七年級(jí)三角形四大模型

七年級(jí)三角形四大模型七年級(jí)三角形四大模型七年級(jí)三角形四大模型資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月七年級(jí)三角形四大模型版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：2016年01月07日l(shuí)iwei的初中數(shù)學(xué)組卷一．選擇題（共5小題）1．（2015春?揚(yáng)中市校級(jí)期末）如圖1，一副三角板的兩個(gè)直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不動(dòng)，△AOB繞著O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180°）（1）若△AOB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC=；（2）若0°＜α＜90°，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中∠BOD+∠AOC的值會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)定值；（3）若90°＜α＜180°，問(wèn)題（2）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；（4）將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），問(wèn)當(dāng)α為多少度時(shí)，兩個(gè)三角形至少有一組邊所在直線(xiàn)垂直（請(qǐng)直接寫(xiě)出所有答案）．2．（2014?赤峰）如圖1，E是直線(xiàn)AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？③猜想圖1中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，射線(xiàn)FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線(xiàn)FE隔開(kāi)的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域③、④位于直線(xiàn)AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關(guān)系（不要求證明）．3．（2013秋?微山縣期中）如圖，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，則∠BCD的大小為（）A．50° B．100° C．130° D．150°4．（2013春?連云區(qū)校級(jí)月考）如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15°，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了米數(shù)是（）A．120 B．150 C．240 D．3605．如圖，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分線(xiàn)分別交于點(diǎn)D，E，則∠BDC的度數(shù)是（）A．67° B．84° C．88° D．110°二．填空題（共3小題）6．（2007?遵義）如圖所示是重疊的兩個(gè)直角三角形．將其中一個(gè)直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中陰影部分面積為cm2．7．（2013秋?和縣期末）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線(xiàn)與∠A1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2，…，∠An﹣1BC的平分線(xiàn)與∠An﹣1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)An．設(shè)∠A=θ．則：（1）∠A1=；（2）∠A2=；（3）∠An=．8．（2013秋?綦江縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積等于．三．解答題（共9小題）9．（2009春?江陰市校級(jí)月考）一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后就一定是三角形嗎？畫(huà)出所有可能的圖形，并分別說(shuō)出內(nèi)角和和外角和變化情況．10．（2014春?相城區(qū)月考）如圖，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度數(shù)．11．（2015春?建湖縣校級(jí)月考）我們知道，任何一個(gè)三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，如圖，若△ABC的三條內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)I，過(guò)I作DE⊥AI分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）請(qǐng)你通過(guò)畫(huà)圖、度量，填寫(xiě)右上表（圖畫(huà)在草稿紙上，并盡量畫(huà)準(zhǔn)確）（2）從上表中你發(fā)現(xiàn)了∠BIC與∠BDI之間有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明其中的道理．∠BAC的度數(shù)40°60°90°120°∠BIC的度數(shù)∠BDI的度數(shù)12．（2007?福州）如圖，直線(xiàn)AC∥BD，連接AB，直線(xiàn)AC、BD及線(xiàn)段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線(xiàn)上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線(xiàn)所組成的角是0°角）（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．13．（2013春?常熟市期末）已知△ABC中，∠A=60°．（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，則∠BOC=°．（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C=°．（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1（內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)），求∠BOn﹣1C（用n的代數(shù)式表示）．（4）如圖③，已知∠ABC、∠ACB的n等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=90°，求n的值．14．（2013春?徐州期末）如圖，△ABC兩個(gè)外角（∠CAD、∠ACE）的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．探索∠P與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．15．（2008春?臨川區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD、CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，BD、CD相交于點(diǎn)D，試探索∠A與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．16．（2013春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，已知AB∥DE，BF，EF分別平分∠ABC與∠CED，若∠BCE=140°，求∠BFE的度數(shù)．17．（2013春?海陵區(qū)期末）（1）如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，請(qǐng)說(shuō)明∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如圖2，AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，①圖2中共有個(gè)“8字形”；②若∠ABC=80°，∠ADC=38°，求∠P的度數(shù)；（提醒：解決此問(wèn)題你可以利用圖1的結(jié)論或用其他方法）③猜想圖2中∠P與∠B+∠D的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

