七年級數(shù)學(xué)二元一次方程組(教師講義帶答案)

七年級數(shù)學(xué)二元一次方程組(教師講義帶答案)七年級數(shù)學(xué)二元一次方程組(教師講義帶答案)七年級數(shù)學(xué)二元一次方程組(教師講義帶答案)資料僅供參考文件編號：2022年4月七年級數(shù)學(xué)二元一次方程組(教師講義帶答案)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：二元一次方程組【知識要點(diǎn)】1．二元一次方程:含有兩個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)為1，這樣的方程叫二元一次方程。①二元一次方程左右兩邊的代數(shù)式必須是整式；(不是整式的化成整式)②二元一次方程必須含有兩個未知數(shù)；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知數(shù)的項的次數(shù)，而不是某個未知數(shù)的次數(shù)。2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解任何一個二元一次方程都有無數(shù)解。3．二元一次方程組：①由兩個或兩個以上的整式方程組成，常用“”把這些方程聯(lián)合在一起；②整個方程組中含有兩個不同的未知數(shù)，且方程組中同一未知數(shù)代表同一數(shù)量；③方程組中每個方程經(jīng)過整理后都是一次方程，4．二元一次方程組的解：注意：方程組的解滿足方程組中的每個方程，而每個方程的解不一定是方程組的解。5．會檢驗一對數(shù)值是不是一個二元一次方程組的解6．二元一次方程組的解法：（1）代入消元法（2）加減消元法三、理解解二元一次方程組的思想四、解二元一次方程組的一般步驟（一）、代入法一般步驟：變形——代入——求解——回代——寫解（二）、加減法一般步驟：變形——加減——求解——代入——寫解1.1二元一次方程組的解法（1）用代入法解二元一次方程組例：解方程組 ※解題方法： ①編號：將方程組進(jìn)行編號；②變形：從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進(jìn)行變形，用含有x（或y）的代數(shù)式表示y（或x），即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；③代入：將y=ax+b（或x=ay+b）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去y（或x），得到一個關(guān)于x（或y）的一元一次方程；④求x（或y）：解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；⑤求y（或x）：把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求出y（或x）的值；⑥聯(lián)立：用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解。（2）用加減消元法解二元一次方程組例：解方程組 ※解題方法： ①編號：將方程組進(jìn)行編號；②系數(shù)相等：根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；③相加（或相減）：根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；④求值：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；⑤求另值：把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑥聯(lián)立：用“{”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解。分析

我們已經(jīng)掌握一元一次方程的解法，那么要解二元一次方程組，就應(yīng)設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，為此，就要考慮將一個方程中的某個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示．方程(2)中x的系數(shù)是1，因此，可以先將方程(2)變形為用含y的代數(shù)式表示x，再代入方程(1)求解．這種方法叫“代入消元法”．解：

由(2)，得

x=83y．

(3)把(3)代入(1)，得：2(83y)+5y=21，166y+5y=21，y=37，所以y=37．點(diǎn)評

如果方程組中沒有系數(shù)是1的未知數(shù)，那么就選擇系數(shù)最簡單的未知數(shù)來變形．分析

此方程組里沒有一個未知數(shù)的系數(shù)是1，但方程(1)中x的系數(shù)是2，比較簡單，可選擇它來變形．解：由(1)，得2x=8+7y，

(3)把(3)代入(2)，得分析

本題不僅沒有系數(shù)是1的未知數(shù)，而且也沒有一個未知數(shù)的系數(shù)較簡單．經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，若將兩個方程相加，得出一個x，y的系數(shù)都是100、常數(shù)項是200的方程，而此方程與方程組中的(1)和(2)都同解．這樣，就使問題變得比較簡單了．解：(1)+(2)，得100x+100y=200，所以x+y=2

(3)解這個方程組．由(3)，得x=2y

(4)把(4)代入(1)，得53(2y)+47y=112，10653y+47y=112，6y=6，所以y=1．分析

經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，(1)和(2)中x的系數(shù)都是6，若將兩方程相減，便可消去x，只剩關(guān)于y的方程，問題便很容易解決、這種方法叫“加減消元法”．解：(1)(2)，得12y=36，所以y=3．把y=3代入(2)，得：6x5×(3)=17，6x=2，所以：點(diǎn)評

