追與問題講座與練習(xí)答案

..追及問題精講知識(shí)導(dǎo)航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程＝甲的速度×追及時(shí)間—乙的速度×追及時(shí)間＝〔甲的速度—乙的速度×追及時(shí)間＝速度差×追及時(shí)間.例1：甲、乙兩地相距240千米,一列慢車從甲地出發(fā),每小時(shí)行60千米．同時(shí)一列快車從乙地出發(fā),每小時(shí)行解析：追及路程即為兩地距離240千米速度差90－60=30〔千米所以追及時(shí)間240÷30=8〔小時(shí).[鞏固1]下午放學(xué)時(shí),弟弟以每分鐘40米的速度步行回家.5分鐘后,哥哥以每分鐘60米的速度也從學(xué)校步行回家,哥哥出發(fā)后,經(jīng)過幾分鐘可以追上弟弟？〔假定從學(xué)校到家有足夠遠(yuǎn),即哥哥追上弟弟時(shí),仍沒有回到家解析：若經(jīng)過5分鐘,弟弟已到了A地,此時(shí)弟弟已走了40×5=200〔米；哥哥每分鐘比弟弟多走20米,幾分鐘可以追上這20040×5÷〔60－40=10〔分答：哥哥10分鐘可以追上弟弟.[鞏固2]甲、乙二人都要從北京去天津,甲行駛10千米后乙才開始出發(fā),乙每小時(shí)行駛15千米,甲每小時(shí)行駛10千米,問：乙經(jīng)過多長時(shí)間能追上甲？解析：出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距10千米,以后兩人的距離每小時(shí)都縮短15－10=5〔千米,即兩人的速度的差〔簡稱速度差,所以10千米里有幾個(gè)5千米就是幾小時(shí)能追上：10÷<15－10>=2〔小時(shí)答：還需要2個(gè)小時(shí).[鞏固3]解放軍某部先遣隊(duì),從營地出發(fā),以每小時(shí)6千米的速度向某地前進(jìn),12小時(shí)后,部隊(duì)有急事,派通訊員騎摩托車以每小時(shí)78千米解析：追及路程就是先遣隊(duì)12小時(shí)行駛的路程?！?×12÷〔78－6=1<小時(shí)>．答：通訊員1小時(shí)能趕上先譴隊(duì).例2：小明步行上學(xué),每分鐘行70米．離家12分鐘后,爸爸發(fā)現(xiàn)小明的文具盒忘在家中,爸爸帶著文具盒,立即騎自行車以每分鐘280解析：如圖：當(dāng)爸爸開始追小明時(shí),小明已經(jīng)離家：70×12=840<米>,即爸爸要追及的路程為840米,也就是爸爸與小明的距離是840米,我們把這個(gè)距離叫做"路程差",爸爸出發(fā)后,兩人同時(shí)走,每過280－70=210<米>,也就是爸爸與小明的速度差為280－70=210<米/分>,爸爸追及的時(shí)間：840÷210=4<分鐘>．當(dāng)爸爸追上小明時(shí),小明已經(jīng)出發(fā)12+4=16<分鐘>,此時(shí)離家的距離是：70×16=1120<米>[鞏固1]哥哥和弟弟在同一所學(xué)校讀書．哥哥每分鐘走65米,弟弟每分鐘走40米,有一天弟弟先走5解析：哥哥出發(fā)的時(shí)候弟弟走了：40×5=200〔米,哥哥追弟弟的追及時(shí)間為：200÷<65－40>=8〔分鐘,所以家離學(xué)校的距離為：8×65=520〔米.答：他們家離學(xué)校有520米。[鞏固2]小明以每分鐘50米的速度從學(xué)校步行回家,12分鐘后小強(qiáng)從學(xué)校出發(fā)騎自行車去追小明,結(jié)果在距學(xué)校1000米解析：小強(qiáng)出發(fā)的時(shí)候小明走了50×12=600〔米,被小強(qiáng)追上時(shí)小明又走了：〔1000－600÷50=8〔分鐘,說明小強(qiáng)8分鐘走了1000米所以小強(qiáng)的速度為：1000÷8=125〔米/分鐘.