2016年01月07日l(shuí)iwei的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2015春?揚(yáng)中市校級(jí)期末）如圖1，一副三角板的兩個(gè)直角重疊在一起，∠A=30°，∠C=45°△COD固定不動(dòng)，△AOB繞著O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0°＜α＜180°）（1）若△AOB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)圖2的位置，若∠BOD=60°，則∠AOC=120°；（2）若0°＜α＜90°，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中∠BOD+∠AOC的值會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變化，請(qǐng)求出這個(gè)定值；（3）若90°＜α＜180°，問(wèn)題（2）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；（4）將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度（0°＜α＜180°），問(wèn)當(dāng)α為多少度時(shí)，兩個(gè)三角形至少有一組邊所在直線(xiàn)垂直（請(qǐng)直接寫(xiě)出所有答案）．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】（1）∠BOD=60°，△AOB旋轉(zhuǎn)了30°（2）若0°＜α＜90°，∠AOC=∠COD+∠AOD，∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中∠BOD+∠AOC的值不變化（3）若90°＜α＜180°，∠BOD+∠AOC=360°﹣（∠COD+∠AOB）=180°【解答】解：（1）∵∠BOD=60°，△AOB繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了30°，即∠AOD=30°，∴∠AOC=∠AOD+∠COD=30°+90°=120°；（2）若0°＜α＜90°，∵∠AOD=α，∠AOC=∠COD+∠AOD，∴∠BOD+∠AOC=（∠BOD+∠AOD）+∠COD=90°+90°=180°，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中∠BOD+∠AOC的值不變化，∠BOD+∠AOC=180°；（3）若90°＜α＜180°，問(wèn)題（2）中的結(jié)論還成立理由：若90°＜α＜180°，∵∠AOB=∠COD=90°；又∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠COD=360°∴∠BOD+∠AOC=360°﹣∠AOD﹣∠COD=360°﹣90°﹣90°=180°；（4）α=90°、60°、45°、105°、150°、135°時(shí)，兩個(gè)三角形至少有一組邊所在直線(xiàn)垂直．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，注意旋轉(zhuǎn)角相等，旋轉(zhuǎn)前后的圖形不變．2．（2014?赤峰）如圖1，E是直線(xiàn)AB，CD內(nèi)部一點(diǎn)，AB∥CD，連接EA，ED．（1）探究猜想：①若∠A=30°，∠D=40°，則∠AED等于多少度？②若∠A=20°，∠D=60°，則∠AED等于多少度？③猜想圖1中∠AED，∠EAB，∠EDC的關(guān)系并證明你的結(jié)論．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，射線(xiàn)FE與矩形ABCD的邊AB交于點(diǎn)E，與邊CD交于點(diǎn)F，①②③④分別是被射線(xiàn)FE隔開(kāi)的4個(gè)區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域③、④位于直線(xiàn)AB上方，P是位于以上四個(gè)區(qū)域上的點(diǎn)，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的關(guān)系（不要求證明）．【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】閱讀型；分類(lèi)討論．【分析】（1）①根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可；②根據(jù)圖形猜想得出所求角度數(shù)即可；③猜想得到三角關(guān)系，理由為：延長(zhǎng)AE與DC交于F點(diǎn)，由AB與DC平行，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；（2）分四個(gè)區(qū)域分別找出三個(gè)角關(guān)系即可．【解答】解：（1）①∠AED=70°；②∠AED=80°；③猜想：∠AED=∠EAB+∠EDC，證明：延長(zhǎng)AE交DC于點(diǎn)F，∵AB∥DC，∴∠EAB=∠EFD，∵∠AED為△EDF的外角，∴∠AED=∠EDF+∠EFD=∠EAB+∠EDC；（2）根據(jù)題意得：點(diǎn)P在區(qū)域①時(shí)，∠EPF=360°﹣（∠PEB+∠PFC）；點(diǎn)P在區(qū)域②時(shí)，∠EPF=∠PEB+∠PFC；點(diǎn)P在區(qū)域③時(shí)，∠EPF=∠PEB﹣∠PFC；點(diǎn)P在區(qū)域④時(shí)，∠EPF=∠PFC﹣∠PEB．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．（2013秋?微山縣期中）如圖，若∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，則∠BCD的大小為（）A．50° B．100° C．130° D．150°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；角平分線(xiàn)的定義．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)定義求得∠DBC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∴∠DBC=∠ABC=25°．又∠DBC=∠D，∴∠BCD=180°﹣25°×2=130°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合運(yùn)用了角平分線(xiàn)定義和三角形的內(nèi)角和定理．4．（2013春?連云區(qū)校級(jí)月考）如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15°，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了米數(shù)是（）A．120 B．150 C．