若方程組中兩個方程同一未知數(shù)的系數(shù)相等，則用減法消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法消元；若同一未知數(shù)的系數(shù)有倍數(shù)關(guān)系，或完全不相等，則可設(shè)法將系數(shù)的絕對值轉(zhuǎn)化為原系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)，然后再用加減法消元．在進(jìn)行加減特別是進(jìn)行減法運(yùn)算時，一定要正確處理好符號．分析

方程組中，相同未知數(shù)的系數(shù)沒有一樣的，也沒有互為相反數(shù)的．但不難將未知數(shù)y的系數(shù)絕對值轉(zhuǎn)化為12(4與6的最小公倍數(shù))，然后將兩個方程相加便消去了y．解：(1)×3，得9x+12y=48

(3)(2)×2，得10x-12y=66

(4)(3)+(4)，得19x=114，所以x=6．把x=6代入(1)，得3×6+4y=16，4y=-2，點(diǎn)評

將x的系數(shù)都轉(zhuǎn)化為15(3和5的最小公倍數(shù))，比較起來，變y的系數(shù)要簡便些．一是因為變y的系數(shù)乘的數(shù)較小，二是因為變y的系數(shù)后是做加法，而變x的系數(shù)后要做減法．例6

已知xmn+1y與2xn1y3m2n5是同類項，求m和n的值．分析

根據(jù)同類項的概念，可列出含字母m和n的方程組，從而求出m和n．解：因為xmn+1y與2xn1y3m2n5是同類項，所以解這個方程組．整理，得(4)(3)，得2m=8，所以m=4．把m=4代入(3)，得2n=6，所以n=3．所分析

因為x+y=2，所以x=2y，把它代入方程組，便得出含y，m的新方程組，從而求出m．也可用減法將方程組中的m消去，從而得出含x，y的一個二元一次方程，根據(jù)x+y=2這一條件，求出x和y，再去求m．解：將方程組中的兩個方程相減，得x+2y=2，即(x+y)+y=2．因為x+y=2，所以2+y=2，所以y=0，于是得x=2．把x=2，y=0代入2x+3y=m，得m=4．把m=4代入m22m+1，得m22m+1=422×4+1=9．例8

已知x+2y=2x+y+1=7xy，求2xy的值．分析

已知條件是三個都含有x，y的連等代數(shù)式，這種連等式可看作是二元一次方程組，這樣的方程組可列出三個，我們只要解出其中的一個便可求出x和y，從而使問題得到解決．解：已知條件可轉(zhuǎn)化為整理這個方程組，得解這個方程組．由(3)，得x=y1

(5)把(5)代入(4)，得5(y1)-2y-1=0，5y-2y=5+1，所以y=2．把y=2代入(3)，得x-2+1=0，所以x=1．2x-y=0．例9

解方程組分析先從方程組中選出一個方程，如方程（1），用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，把它代入另一個方程中，得到一個一元一次方程，解這個方程求出一個未知數(shù)的值，再代入求另一個未知數(shù)的值．解由（1），得，

（3）把（3）代入（2）中，得，解得把代入（3）中，得，∴∴是原方程組的解．例10

解方程組分析方程組的兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)時，可以用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等，或互為相反數(shù)，再把所得的兩個方程相加減就可以消去一個未知數(shù)．解（1）×3，得

（3）（2）×2，得

（4）（3）+（4），得，∴.把代入（1）中，得，∴是原方程組的解．例11

若方程組的解x、y，滿足，求正數(shù)m的取值范圍．解由可解得又∵，∴，∴∴滿足條件的m的范圍是.例12

解方程組分析：由于方程（1）和（2）中同一字母（未知數(shù)）表示同一個數(shù)，因此將（1）中的值代入（2）中就可消去，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元一次方程．解：將（1）代入（2），得，解得，．把代入（1）得，∴方程組的解為例13解方程組解：由（1）得

（3）把（3）代入（2），得，解得．把代入（3），得，解得．∴方程組的解為說明：將作為一個整體代入消元，這種方法稱為整體代入法，本題把看作一個整體代入消元比把（1）變形為再代入（2）簡單得多．1.2二元一次方程組的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．能夠借助二元一次方程組解決簡單的實際問題，再次體會二元一次方程組與現(xiàn)實生活的聯(lián)系和作用

