平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立概述

第三章平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立

本章首先介紹利用時(shí)間序列的樣本統(tǒng)計(jì)特征識(shí)別時(shí)間序列模型，然后分別介紹模型定階、模型估計(jì)和模型檢驗(yàn)的多種方法，對(duì)Box-Jenkins建模方法和Pandit-Wu建模方法歸納總結(jié)，最后給出實(shí)際案例。第一節(jié)模型識(shí)別與定階一、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)（一）自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)1）是平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差的無偏估計(jì)量；則是平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差的漸進(jìn)無偏估計(jì)量。2）通常是正定的。（二）偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)

二、模型的初步識(shí)別（一）截尾性的判斷若yt是一個(gè)真實(shí)MA（q）模型，例1，某資產(chǎn)組合過去100個(gè)交易日收益率情況（二二））偏偏相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)截截尾尾性性的的判判斷斷若yt是是一一個(gè)個(gè)AR（（p））過過程程，~（三三））ARMA（（p，，q））模模型型識(shí)識(shí)別別模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾截尾拖尾PACF截尾拖尾拖尾三、、模模型型的的定定階階1、、殘殘差差的的方方差差殘差差方方差差小小，，相相應(yīng)應(yīng)的的階階數(shù)數(shù)合合理理。。模型殘差平方和自由度殘差方差A(yù)R(1)8184.65468120.03095AR(2)7920.03767117.76331AR(3)7919.294766119.536102、、ACF和和PACF定定階階法法模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相關(guān)函數(shù)（ACF）拖尾截尾拖尾偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）截尾拖尾拖尾模型殘差平方和自由度殘差方差MA(1)80065.715837.1543MA(2)72345.915735.6262MA(3)71123.965635.6381MA(4)71104.135535.9956兩模模型型幾幾乎乎沒沒有有差差異異。。（四四））模模型型定定階階的的最最佳佳準(zhǔn)準(zhǔn)則則函函數(shù)數(shù)法法1、、基基本本思思想想：：確確定定一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，，該該函函數(shù)數(shù)既既要要考考慮慮用用某某一一模模型型擬擬合合原原始始數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的接接近近程程度度，，同同時(shí)時(shí)又又考考慮慮模模型型中中所所含含參參數(shù)數(shù)的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)。。當(dāng)當(dāng)該該函函數(shù)數(shù)取取最最小小值值時(shí)時(shí)，，就就是是最最合合適適的的階階數(shù)數(shù)。。衡量量模模型型擬擬合合數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的接接近近程程度度的的指指標(biāo)標(biāo)是是殘殘差差方方差差。。2、、最最佳佳準(zhǔn)準(zhǔn)則則函函數(shù)數(shù)包包括括AIC、、BIC等等準(zhǔn)準(zhǔn)則則。。AIC準(zhǔn)準(zhǔn)則則是是1973年年由由赤赤池池（（Akaike））提提出出，，此此準(zhǔn)準(zhǔn)則則是是對(duì)對(duì)FPE準(zhǔn)準(zhǔn)則則(用用來來判判別別AR模模型型的的階階數(shù)數(shù)是是否否合合適適)的的推推廣廣，，用用來來識(shí)識(shí)別別ARMA模模型型的的階階數(shù)數(shù)。。該該準(zhǔn)準(zhǔn)則則既既適適合合于于AR，，也也適適合合于于ARMA模模型型。。第二節(jié)模模型型參數(shù)的的估計(jì)一、模型型參數(shù)的的矩方法法估計(jì)二、最小小二乘估估計(jì)三、極大大似然估估計(jì)一、模型型參數(shù)的的矩估計(jì)計(jì)（一）AR(p)模型型的矩估估計(jì)于是可得得如下的的Yule-Walk方程：：于是可得得到的的矩矩估計(jì)：：例1，AR(1)模型型的矩估估計(jì)例2，AR(2)模型型參數(shù)的的矩估計(jì)計(jì)（三）MA(q)模型型參數(shù)的的矩估計(jì)計(jì)第四章已已經(jīng)推導(dǎo)導(dǎo)出MA(q)的自協(xié)協(xié)方差結(jié)結(jié)果，將將代代替，，代代替替(i=1,2……q),得得如下方方程組：：上式是含含有q+1個(gè)參參數(shù)的非非線性方方程組，，解此方方程組，，即可以求出出各參數(shù)數(shù)：方程組可可以直接接求解，，也可以以用迭代代法求解解。例3.MA(1)模模型參數(shù)數(shù)的矩估估計(jì)例4.求求AR(2)模型系系數(shù)的矩矩估計(jì)AR(2)模型型Yule-Walker方程程矩估計(jì)優(yōu)點(diǎn)估計(jì)思想想簡(jiǎn)單直直觀不需要假假設(shè)總體體分布計(jì)算量小?。