240 D．360【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)正好構(gòu)成一個(gè)外角是15度的正多邊形，求得邊數(shù)，即可求解．【解答】解：360÷15=24，則一共走了24×10=240m．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的外角的計(jì)算，第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)正好構(gòu)成一個(gè)外角是15度的正多邊形是關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的三等分線(xiàn)分別交于點(diǎn)D，E，則∠BDC的度數(shù)是（）A．67° B．84° C．88° D．110°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=138°，再由∠B和∠C的三等分線(xiàn)可得∠DBC+∠DCB，即可求得∠BDC的度數(shù)．【解答】解：∵∠A=42°，∴∠ABC+∠ACB=180﹣42=138°，∴∠DBC+∠DCB=×138°=92°，∴∠BDC=180°﹣92°=88°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．二．填空題（共3小題）6．（2007?遵義）如圖所示是重疊的兩個(gè)直角三角形．將其中一個(gè)直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，則圖中陰影部分面積為26cm2．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可知：AB=DE，BE=CF；由此可求出EH和CF的長(zhǎng)．由于CH∥DF，可得出△ECH∽△EFD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出EC的長(zhǎng)．已知了EH、EC，DE、EF的長(zhǎng)，即可求出△ECH和△EFD的面積，進(jìn)而可求出陰影部分的面積．【解答】解：由平移的性質(zhì)知，DE=AB=8，CF=BE=4，∠DEC=∠B=90°∴EH=DE﹣DH=5cm∵HC∥DF∴△ECH∽△EFD∴===，又∵BE=CF，∴EC=，∴EF=EC+CF=，∴S陰影=S△EFD﹣S△ECH=DE?EF﹣EC?EH=26cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的面積公式和平移的性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線(xiàn)段平行且相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．7．（2013秋?和縣期末）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1，∠A1BC的平分線(xiàn)與∠A1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2，…，∠An﹣1BC的平分線(xiàn)與∠An﹣1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)An．設(shè)∠A=θ．則：（1）∠A1=；（2）∠A2=；（3）∠An=．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；（2）與（1）同理求出∠A2；（3）根據(jù)求出的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的，根據(jù)此規(guī)律即可得解．【解答】（1）解：（1）∵A1B是∠ABC的平分線(xiàn)，A1C是∠ACD的平分線(xiàn)，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=θ，∴∠A1=，故答案為：；（2）同理可得∠A2=∠A1=，故答案為：；（3）同理可得∠A2=∠A1=×=，所以∠An=故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，熟記性質(zhì)然后推出后一個(gè)角是前一個(gè)角的一半是解題的關(guān)鍵．8．（2013秋?綦江縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積等于2cm2．【考點(diǎn)】三角形的面積．【分析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分別是BC、AD的中點(diǎn)，△EBC與△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等積變換可解答．【解答】解：如圖，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，高相等；∴S△BEF=S△BEC，D、E、分別是BC、AD的中點(diǎn)，同理得，S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=8cm2，∴S△BEF=2cm2，即陰影部分的面積為2cm2，故答案是：2cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積的等積變換：若兩個(gè)三角形的高（或底）相等，其中一個(gè)三角形的底（或高）是另一三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍．結(jié)合圖形直觀解答．三．解答題（共9小題）9．（2009春?江陰市校級(jí)月考）一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后就一定是三角形嗎？畫(huà)出所有可能的圖形，并分別說(shuō)出內(nèi)角和和外角和變化情況．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】先根據(jù)截去一個(gè)角后的圖形是三角形、四邊形或五邊形畫(huà)出圖形，再根據(jù)三角形及多邊形的內(nèi)角和定理即可解答．【解答】解：鋸掉一個(gè)角時(shí)可能出現(xiàn)以下幾種情況，如答圖因此剩下的圖形可能是五邊形、四邊形、三角形，內(nèi)角和可能為540°、360°、180°．外角和無(wú)變化，外角和為360°．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，考查的是多邊形的外角和及內(nèi)角和定理，解答此題時(shí)要熟知：（1）任意多邊形的外角和為360°；（2）多邊形的內(nèi)角和=（n﹣2）?180°．10．（2014春?相城區(qū)月考）如圖，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專(zhuān)題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】先根據(jù)∠A=65°，∠ACB=72°得出∠ABC的度數(shù)，再由∠ABD=30°得出∠CBD的度數(shù)，根據(jù)CE平分∠ACB得出∠BCE的度數(shù)，根據(jù)∠BEC=180°﹣∠BCE﹣∠CBD即可得出結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵∠A=65°，∠ACB=72°∴∠ABC=43°∵∠ABD=30°∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=13°∵CE平分∠ACB∴∠BCE=∠ACB=36°∴在△BCE中，∠BEC=180°﹣13°﹣36°=131°．故答案為：131°【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．11．（2015春?