2．進(jìn)一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實世界中等量關(guān)系，體會代數(shù)方法的優(yōu)越性

3．體會列方程組比列一元一次方程容易

4．進(jìn)一步培養(yǎng)化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題，解決問題的能力

5．掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟；

重點(diǎn)：

1．經(jīng)歷和體驗用二元一次方程組解決實際問題的過程。

2．進(jìn)一步體會方程（組）是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學(xué)模型。

難點(diǎn)：正確找出問題中的兩個等量關(guān)系

知識要點(diǎn)梳理

知識點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的基本思想

列方程組解應(yīng)用題是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.一般來說，有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足：(1)方程兩邊表示的是同類量；(2)同類量的單位要統(tǒng)一；(3)方程兩邊的數(shù)值要相等.

知識點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系

1.行程問題：

(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差＝開始時兩者相距的路程；；；

(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和＝總路程。

(3)航行問題：①船在靜水中的速度＋水速＝船的順?biāo)俣龋?/p>

②船在靜水中的速度－水速＝船的逆水速度；

③順?biāo)俣龋嫠俣龋?×水速。

注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫?、逆水航行問題類似。

2．工程問題：工作效率×工作時間=工作量.

3．商品銷售利潤問題：

(1)利潤＝售價－成本(進(jìn)價)；(2)；(3)利潤＝成本（進(jìn)價）×利潤率；(4)標(biāo)價＝成本(進(jìn)價)×(1＋利潤率)；(5)實際售價＝標(biāo)價×打折率；

注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；為負(fù)時，就是虧損。打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）

4．儲蓄問題：

(1)基本概念

①本金：顧客存入銀行的錢叫做本金。②利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息。

③本息和：本金與利息的和叫做本息和。④期數(shù)：存入銀行的時間叫做期數(shù)。

⑤利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率。⑥利息稅：利息的稅款叫做利息稅。

(2)基本關(guān)系式

①利息＝本金×利率×期數(shù)

②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))

③利息稅＝利息×利息稅率＝本金×利率×期數(shù)×利息稅率。

④稅后利息＝利息×(1－利息稅率)⑤年利率＝月利率×12⑥。

注意：免稅利息=利息

5．配套問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。

6．增長率問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1＋增長率)＝增長后的量；

原量×(1－減少率)＝減少后的量.

7．和差倍分問題：

解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.

8．?dāng)?shù)字問題：

解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字

9．濃度問題：溶液質(zhì)量×濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.

10．幾何問題：解決這類問題的基本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式

11．年齡問題：解決這類問題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長數(shù)是相等，兩人的年齡差是永遠(yuǎn)不會變的

12．優(yōu)化方案問題：

在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。

注意：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案。

知識點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟

利用二元一次方程組探究實際問題時，一般可分為以下六個步驟：

1．審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；2．設(shè)未知數(shù):可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；

3．找出題目中的等量關(guān)系；4．列出方程組:根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；5．解所列的方程組，并檢驗解的正確性；6．寫出答案.

要點(diǎn)詮釋：

(1)解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；

(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；

(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.

解答步驟簡記為：問題方程組解答

(4)列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問題

①弄清各種題型中基本量之間的關(guān)系；②審題時，注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息；③注意用方程組解應(yīng)用題的過程中單位的書寫，設(shè)未知數(shù)和寫答案都要帶單位，列方程組與解方程組時，不要帶單位；④正確書寫速度單位，避免與路程單位混淆；⑤在尋找等量關(guān)系時，應(yīng)注意挖掘隱含的條件；⑥列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗。

經(jīng)典例題透析

類型一：列二元一次方程組解決——行程問題

1．甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī).這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米

思路點(diǎn)撥：畫直線型示意圖理解題意：

(1)這里有兩個未知數(shù)：①汽車的行程；②拖拉機(jī)的行程.

(2)有兩個等量關(guān)系：

①相向而行：汽車行駛小時的路程＋拖拉機(jī)行駛小時的路程＝160千米;

②同向而行：汽車行駛小時的路程＝拖拉機(jī)行駛小時的路程.

解：設(shè)汽車的速度為每小時行千米，拖拉機(jī)的速度為每小時千米.

根據(jù)題意，列方程組

解這個方程組，得:

.