答：小強(qiáng)騎自行車的速度是125米/分鐘。例3:小強(qiáng)每分鐘走70米,小季每分鐘走60米,兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)背向走了3分鐘,小強(qiáng)掉頭去追小季,追上小季時(shí)小強(qiáng)共走了多少米？解析：小強(qiáng)走的時(shí)間是兩部分,一部分是和小季背向走的時(shí)間,另一部分是小強(qiáng)追他的時(shí)間,要求追及時(shí)間,就要求出他們的路程差．路程差是兩人相背運(yùn)動(dòng)的總路程：〔60+70×3=390<米>追及時(shí)間為：390÷<70－60>=39<分鐘>小強(qiáng)走的總路程為：70×〔39+3=2940<米>答：追上小季時(shí)小強(qiáng)共走了2940米[鞏固]小聰和小明從學(xué)校到相距2400米的電影院去看電影．小聰每分鐘行60米解析：要求小明每分鐘走多少米,就要先求小明所走的路程<已知>和小明所用的時(shí)間；要求小明所用的時(shí)間,就要先求小聰所用的時(shí)間,小聰所用的時(shí)間是：2400÷60=40〔分鐘小明所用的時(shí)間是：40－10=30<分鐘>,小明每分鐘走的米數(shù)是：2400÷30=80<米>．答：小明每分鐘走80米例4:王芳和李華放學(xué)后,一起步行去體校參加排球訓(xùn)練,王芳每分鐘走110米,李華每分鐘走70米,出發(fā)5分鐘后,王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服,在學(xué)校又耽誤了2分鐘,然后追趕李華．求多少分鐘后追上李華？解析：已知二人出發(fā)5分鐘后,王芳返回學(xué)校取運(yùn)動(dòng)服,這樣用去了5分鐘,在學(xué)校又耽誤了2分鐘,王芳一共耽誤了5×2+2=12〔分鐘李華在這段時(shí)間比王芳多走：70×12=840<米>速度差為：110－70=40<米/分>王芳追上李華的時(shí)間是：840÷40=21〔分鐘答：王芳追上李華的時(shí)間是21分鐘。[鞏固1]小王、小李共同整理報(bào)紙,小王每分鐘整理72份,小李每分鐘整理60份,小王遲到了1分鐘,當(dāng)小王、小李整理同樣多份的報(bào)紙時(shí),正好完成了這批任務(wù)．一共有多少份報(bào)紙？解析：本題可用追及問題思路解題,類比如下：路程差：小王遲到1分鐘這段時(shí)間,小李整理報(bào)紙的份數(shù)〔60份,速度差：72－60=12〔份/分鐘．此時(shí)可求兩人整理同樣多份報(bào)紙時(shí),小王所用時(shí)間,即追及時(shí)間是60÷12=5〔分鐘．共整理報(bào)紙：5×72×2=720〔份答：一共有720份報(bào)紙[鞏固2]甲、乙兩車同時(shí)從A地向B地開出,甲每小時(shí)行38千米,乙每小時(shí)行34千米,開出1小時(shí)后,甲車因有緊急任務(wù)返回A地；到達(dá)A地后又立即向B地開出追乙車,當(dāng)甲車追上乙車時(shí),兩車正好都到達(dá)B地,求A、B兩地的路程．解析：根據(jù)題意畫出線段圖：從圖中可以看出,當(dāng)甲開始追乙的時(shí)候兩車的路程差正好是乙車已經(jīng)行駛的2小時(shí)的路程,那么根據(jù)追及路程和速度差可以求出追及時(shí)間,而追及時(shí)間正好是甲車從A地到B地所用的時(shí)間,由此可以求出A、B兩地的路程,追及路程為：34×2=68<千米>;追及時(shí)間為：68÷〔38－34=17<小時(shí)>.A、B兩地的路程為：38×17=646<千米>.答：A、B兩地的路程是646千米。