上坡,下坡行程問題

-.z.問題從甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一輛汽車上坡速度為每小時20千米，下坡速度為每小時35千米。車從甲地到乙地共用9小時，從乙地返回到甲地共用7.5小時。求去時上坡路和下坡路分別為多少千米？先畫出如右圖形：圖中A表示甲地，C表示乙地。從A到B是上坡路，從B到C是下坡路；反過來，從C到B就是上坡路，從B到A是下坡路。由于從甲地到乙地用9小時，反過來從乙地到甲地用7.5小時，這說明從A到B的距離大于從B到C的距離。此題的難點在于上下坡不僅速度不同，而且距離不同，因此自然的思路是設(shè)法把上下坡的距離變不同為一樣。在從A到B的路程中取一個點D，使得從D到B的距離等于從B到C的距離，這樣A到D的距離就是AB距離比BC距離多出來的局部。下面我們分析為什么去時比回來時間會多用了：9-7.5＝1.5〔時〕從圖中容易看出就是因為去時從A到D是上坡，而回來時從D到A變成了下坡，其它路途所用的總時間是一樣的?，F(xiàn)在的問題是AD這段路程中速度由每小時20千米改為35千米，則時間少用1.5如果設(shè)速度為每小時20千米所用時間為單位"1〞，則速度為每小時35千米所用時間為：由此就可以求出AD之間的距離為：20×3.5＝70〔千米〕或35×2＝70〔千米〕還可以求出從D到C和從C到D所用時間均為：9－3.5＝5.5〔時〕或7.5－2＝5.5〔時〕至此我們已經(jīng)完成了將上下坡的距離變?yōu)橐粯拥哪康牧?。如果設(shè)從D到上坡所用時間為：所以去時上坡的總路程就是：70+20×3.5=140〔千米〕下坡總路程是：35×2=70〔千米〕上面所用方法實質(zhì)上是通過"截長變短〞把上下坡的距離"變不同為一樣〞，而實現(xiàn)這一目的還可以通過"補(bǔ)〞的方法。將返回的路程補(bǔ)在去時路程的后面，畫出右圖：這時全程去與回所用的時間都是：9＋7.5＝16.5〔時〕而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原來上下坡距離之和。設(shè)為：所以原來上下坡距離之和就是：20×10.5=210〔千米〕或35×6＝210〔千米〕下面采用解決"雞兔同籠〞問題的方法，假設(shè)原來從A到C速度不變，都是每小時35千米，這樣9小時所行路程應(yīng)該為：35×9＝180〔千米〕比實際距離少行了：210－180＝30〔千米〕就是因為從B到C的下坡速度每小時20千米變成了35千米，因此從B到C30÷〔35－20〕＝2〔時〕從A到B上坡的時間為：9－2=7〔時〕由此上下坡的距離就不難求出了。這個解法的思路是通過"補(bǔ)〞，不僅使得上下坡距離相等，而且使得往返所用的時間相等。解決此題的兩個方法說明，在"變不同為一樣〞這個根本思想的指導(dǎo)下，手段可以是多種多樣的。下面再看一道類似的問題。問題如右圖，從A到B是下坡路，從B到C是平路，從C到D是上坡路。小張和小王步行速度分別都是：上坡每小時4千米，平路每小時5千米，下坡每小時6千米。二人分別從A、D兩點同時王到達(dá)A后9分鐘，小張到達(dá)D。求從A到D的全程距離。首先發(fā)現(xiàn)二人平路上行走的距離一樣，小張比小王多用9分鐘的原因就是CD距離大于AB距離。我們仿照上題思路，在CD上取一點F