答：汽車行駛了165千米，拖拉機(jī)行駛了85千米.

總結(jié)升華：根據(jù)題意畫出示意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程問題的常用的解決策略。

舉一反三：

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲、乙兩人每小時分別行走千米、千米。根據(jù)題意可得：

解得：

答：甲每小時走6千米，乙每小時走3.6千米。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

分析：船順流速度＝靜水中的速度＋水速

船逆流速度＝靜水中的速度－水速

解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，水速為y千米/時，

則，解得：

答：船在靜水中的速度為17千米/時，水速3千米/時。

類型二：列二元一次方程組解決——工程問題

2．一家商店要進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請哪組，商店所付費(fèi)用最少

思路點(diǎn)撥：本題有兩層含義，各自隱含兩個等式，第一層含義：若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；第二層含義：若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元。設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，由第一層含義可得方程8（x+y）=3520,由第二層含義可得方程6x+12y=3480.

解：(1)設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付y元，依題意得：

解得

答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付300元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付140元。

(2)單獨(dú)請甲組做，需付款300×12＝3600元，單獨(dú)請乙組做，需付款24×140＝3360元，

故請乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。

答：請乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少。

總結(jié)升華：工作效率是單位時間里完成的工作量，同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地，將工作總量設(shè)為1，也可設(shè)為a，需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析。

舉一反三：

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由.

解：設(shè)甲、乙兩公司每周完成總工程的和，由題意得：

，解得：

所以甲、乙單獨(dú)完成這項工程分別需要10周、15周。

設(shè)需要付甲、乙每周的工錢分別是萬元，萬元，根據(jù)題意得：

，解得：

故甲公司單獨(dú)完成需工錢：（萬元）；乙公司單獨(dú)完成需工錢：（萬元）。

答：甲公司單獨(dú)完成需6萬元，乙公司單獨(dú)完成需4萬元，故從節(jié)約的角度考慮，應(yīng)選乙公司單獨(dú)完成.

類型三：列二元一次方程組解決——商品銷售利潤問題

3．有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分別是多少元

思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤＝進(jìn)價×利潤率

解：甲商品的進(jìn)價為x元，乙商品的進(jìn)價為y元，由題意得：

，解得：

答：兩件商品的進(jìn)價分別為600元和400元。

舉一反三：

【變式1】（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)李大叔去年甲種蔬菜種植了畝，乙種蔬菜種植了畝，則：

，解得

答：李大叔去年甲種蔬菜種植了6畝，乙種蔬菜種植了4畝．

【變式2】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表：AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利=售價—進(jìn)價）

求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件；

解：設(shè)購進(jìn)A種商品件，B種商品件，根據(jù)題意得：

化簡得：解得：

答：該商場購進(jìn)A、B兩種商品分別為200件和120件。類型四：列二元一次方程組解決——銀行儲蓄問題

4．小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25％的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢（

利息所得稅＝利息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）

思路點(diǎn)撥：設(shè)教育儲蓄存了x元，一年定期存了y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格：

解：設(shè)存一年教育儲蓄的錢為x元，存一年定期存款的錢為y元，則列方程：

，解得：

答：存教育儲蓄的錢為1500元，存一年定期的錢為500元.

總結(jié)升華:我們在解一些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易找出其等量關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.

舉一反三：

【變式1】李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%，問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾（

注：公民應(yīng)繳利息所得稅=利息金額×20%）

思路點(diǎn)撥：扣稅的情況：本金×年利率×(1-20%)×年數(shù)=利息（其中，利息所得稅=利息

金額×20%）.不扣稅時：利息=本金×年利率×年數(shù).

解：設(shè)第一種儲蓄的年利率為x，第二種儲蓄的年利率為y，根據(jù)題意得:

，解得:

答：第一種儲蓄的年利率為2.25%，第二種儲蓄的年利率為0.99%.

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元(不計利息稅)，問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)第一種存款數(shù)為X元，則第二種存款數(shù)為y元，根據(jù)題意得：

，解得：

答：第一種存款數(shù)為1500元，第二種存款數(shù)為2500元。

類型五：列二元一次方程組解決——生產(chǎn)中的配套問題

5．某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

思路點(diǎn)撥：本題的第一個相等關(guān)系比較容易得出：衣身、衣袖所用布料的和為132米；第二個相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量的2倍(注意：別把2倍的關(guān)系寫反了).