例5:甲、乙兩輛汽車同時(shí)從A地出發(fā)去B地,甲車每小時(shí)行50千米,乙車每小時(shí)行40千米．途中甲車出故障停車修理了3小時(shí),結(jié)果甲車比乙車遲到1小時(shí)到達(dá)B地．A、B兩地間的路程是多少？解析：由于甲車在途中停車3小時(shí),比乙車遲到1小時(shí),說明行這段路程甲車比乙車少用2小時(shí)．可理解成甲車在途中停車2小時(shí),兩車同時(shí)到達(dá),也就是乙車比甲車先行2小時(shí),兩車同時(shí)到達(dá)B地,所以,也可以用追及問題的數(shù)量關(guān)系來解答．即：行這段路程甲車比乙車少用的時(shí)間是：3－1=2<小時(shí)>,乙車2小時(shí)行的路程是：40×2=80<千米>,甲車每小時(shí)比乙車多行的路程是：50－40=10<千米>,甲車所需的時(shí)間是：80÷10=8<小時(shí)>,A、B兩地間的路程是：50×8=400<千米>．答：A、B兩地間的路程是400千米。[鞏固1]甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā),同向而行,乙車在前,甲車在后．已知甲車比乙車提前出發(fā)1小時(shí),甲車的速度是96千米/小時(shí),乙車每小時(shí)行80千米．甲車出發(fā)5小時(shí)后追上乙車,求A、B兩地間的距離．解析：由已知可求出甲、乙兩車的追及時(shí)間,利用追及問題的公式求解．追及時(shí)間為：5－1=4<小時(shí)>,追及路程為：〔96－80×4=64<千米>,A、B兩地間的距離為：96+64=160<千米>答：A、B兩地間的距離160千米。[鞏固2]一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā),向同一個(gè)方向前進(jìn),摩托車在前,每小時(shí)行28千米,汽車在后,每小時(shí)行解析：先求出汽車每小時(shí)比摩托車多行駛的路程<速度差>,再求出兩地相距的路程,即：〔65－28×4=148<千米>.答：甲乙兩地相距148千米例6：小明的家住學(xué)校的南邊,小芳的家在學(xué)校的北邊,兩家之間的路程是1410米,每天上學(xué)時(shí),如果小明比小芳提前3分鐘出發(fā),兩人可以同時(shí)到校．已知小明的速度是70米/分鐘,小芳的速度是80解析：小明比小芳提前3分鐘出發(fā),則多走70×3=210〔米．兩家之間的所剩路程是1410－210=1200<米>,兩人的速度和是70+80=150〔米,走完所剩路程需：1200÷〔70+80=8〔分小明家距離學(xué)校70×〔8+3=770〔米．答：小明家距離學(xué)校有770米。[鞏固]學(xué)校和部隊(duì)駐地相距16千米,小宇和小宙由學(xué)校騎車去部隊(duì)駐地,小宇每小時(shí)行12千米,小宙每小時(shí)行15千米．當(dāng)小宇走了3千米后,小宙才出發(fā)．當(dāng)小宙追上小宇時(shí),距部隊(duì)駐地還有多少千米？解析：追及時(shí)間：3÷〔15－12=1<小時(shí)>,此時(shí)距部隊(duì)駐地還有：16－15=1<千米>．當(dāng)小宙追上小宇時(shí),距部隊(duì)駐地還有1例7：甲、乙兩列火車同時(shí)從A地開往B地,甲車8小時(shí)可以到達(dá),乙車每小時(shí)比甲車多行20千米,比甲車提前2小時(shí)到達(dá)．求A、B兩地間的距離．解析：這道題的路程差比較隱蔽,需要仔細(xì)分析題意,乙到達(dá)時(shí),甲車離終點(diǎn)還有兩小時(shí)的路程,因此路程差是甲車兩小時(shí)的路程．