廣州市2020屆高中畢業(yè)班第一次模擬考試試題及答案(理科數(shù)學(xué))

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啟用前2020年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）理科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考評(píng)分說明:1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題不給中間分．一、選擇題題號(hào)答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

10

1

2A

D

D

B

C

B

C

A

C

B

C

B二、填空題13．

，

說明：第13題中第1個(gè)空2分，第二個(gè)空3分．三、解答題17．解：（1）根據(jù)正弦定理

b

，得

b

．因?yàn)?/p>

，所以

b

【或

b

】．由余弦定理，得

b

b

【或

】，

因?yàn)橐驗(yàn)镃

，所以

．（2）由已知與（1）知

，

．由正弦定理

b

，得

，b

．所以b得

，b

．所以b

+（其中

，

）．

因?yàn)?/p>

所以=

，

，所以

．

時(shí)，b

+

取得最大值

．則

則

則

則

．18．解：（1）設(shè)從該市參與馬拉松運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取一個(gè)人，抽到的人剛好是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于

天”記為事件為， ． 設(shè)抽到的人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于

天”的人數(shù)為

， 所以恰好抽到個(gè)人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于

天”的概率為

P

C

．（2）用分層抽樣的方法從個(gè)馬拉松訓(xùn)練者中抽取

個(gè)，則其中“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于

天”有

個(gè)．現(xiàn)從這12人中抽取

個(gè)，則“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于

天”的數(shù)量

服從超幾何分布，

的所有可能的取值為

，，，．，

P

，

P

，

CC

C

C

C

C

，

P

，

P

．

CC

C

CC

C

所以

的分布列如下：

所以E所以E

= ． 19．（1）證明1：在圖中，因?yàn)椤鳛榈冗吶切危覟檫叺闹悬c(diǎn)，所以

．在△中，，

，，所以

．因?yàn)?E

分別為邊

,

的中點(diǎn)，所以ED//

．在圖

中，有

在圖

中，有

，所以

因?yàn)?/p>

，所以△為直角三角形．

．因?yàn)?/p>

，

，所以

．

， 所以

．在△

中，因?yàn)?/p>

，

所以

．同理可證

CE．因?yàn)镃EI

,CE平面BCDE，

平面BCDE，所以

平面BCDE．證明2：在圖中，因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，且為邊的中點(diǎn)，所以

．在△

中，，

，，所以

．因?yàn)?E

分別為邊

,

的中點(diǎn)，所以ED//

．在圖2中，有

ED 在圖2中，有

，所以

在中，

，

，

．在△和△

中，因?yàn)樗浴?/p>

△

．

,

,

所以

．所以

．同理可證

CE．因?yàn)镃EI

,CE平面BCDE，

平面BCDE，所以

平面BCDE．（2）解法1：以E為原點(diǎn)，EB所在直線為

軸，EC所在直線為

軸，平行于

的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E

，則

則

，

，

,

，

,EB

,

,

r

r

E

ED

ED

uur

,

．設(shè)平面的法向量為m

(

,

,

)，

C uuur

uuur

則 mg

mgEB

m

．

取設(shè)平面

的法向量為

(

,

,

)

， 則

則

ED

取

．m

所以

m,

m

．故二面角

的余弦值為故二面角

的余弦值為

．解法2：在四棱錐BCDE中，分別取， 的中點(diǎn)M

，N

，連接

，MN

，． M

因?yàn)椤?/p>

為等邊三角形，所以

，因?yàn)锽EEC，BE

，CEI

， N E

且CE

,

平面

，所以BE

平面

． 因?yàn)?/p>

平面

，所以BE

．因?yàn)辄c(diǎn)M

，N

分別為邊，

的中點(diǎn)，所以NM

//

BE.所以NM

．所以

為所求二面角的平面角.在等邊三角形

中，因?yàn)?/p>

，所以

在△中，MN

EB

．

.所以

AN

在

△

中，

所以

AN

. 在△

中，由余弦定理得

.所以二面角

的余弦值為

.20．（1）解：設(shè)e

M

的半徑為，因?yàn)閑

M

過點(diǎn)

，且與e

N

相切，

MA

,所以 即

MN

MA

．MN

,因?yàn)?/p>

NA

，所以點(diǎn)M

的軌跡是以N

，

為焦點(diǎn)的橢圓．設(shè)橢圓的方程為

b

b

，則

，且

b

，所以

，b

．所以曲線C

的方程為

．

設(shè)直線的斜率為

，則直線的方程為

．

,由 得

，

解之得

，

． 因此點(diǎn)

的坐標(biāo)為．所以可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因此點(diǎn)

的坐標(biāo)為．所以可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

,

因?yàn)橹本€

的斜率為 ，

,

當(dāng)

時(shí)，直線

l的斜率為 =

．

，

，

．即

．

此時(shí)直線l過定點(diǎn)此時(shí)直線l過定點(diǎn)