ǖ碗A階模型場(chǎng)場(chǎng)合）缺點(diǎn)信息浪費(fèi)費(fèi)嚴(yán)重只用到了了p+q個(gè)樣本本自相關(guān)關(guān)系數(shù)信信息，其其他信息息都被忽忽略估計(jì)精度度差通常矩估估計(jì)方法法被用作作極大似似然估計(jì)計(jì)和最小小二乘估估計(jì)迭代代計(jì)算的的初始值值二、最小小二乘估估計(jì)對(duì)于ARMA模模型或MA模型型參數(shù)的的估計(jì)，，一般采采用非線線性最小小二乘法法，或極大似似然估計(jì)計(jì)法。模型參數(shù)數(shù)的極大大似然估估計(jì)四、模型型參數(shù)的的最小平平方和估估計(jì)第三節(jié)模模型型的適應(yīng)應(yīng)性檢驗(yàn)驗(yàn)一、模型型的適應(yīng)應(yīng)性檢驗(yàn)驗(yàn)二、模型型的平穩(wěn)穩(wěn)性和可可逆性分分析一、模型型的適應(yīng)應(yīng)性檢驗(yàn)驗(yàn)若建立的的模型恰恰當(dāng)?shù)拿杳枥L了已已給數(shù)據(jù)據(jù)數(shù)據(jù)序序列的ARMA模型，，那么模模型擬合合的殘差差應(yīng)是白白噪聲序序列，即即均值為為零、常常數(shù)方差差、彼此此不相關(guān)關(guān)。ARMA模型的的適應(yīng)性性檢驗(yàn)，，主要就就是檢驗(yàn)驗(yàn)殘差是否否為白噪噪聲序列列。散點(diǎn)圖法法估計(jì)相關(guān)關(guān)系數(shù)法法F檢驗(yàn)法法卡方檢驗(yàn)驗(yàn)法F檢驗(yàn)法法如果,則拒拒絕原假假設(shè)，即即認(rèn)為ARMA（p，，q）與與ARMA（p-1，，q-1）模型型的擬合合精度有有顯著性性差異，，降階是是不恰當(dāng)當(dāng)?shù)?。反反之，如如果，，則則兩個(gè)模模型的擬擬合精度度沒有顯顯著性差差異，降降階是合合理的。?？ǚ綑z驗(yàn)驗(yàn)法設(shè)為為估計(jì)出出的殘差差序列，，其樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)為為：通常用Q統(tǒng)計(jì)量量檢驗(yàn)原原假設(shè)是是否為白白噪聲。。例5對(duì)對(duì)某商商場(chǎng)100天的的銷售金金額取對(duì)對(duì)數(shù)后進(jìn)進(jìn)行一階階差分得得到每日日銷售額額增長(zhǎng)率率序列從信息準(zhǔn)準(zhǔn)則可見見，AR（1））模型的的信息準(zhǔn)準(zhǔn)則最小小，因此此初步認(rèn)認(rèn)定是AR（1）模型型。接下下來對(duì)模模型的殘殘差是否否存在相相關(guān)性進(jìn)進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)。本章小結(jié)結(jié)1．樣本本自相關(guān)關(guān)和偏自自相關(guān)函函數(shù)是識(shí)識(shí)別平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)間序序列模型型的重要要方法。。由于樣樣本自相相關(guān)和偏偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)是是隨機(jī)變變量，因因此判斷斷其是否否截尾的的方法是是通過構(gòu)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)計(jì)量進(jìn)行行統(tǒng)計(jì)檢檢驗(yàn)。如如果滯后后若干期期的樣本本自相關(guān)關(guān)函數(shù)不不顯著，，而偏自自相關(guān)函函數(shù)是統(tǒng)統(tǒng)計(jì)顯著著異于零零的，則則可能是是MA模模型，反反之則可可能是AR模型型，若二二者均統(tǒng)統(tǒng)計(jì)顯著著異于零零，則可可能是ARMA模型。。2．模型型階數(shù)越越高，往往往殘差差方差越越小，但但待估參參數(shù)增加加，有效效樣本量量隨之也也減小，，因此在在模型定定階時(shí)需需要遵循循“約減減”原則則，即當(dāng)當(dāng)殘差方方差變化化不大時(shí)時(shí)，盡量量選擇階階數(shù)低的的模型。。此外，，AIC，BIC等信信息準(zhǔn)則則考慮了了模型殘殘差與模模型階數(shù)數(shù)之間的的權(quán)衡關(guān)關(guān)系，是是重要的的模型定定階準(zhǔn)則則。3．對(duì)于于AR模模型，參參數(shù)估計(jì)計(jì)比較簡(jiǎn)簡(jiǎn)單，可可以利用用線性最最小二乘乘方法。。而MA和ARMA模模型的參參數(shù)估計(jì)計(jì)相對(duì)困困難，需需要用到到非線性性最小二二乘方法法。對(duì)于于ARMA模型型，最小小平方和和估計(jì)和和極大似似然估計(jì)計(jì)是兩種種重要的的估計(jì)方方法，從從極大似似然估計(jì)計(jì)出發(fā)可可以得到到最小平平方和估估計(jì)。4．模型型檢驗(yàn)是是建立時(shí)時(shí)間序列列模型的的重要步步驟。除除了傳統(tǒng)統(tǒng)的系數(shù)數(shù)顯著性性檢驗(yàn)之之外，時(shí)時(shí)間序列列模型還還需要對(duì)對(duì)參數(shù)是是否冗余余、殘差差是否還還存在相相關(guān)性進(jìn)進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)。只有有通過模模型檢驗(yàn)驗(yàn)之后，，時(shí)間序序列模型型才能最最后確定定。常用用的參數(shù)數(shù)冗余檢檢驗(yàn)有F檢驗(yàn)，，殘差相相關(guān)性檢檢驗(yàn)有卡卡方檢驗(yàn)驗(yàn)。5．Box-Jenkins方法是是以序列列的自相相關(guān)函數(shù)數(shù)和偏