方法一：如圖：甲車8小時(shí)可以到達(dá),乙車比甲車提前2小時(shí)到達(dá),因此：乙車到達(dá)時(shí)用了：8－2=6〔小時(shí)>,此時(shí)路程差為：20×6=120<千米>,此時(shí)路程差就是甲車2小時(shí)的路程,所以甲車速度為：120÷2=60<千米/小時(shí)>,A、B兩地間的距離：60×8=480<千米>方法二：如圖：假設(shè)兩車都行了8小時(shí),則甲車剛好到達(dá),乙車則超出了：20×8=160<千米>這段路程正好是乙車2小時(shí)走的,因此乙車速度：160÷2=80<千米/小時(shí)>乙車到達(dá)時(shí)用了：8－2=6<小時(shí)>A、B兩地間的距離：80×6=480<千米>答：A、B兩地間的距離是480千米。例8：龜、兔進(jìn)行1000米的賽跑．小兔斜眼瞅瞅?yàn)觚?心想："我小兔每分鐘能跑100米,而你烏龜每分鐘只能跑10米,哪是我的對(duì)手．"解析：⑴烏龜勝利了．因?yàn)橥米有褋頃r(shí),烏龜離終點(diǎn)只有40米烏龜需要40÷10=4<分鐘>就能到達(dá)終點(diǎn),而兔子離終點(diǎn)還有500米,需要500÷100=5<分鐘>⑵烏龜跑到終點(diǎn)還要40÷10=4<分鐘>,而小兔跑到終點(diǎn)還要1000÷2÷100=5<分鐘>,慢1分鐘．當(dāng)勝利者烏龜跑到終點(diǎn)時(shí),小兔離終點(diǎn)還有：100×1=100<米>．[鞏固]上一次龜兔賽跑兔子輸?shù)煤懿环?于是向?yàn)觚斣俅蜗聭?zhàn)書,比賽之前,為了表示它的大度,它讓烏龜先跑10分鐘,但是兔子不知道烏龜經(jīng)過鍛煉,速度已經(jīng)提高到5倍,那么這一次誰將獲得勝利呢？解析：由烏龜速度提高到5倍,可知烏龜現(xiàn)在的速度為<米/分>,烏龜先跑10分鐘,即兔子開始跑時(shí),烏龜已經(jīng)跑了50×10=500<米>,還剩1000－500=500<米>,需要500÷50=10<分鐘>就可以到達(dá)終點(diǎn),而兔子到達(dá)終點(diǎn)需要的時(shí)間是：1000÷100=10<分鐘>,所以,兔子和烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．答：兔子和烏龜同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．例9：軍事演習(xí)中,"我"海軍英雄艦追及"敵"軍艦,追到A島時(shí),"敵"艦已在10分鐘前逃離,"敵"艦每分鐘行駛1000米,"我"海軍英雄艦每分鐘行駛1470米,在距離"敵"艦600米處可開炮射擊,問"我"解析："我"艦追到A島時(shí),"敵"艦已逃離10分鐘了,因此,在A島時(shí),"我"艦與"敵"艦的距離為10000米。.又因?yàn)?我"艦在距離"敵"艦600米處即可開炮射擊,即"我"艦只要追上"敵"艦9400,即可開炮射擊.所以,在這個(gè)問題中,不妨把〔1000×10÷〔1470－1000=20〔分鐘,經(jīng)過20分鐘可開炮射擊"敵"艦.[鞏固]<第二屆"走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園">在一條筆直的高速公路上,前面一輛汽車以90千米/小時(shí)的速度行駛,后面一輛汽車以108千米/小時(shí)的速度行駛．后面的汽車剎車突然失控,向前沖去<車速不變解析：這是一道"追及問題"．根據(jù)追及問題的公式,追及時(shí)間,路程差÷時(shí)間差．