,0．

時(shí)，直線

l的方程為

時(shí)，直線

l的方程為

，顯然過定點(diǎn)

,0．

綜上所述，直線

l過定點(diǎn)綜上所述，直線

l過定點(diǎn)

,0．設(shè)點(diǎn)

,

，則點(diǎn)

,

，依題意

解法2：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線

l的方程為：

．

， 因?yàn)?/p>

所以

因?yàn)?/p>

，且

，解得

．此時(shí)直線l的方程為

．

由

得

由

得

kmx

m

．

m,

需要滿足

km

m

，即m

．

設(shè)點(diǎn)

,

，

,

，

m

m

km

，

．所以

m

m

．

所以

m

m

．

m

因?yàn)?/p>

．所以

．

即

m

km

m

，即m

km

．所以m

或m

．mm

時(shí)，滿足m

，直線l的方程為

，恒過定點(diǎn)

,．

顯然直線

也過定點(diǎn)

,0，綜上所述，直線

l過定點(diǎn)

,0．當(dāng)m

時(shí)，滿足m

顯然直線

也過定點(diǎn)

,0，綜上所述，直線

l過定點(diǎn)

,0．意．

21．（1）解：因?yàn)?/p>

e

，

所以

e

e

．

當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)時(shí)，

，所以函數(shù)

在

上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，所以函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為

，單調(diào)遞增區(qū)間為

．（2）解：由（1）可知，當(dāng)

時(shí)，

．所以要使

在區(qū)間

上恒成立，只需g

在區(qū)間

上恒成立即可．

．

思路1：因?yàn)樗悸?：因?yàn)?，所?/p>

在區(qū)間

上恒成立， 在區(qū)間

上恒成立．轉(zhuǎn)化為

在區(qū)間

上恒成立．

，則m

，則m

．因?yàn)楫?dāng)

時(shí)，m

，當(dāng)

時(shí)，m

．所以m

在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減．所以m

m

．所以

．所以實(shí)數(shù)

的取值范圍為所以實(shí)數(shù)

的取值范圍為

,． g

g

，

g

g

．①若

，則g

在

上恒成立，所以g

在

上單調(diào)遞減，所以g所以g

g

，由g

，解得

．②若

②若

，則g

在

上恒成立，所以g

在

上單調(diào)遞減， 所以g

g所以g

g

，由g

，解得

．③若

，則當(dāng)③若

，則當(dāng)

時(shí)，g

，當(dāng)

時(shí)，g

．所以函數(shù)g

在上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增．

gg

g

，由

，解得

．此時(shí)實(shí)數(shù)滿足

．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為

,．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為

,．思路3：因?yàn)間

，則g

．g

g

在

上恒成立，

則g則g

，即

．g

g

在

上單調(diào)遞增，因?yàn)間

因?yàn)間

，【或時(shí)，g

】g

．

所以存在

．當(dāng)

時(shí)，g

所以函數(shù)g

在

，當(dāng)

是，g

．

上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增．g

g

g

．

要使g要使g

在

上恒成立， 只要

只要

，解得

．所以實(shí)數(shù)

的取值范圍為

所以實(shí)數(shù)

的取值范圍為

,．思路4：因?yàn)?，所?/p>

在區(qū)間

上恒成立，轉(zhuǎn)化為

在區(qū)間

上恒成立． 令

，則

，

．而

是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，而

是經(jīng)過原點(diǎn)的直線， 設(shè)過原點(diǎn)的直線與

相切于點(diǎn)

,

，則切線方程為

，因?yàn)?/p>

過原點(diǎn)，所以

．

因?yàn)?/p>

，所以

．即切點(diǎn)為

． 所以經(jīng)過原點(diǎn)且與

相切的直線方程為

．所以滿足

所以滿足

的條件是 ，解得

所以實(shí)數(shù)

的取值范圍為

,．

．（3）證明1：由（2）可知，當(dāng)

時(shí)，有

．即

．

，

同理

n

n

n

， ，…，

， ，…，nn

n

n

n

．所以

L

所以

L

．

．

n

n

n

n

n

，

n

n

n

n

n

即證en

n

n n

n

，即證ene

n

e

n

e

n

e

n

．

所以

所以egege

gege

1+

1+L

1+ 1+ 事實(shí)上，設(shè)

p

=

e

，則

p

=

e

，當(dāng)

時(shí)，

p

=

e

，所以

p

在

上單調(diào)遞增．所以

p

p

，所以e

．

．

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

．

n

n

n

n

n22．解：（1）因?yàn)榍€

的參數(shù)方程為消去參數(shù)

，得

22．解：（1）因?yàn)榍€

的參數(shù)方程為

,

（

為參數(shù)），

所以曲線

的方程為

．

,因?yàn)榍€C

的參數(shù)方程為 （

則由

，得

，代入

得

，

因?yàn)?/p>

,

，所以

．因?yàn)?/p>

,

，所以

．

消去

得

b

．

所以曲線C

的方程為