解：設(shè)用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：

答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.

總結(jié)升華：生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子

思路點(diǎn)撥：兩個未知數(shù)是制盒身、盒底的鐵皮張數(shù)，兩個相等關(guān)系是：①制盒身鐵皮張數(shù)+制盒底鐵皮張數(shù)=190；②制盒身個數(shù)的2倍=制盒底個數(shù).

解：設(shè)x張鐵皮制盒身，y張鐵皮制盒底，由題意得：

答：用110張制盒身，80張制盒底，正好制成一批完整的盒子.

【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品，可設(shè)生產(chǎn)螺栓的有x人，生產(chǎn)螺母的有y人，

則：，解得：

答：生產(chǎn)螺栓的有25人，生產(chǎn)螺母的有35人。

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少張方桌

解：設(shè)用x立方米的木料做桌面，用y立方米的木料做桌腿，根據(jù)題意，得：

，解得：

∴可做50×3＝150張方桌。

答：用3立方米的木料做桌面，用2立方米的木料做桌腿，可做成150張方桌。

類型六：列二元一次方程組解決——增長率問題

6.某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值（萬元）總支出（萬元）利潤（萬元）去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤和今年的利潤，由利潤=總產(chǎn)值—總支出和表格里的已知量和未知量，可以列出兩個等式。

解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，根據(jù)題意得：

，解之得：

答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元

總結(jié)升華：當(dāng)題的條件較多時，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析。

舉一反三：

【變式1】若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

解：設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，由題意得：

，解得：

答：今年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出為1800萬元

思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法？

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

思路點(diǎn)撥：由題意得兩個等式關(guān)系，兩個相等關(guān)系為：

（1）城鎮(zhèn)人口+農(nóng)村人口=42萬；

（2）城鎮(zhèn)人口×(1+0.8%)+農(nóng)村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）

解：設(shè)現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口為x萬，農(nóng)村人口為y萬，由題意得：

解得

答：現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口14萬人，農(nóng)村人口為28萬人

類型七：列二元一次方程組解決——和差倍分問題

7.（2011年北京豐臺區(qū)中考一摸試題）“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產(chǎn)帳篷共9千頂，現(xiàn)某地震災(zāi)區(qū)急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷．為此，全體職工加班加點(diǎn)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務(wù)．求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂？

思路點(diǎn)撥：找出已知量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個，所以列兩個方程，根據(jù)計劃前后，倍數(shù)關(guān)系由已知量和未知量列出兩個等式，即是兩個方程組成的方程組。

解：設(shè)原計劃“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷x千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷y千頂，由題意得：

，解得：

所以：1.6x=1.65=8,1.5y=1.54=6

答：“愛心”帳篷廠生產(chǎn)帳篷8千頂,“溫暖”帳篷廠生產(chǎn)帳篷6千頂.

舉一反三：

【變式1】(2011年北京門頭溝區(qū)中考一模試題)“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議．號召個人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個星期六20時30分—21時30分熄燈一小時，旨在通過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活．中國內(nèi)地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數(shù)比去年的3倍少13個，問中國內(nèi)地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動．

解：設(shè)中國內(nèi)地去年有x個城市參加了此項活動，今年有y個城市參加了此項活動．

依題意得，解得：

答：去年有33個城市參加了此項活動，今年有86個城市參加了此項活動

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

思路點(diǎn)撥：本題關(guān)鍵之一是：小孩子看游泳帽時只看到別人的，沒看到自己的帽子。關(guān)鍵之二是：兩個等式，列等式要看到重點(diǎn)語句，第一句：每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多；第二句：每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍。找到已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。

解：設(shè)男孩x人，女孩y人，根據(jù)題意得：

，解得：

答：男孩4人和女孩有3人。

類型八：列二元一次方程組解決——數(shù)字問題

8.兩個兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后一個四位數(shù)大2178，求這兩個兩位數(shù)。

思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。

問題1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫上較小的兩位數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100x＋y

問題2：在較大數(shù)的左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為：100y＋x

解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y。依題意可得：

，解得：

答：這兩個兩位數(shù)分別為45，23.