由題意知,追及時(shí)間為5秒鐘,也就是5÷〔60×60小時(shí)兩車相距距離為路程差,速度差為108－90=18<千米/時(shí)>,也就是18000米/所以路程差為：18000×5÷3600=25<米>,所以,在這輛車鳴笛時(shí)兩車相距25米答：在這輛車鳴笛時(shí)兩車相距25米例10：小紅和小藍(lán)練習(xí)跑步,若小紅讓小藍(lán)先跑20米,則小紅跑5秒鐘就可追上小藍(lán)；若小紅讓小藍(lán)先跑4秒鐘,則小紅跑6解析：小紅讓小藍(lán)先跑20米,則20米就是小紅、小藍(lán)二人的路程差,小紅跑5秒鐘追上小藍(lán),5秒就是追及時(shí)間,據(jù)此可求出他們的速度差為20÷5=4<米若小紅讓小藍(lán)先跑4秒,則小紅6秒可追上小藍(lán),在這個(gè)過程中,追及時(shí)間為6秒,根據(jù)上一個(gè)條件,由追及差和追及時(shí)間可求出在這個(gè)過程中的路程差,這個(gè)路程差即是小藍(lán)4秒鐘所行的路程,路程差就等于4×6=24<米>就是小藍(lán)在4秒內(nèi)跑了24米綜合列式計(jì)算如下：小藍(lán)的速度為：20÷5×6÷4=6<米/秒>,小紅的速度為：6+4=10<米/秒>[鞏固]甲、乙二人練習(xí)跑步,若甲讓乙先跑10米,則甲跑5秒鐘可追上乙；若甲讓乙先跑2秒鐘,則甲跑4秒鐘就能追上乙．問：甲、乙二人的速度各是多少？解析：若甲讓乙先跑10米,則10米就是甲、乙二人的路程差,5秒就是追及時(shí)間,據(jù)此可求出他們的速度差為10÷5=2<米/秒>；若甲讓乙先跑2秒,則甲跑4秒可追上乙,在這個(gè)過程中,追及時(shí)間為4秒,因此路程差就等于2×4=8<米>,即乙在2秒內(nèi)跑了8乙的速度為：10÷5×4÷2=4〔米甲的速度為：10÷5+4=6<米/秒>例11：甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā),如果兩人同向而行,甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行,6分鐘可相遇,又已知乙每分鐘行50米,求A、B兩地的距離解析：先畫圖如下：若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為C,甲追及乙的地點(diǎn)為D,則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘,因此,甲走C到D之間的路程,用時(shí)間應(yīng)為：26－6=20〔分.同時(shí),由上圖可知,C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和,為50×〔26+6=1600〔米.所以,甲的速度為1600÷20=80〔米/分,由此可求出A、B間的距離：50×〔26+6÷〔26－6=80〔米/分,〔80+50×6=780〔米答：A、B兩地的距離是780米。例12：甲、乙二人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)到少年宮去,已知學(xué)校到少年宮的距離是2400米．甲到少年宮后立即返回學(xué)校,在距離少年宮300米處遇到乙,此時(shí)他們離開學(xué)校已經(jīng)解析：根據(jù)題意,畫線段圖如下：方法一：30分鐘內(nèi),二人的路程和：2400×2=4800<米>,因此速度和為：4800÷30=160<米/分>；又知道30分鐘甲的路程為：2400+300=2700<米>,所以甲速度為：2700÷30=90<米/分>,則乙速度為：160－90=70<米/分>．方法二：30分鐘內(nèi),甲的路程為2400+300=2700<米>,乙走的路程為：2400－2100=300<米>,因此甲的速度為：2700÷30=90<米/分>,乙的速度為：〔2400－300÷30=70<米/分>答：甲每分鐘走90米,乙每分鐘走70米.