形上都唯一地存在一個(gè)速度為

圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點(diǎn)到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的一方。

三

求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)到速度瞬心的距離成正比。速度的確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)平面圖形沿一固定表面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，圖形與固定面的接觸點(diǎn)C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)。三

求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法vC確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)平面圖形沿一固定表(2)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每點(diǎn)速度的垂線的交線上。三求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wABwOCvAABvB(2)已知圖形內(nèi)任意兩點(diǎn)A和B的速度的方向，速度瞬心C的位(3)已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點(diǎn)的連線AB，則速度瞬心必定在連線AB與速度矢vA和vB端點(diǎn)連線的交點(diǎn)C上。三求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC(3)已知圖形上兩點(diǎn)A和B的速度相互平行，并且速度的方向(4)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等,如圖所示，圖形的速度瞬心在無(wú)限遠(yuǎn)處。(瞬時(shí)平動(dòng)：此時(shí)物體上各點(diǎn)速度相同，但加速度不一定相等)三求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的瞬心法wOvAABvB另外注意：瞬心的位置是隨時(shí)間在不斷改變的，它只是在某瞬時(shí)的速度為零，加速度并不為零。(4)某瞬時(shí)，圖形上A、B兩點(diǎn)的速度相等,如圖所示，圖形的例7

求圖示B點(diǎn)及直桿中點(diǎn)M的速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)AvAvBB30°CvMwM

瞬心在C點(diǎn)例7求圖示B點(diǎn)及直桿中點(diǎn)M的速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)Av例8

已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。O例8已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求45o90o90oO1OBAD例9

已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1)AB桿的角速度；(2)

B和D點(diǎn)的速度。w

解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，OA和O1B都作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)是AB桿作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vAvBvDCwAB45o90o90oO1OBAD例9已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1B＝例10

直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無(wú)滑動(dòng)，如圖，求時(shí)圓柱的角速度。

解一：圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在

點(diǎn)，設(shè)其角速度為。

AB圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在

點(diǎn)，則即亦即故例10直桿AB與圓柱O相切于