舉一反三：

【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)十位數(shù)為x，個位數(shù)為y，則：

，解得：

答：這兩位數(shù)為56

【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？

解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：

，解得：

答：這個兩位數(shù)為72.

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0，其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9，如果百位數(shù)字減1，個位數(shù)字加1，則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，求原三位數(shù)。

解：設(shè)原三位數(shù)的百位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，由題意得：

，

答：所求三位數(shù)是504。

類型九：列二元一次方程組解決——濃度問題

9．現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3∶7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4∶1，今要得到酒精與水的比為3∶2的酒精溶液50kg，問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？

思路點(diǎn)撥：本題欲求兩個未知量，可直接設(shè)出兩個未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個相等關(guān)系：（1）甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和＝50；（2）混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和＝混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；（3）混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和＝混合后溶液所含水的質(zhì)量；（4）混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比＝混合后溶液所含純酒精與水的比。

解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取xkg,ykg.依題意得：

，

答：甲取20kg，乙取30kg

法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取10xkg和5ykg，

則甲種酒精溶液含水7xkg，乙種酒精溶液含水ykg，根據(jù)題意得：

，

所以10x=20,5y=30.

答：甲取20kg，乙取30kg

總結(jié)升華：此題的第（1）個相等關(guān)系比較明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個相等關(guān)系，解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。用它們來聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時就顯得容易多了。列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問什么就設(shè)什么。有時候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時候需要設(shè)輔助未知數(shù)。

舉一反三：

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵是找到配制溶液前后保持不變的量，即相等的量。本題主要有兩個等量關(guān)系，等量關(guān)系一：配制鹽水前后鹽的含量相等；等量關(guān)系二：配制鹽水前后鹽水的總重量相等。

解：設(shè)含鹽10%的鹽水有x千克，含鹽85%的鹽水有y千克，依題中的兩個相等關(guān)系得：

，解之得：

答：需要10%的鹽水6.4千克與85%的鹽水5.6千克【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：設(shè)需要用x千克濃度為35%的農(nóng)藥加水y千克，根據(jù)題意得：

，解之得：

答：需要用40千克濃度為35%的農(nóng)藥加水760千克。

類型十：列二元一次方程組解決——幾何問題

10．如圖，用8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

思路點(diǎn)撥：初看這道題目中沒有提供任何相等關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長相等，我們設(shè)每個小長方形的長為x，寬為y，就可以列出關(guān)于x、y的二元一次方程組。

解：設(shè)長方形地磚的長xcm,寬ycm，由題意得：

，

答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。

總結(jié)升華：幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解。

舉一反三：

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？

思路點(diǎn)撥：此題隱含兩個可用的等量關(guān)系，其一長方形的周長為鐵絲的長48厘米，第二個等量關(guān)系是長方形的長剪掉3厘米補(bǔ)到短邊去，得到正方形，即長邊截掉3厘米等于短邊加上3厘米。

解：設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：

，

所以正方形的邊長為：9+3=12厘米

正方形的面積為：=144厘米

長方形的面積為：159=135厘米

答：正方形的面積比矩形面積大144-135=9厘米

總結(jié)升華：解題的關(guān)鍵找兩個等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，本題就簡單多了，所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵。

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m，它的周長是132m，則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為ym寬為xm，依題意得：

，解得：

答：草坪的長為m,寬為m

類型十一：列二元一次方程組解決——年齡問題

11．今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？

思路點(diǎn)撥：解本題的關(guān)鍵是理解“6年后”這幾個字的含義，即6年后父子倆都長了6歲。今年父親的年齡是兒子的5倍，6年后父親的年齡是兒子的3倍，根據(jù)這兩個相等關(guān)系列方程。

解：設(shè)現(xiàn)在父親x歲，兒子y歲，根據(jù)題意得：

，

答：父親現(xiàn)在30歲，兒子6歲。

總結(jié)升華：解決年齡問題，要注意一點(diǎn)：一個人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也一樣增大或減小，并且增大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）。

舉一反三：

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

思路點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵是兩句話，第一句：小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?；第二句：他的年齡變成爺爺?shù)娜种?。把未知?shù)設(shè)出來，已知量和未知量根據(jù)這兩句話列兩個方程。

解：設(shè)今年小李的年齡為x歲，則爺爺?shù)哪挲g為y歲。根據(jù)題意得：

，