課后練習(xí)1、甲地和乙地相距40千米,平平和兵兵由甲地騎車去乙地,平平每小時(shí)行14千米,兵兵每小時(shí)行17千米,當(dāng)平平走了6千米后,兵兵才出發(fā),當(dāng)兵兵追上平平時(shí),距乙地還有多少千米？解析：平平走了6千米后,兵兵才出發(fā),這6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小時(shí)比平平多走17－14=3<千米>,要求兵兵幾小時(shí)可以追上6千米,也就是求6千米里包含著幾個(gè)3千米,用6÷3=2<小時(shí)>．因?yàn)榧椎睾鸵业叵嗑?0千米,兵兵每小時(shí)行17千米,2小時(shí)走了17×2=34<千米>,所以兵兵追上平平時(shí),距乙地還有40－34=6<千米答：距乙地還有6千米2、一輛慢車從甲地開往乙地,每小時(shí)行40千米,開出5小時(shí)后,一輛快車以每小時(shí)90千米的速度也從甲地開往乙地．在甲乙兩地的中點(diǎn)處快車追上慢車,甲乙兩地相距多少千米？解析：慢車先行的路程是：40×5=200<千米>,快車每小時(shí)追上慢車的千米數(shù)是：90－40=50<千米>,追及的時(shí)間是：200÷50=4<小時(shí)>,快車行至中點(diǎn)所行的路程是：90×4=360<千米>,甲乙兩地間的路程是：360×2=720<千米>．答：甲乙兩地相距720千米3、四年級(jí)同學(xué)從學(xué)校出發(fā)到公園春游,每分鐘走72米,15分鐘以后,學(xué)校有急事要通知學(xué)生,派李老師騎自行車從學(xué)校出發(fā)9分鐘追上同學(xué)們,李老師每分鐘要行多少米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們？解析：同學(xué)們15分鐘走72×15=1080〔米,即路程差．然后根據(jù)速度差＝路程差÷追及時(shí)間,可以求出李老師和同學(xué)們的速度差,又知道同學(xué)們的速度是每分鐘72米,就可以得出李老師的速度．即1080÷9+72=192〔米．答：李老師每分鐘要行192米才可以準(zhǔn)時(shí)追上同學(xué)們4、小李騎自行車每小時(shí)行13千米,小王騎自行車每小時(shí)行15千米．小李出發(fā)后2小時(shí),小王在小李的出發(fā)地點(diǎn)前面6千米處出發(fā),小李幾小時(shí)可以追上小王？解析：小李2小時(shí)走：13×2=26〔千米,又知小王在小李的出發(fā)地點(diǎn)前面6千米處出發(fā),則知道兩人的路程差是26－6=20〔千米．每小時(shí)小王追上小李15－13=2〔千米,則20千米里面有幾個(gè)2千米,則追及時(shí)間就是幾小時(shí),即：20÷2=105、自行車隊(duì)出發(fā)12分鐘后,通信員騎摩托車去追他們,在距出發(fā)點(diǎn)9千米處追上了自行車隊(duì),然后通信員立即返回出發(fā)點(diǎn)；隨后又返回去追自行車隊(duì),再追上時(shí)恰好離出發(fā)點(diǎn)18解析：在第一次追上自行車隊(duì)與第二次追上自行車隊(duì)之間,摩托車所走的路程為<189>千米,而自行車所走的路程為<189>千米,所以,摩托車的速度是自行車速度的3倍<<189><189>>；摩托車與自行車的速度差是自行車速度的2倍,再根據(jù)第一次摩托車開始追自行車隊(duì)時(shí),車隊(duì)已出發(fā)了12分鐘,也即第一次追及的路程差等于自行車在12分鐘內(nèi)所走的路程,所以追及時(shí)間等于1226<分鐘>；聯(lián)系摩托車在距出發(fā)點(diǎn)9千米的地方追上自行車隊(duì)可知：摩托車在6分鐘內(nèi)走了9千米的路程,于是摩托車和自行車的速度都可求出了．列式為：〔189〔1893倍,12〔316<分鐘>,摩托車的速度為：961.5<千米/