積微精課壓軸題3132解析幾何解答題選講

31~32、解析幾何解答題選（直線與圓、橢圓25例1（常州期中18）已知直線x2y20與圓C:x2y24ym0相交，截得的弦長25求圓CM(1,0)作圓C的切線，求切線的直線方程yx2P、Q、RPQPR都與圓C相切，判斷直線QR與圓C的位置關系，并加以證明．作圓交x軸交于D、E兩點．若CDE14M的方程x軸的定直線與圓M相切？若存在，求出此直線的方程；若不存在，請說明BDBE的最大值，并求此時DBE 例3、已知橢圓C 1ab0的離心率為，直線l過點A4,0,B0,2，且與橢圓C相切于點 求橢圓CA4,0mMN，使得36AP235AM求出直線m的方程；若不存在，請說明理由

？若存在4（如東高中期19）已知橢圓C:x2

1(ab0)的焦距4，其短軸的兩個端點與長軸點構成正三角求橢圓C

|PQ最小時，求點T的坐標5、已知圓Ox2y24xA,P在直線l:3xya0P作圓O的切線，切點為T.a8，切點T(3,1),P若不過原點O的直線與圓OBC兩點,且滿足直線OBBCOC6、如圖，在平面直角坐標xOy中，已知橢圓x2y21(ab0)的離心率為 2A為橢圓上P滿足OP2AOP的坐標為2,22條切線互相垂直?若存在,求出定圓M;若不存在,說明理由.1、解：（1）C(0,225

答|045∴圓心Cx2y|04525∴r2 )2(5)2255

| 25∴圓Cx2y2)225k2k24x1或3x4y3k直線QR與圓C|2ab(ab)2PQ：(ab)xyab0，PR：(ac)xyac0；QR：|2ab(ab)2∵PQ是圓C的切線 1，化簡得：(a21)b22ab3a2 ∵PR是圓C的切線，同理可得：(a21)c22ac3a2 3a則bc為方程(a1)x2ax3a0的兩個實根bc3

a2

,bc

a2a∵圓心到直線QR的距離為 |2bc |2 a2a(bc)2 ((bc)2 (a21)2a42a2∴直線QR與圓C相切2、解：（1）由題M(2tt2M為圓心、BM為半徑的圓方程為(x2t)2yt22t44t44t其交x軸的弦t44t

1DE(2t21)14，t22M的方程為(x4)2y4)225(2t)2(t2（2）∵(2t)2(t2M的方程為(x2t)2yt22(t2M t2，My1的距離為t2M（3）在BDE中，設DBE

1BDBEsin 424 8∴BDBE

BD2BE2162

cos，∴BD2BE2 ∴BD

BD2BE22sin2cos22sin((0,= BD=

22故當時，BDBE的最大值為 2 a:b:c2:3a橢圓方程化為

13x24y2lA4,0B0,設直線l:xy1y1x

聯立直線與橢圓方程

y1x

4

x22 x22x43c24443c20c 3橢圓方程為： 1，且可解得P1, 2（2）mm:ykx4Mx1y1Nx2y2由（1）可得 32P1,2 AP140 AMx14,y1,ANx24,y2

AM

AMAMANx14x24y1y2x1x2y1y24x1x2ykx

y并整理可得4k23x232k2x64k21232kx1x24k23,x1x2

64k24k236kyyk2x4x4 4k2 64k2 36k 32k 36k2AMAN4k234k2344k2316

4k2 36k2 4k236AP235AMAN，代入AP2 ，AMAN 可得 4k2 4k22k21k2

若方程4k23x232k2x64k2120有兩不等實根32k2244k2364k2120解得1k

k242

2x4，即：y4

2x y242

x242 c

aa2b2c2 （2）設T(3,mP(x1y1Q(x2y2

b2 ，所以橢圓C的標準方6216m28(m23)24(m21)xmy y21m3)y4my2 所以

y1y2 6

m yy24(m224(m2m2m2m2m2|TF ，|PQ||y1m2m2

1 m2|PQ

m2124(m21)m2

m2

m224(m24(m2m2|TF x2m22 x(x1)， = (x2|PQ 2 x0,2x2x(2,x2 2所以當x 時|TF|最2|PQ|TF|x22m1或|PQ此時點T的坐標為(3,1)或者(3,(

33

1 3k3 3(x

3)，即3xy40

3xy43xy8

x2解得

P(232)（2）P(xy)PA＝2PT，可得(x2)2y24(x2y24)，即3x23y24x200，PA＝2PTP的軌跡是一個圓(x2)2y264， 所以問題可轉化為直線3xya0與圓(x2)2y264 (3)2(3)23233

162

162所以d

8

a ≤a≤ 將它與圓方程聯立并消去y得(k21)x22kbxb240，b2 B(x1y1C(x2y2x1x2k21x1x2k21 22b2 2k 4k2因為y1y2(kx1b)(kx2b)kx1x2kb(x1x2) kk21k21b

k2 yy4k2b2 2 b k2 kx b2故kx b21

k，即b 0，因 ，所 ， ,

A1,

22代入橢圓方

1

1又橢圓的離心率

11，所2

由①②，得

1，故橢圓的方程 2

1（2）Ax1y1Bx2y2Cx3y3，因為OP2AOP2x12y1BPmBC，所以2x1x22y1y2mx3x2y3y2xm1x2x m12yymyy

m y y y m

2

m 代入橢圓方程，得m m1 my2my1 (m1)2 4(m1)x y (11) (22) (1212)1m2 A,B在橢圓上

11,221 因為直線OA,OB的斜率之積為1y1y21，結合②x1x2y1y202 (m

x1 5

將④⑤代入③，得 (3)存在定Mx2y22M上任取一點T(x0y0,x02T(x,y yyk(xx ykxkx

x2 2 0的橢圓的切線方程為 0即 0,將其與橢圓方程2 立得:(12k2)x24k(kxy)x2(kxy)2 2 16k2(kxy)28(12