建湖縣校級(jí)月考）我們知道，任何一個(gè)三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，如圖，若△ABC的三條內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)I，過(guò)I作DE⊥AI分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）請(qǐng)你通過(guò)畫(huà)圖、度量，填寫(xiě)右上表（圖畫(huà)在草稿紙上，并盡量畫(huà)準(zhǔn)確）（2）從上表中你發(fā)現(xiàn)了∠BIC與∠BDI之間有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)，并說(shuō)明其中的道理．∠BAC的度數(shù)40°60°90°120°∠BIC的度數(shù)∠BDI的度數(shù)【考點(diǎn)】三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)和高；三角形內(nèi)角和定理．【專(zhuān)題】探究型．【分析】（1）通過(guò)畫(huà)圖、度量，即可完成表格；（2）先從上表中發(fā)現(xiàn)∠BIC=∠BDI，再分別證明∠BIC=90°+∠BAC，∠BDI=90°+∠BAC．【解答】解：（1）填寫(xiě)表格如下：∠BAC的度數(shù)40°60°90°120°∠BIC的度數(shù)110°120°135°150°∠BDI的度數(shù)110°120°135°150°（2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三條內(nèi)角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及垂線(xiàn)的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單．12．（2007?福州）如圖，直線(xiàn)AC∥BD，連接AB，直線(xiàn)AC、BD及線(xiàn)段AB把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線(xiàn)上各點(diǎn)不屬于任何部分．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個(gè)角．（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線(xiàn)所組成的角是0°角）（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)P的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì)；角平分線(xiàn)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】動(dòng)點(diǎn)型；探究型．【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)BP交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）過(guò)點(diǎn)P作AC的平行線(xiàn)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答；（3）根據(jù)P的不同位置，分三種情況討論．【解答】解：（1）解法一：如圖1延長(zhǎng)BP交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如圖2過(guò)點(diǎn)P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如圖3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)BA的右側(cè)時(shí)，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)BA上，結(jié)論是：∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任寫(xiě)一個(gè)即可）．（c）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)BA的左側(cè)時(shí)，結(jié)論是∠PAC=∠APB+∠PBD．選擇（a）證明：如圖4，連接PA，連接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．選擇（b）證明：如圖5∵點(diǎn)P在射線(xiàn)BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．選擇（c）證明：如圖6，連接PA，連接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)；是一道探索性問(wèn)題，旨在考查同學(xué)們對(duì)材料的分析研究能力和對(duì)平行線(xiàn)及角平分線(xiàn)性質(zhì)的掌握情況．認(rèn)真做好（1）（2）小題，可以為（3）小題提供思路．13．（2013春?常熟市期末）已知△ABC中，∠A=60°．（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，則∠BOC=120°．（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2，則∠BO2C=100°．（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1（內(nèi)部有n﹣1個(gè)點(diǎn)），求∠BOn﹣1C（用n的代數(shù)式表示）．（4）如圖③，已知∠ABC、∠ACB的n等分線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)交于O1、O2…On﹣1，若∠BOn﹣1C=90°，求n的值．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【專(zhuān)題】規(guī)律型．【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分線(xiàn)的定義求得∠O2BC+∠O2CB，即可求出∠BO2C．（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)n等分線(xiàn)的定義求得∠On﹣1BC+∠On﹣1CB，即可求出∠BOn﹣1C．（4）依據(jù)（3）的結(jié)論即可求出n的值．【解答】解：∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，（1）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠BOC=120°；（2）∵點(diǎn)O2是∠ABC與∠ACB的三等分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=80°，∴∠BO2C=100°；（3）∵點(diǎn)On﹣1是∠ABC與∠ACB的n等分線(xiàn)的交點(diǎn)，∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB=（∠ABC+∠ACB）=×120°，∴∠BOn﹣1C=180°﹣×120°=（1+）×60°；（4）由（3）得：（1+）×60°=90°，解得：n=4．【點(diǎn)評(píng)】此題練習(xí)角的等分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．14．（2013春?徐州期末）如圖，△ABC兩個(gè)外角（∠CAD、∠ACE）的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．探索∠P與∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線(xiàn)的定義表示出∠PAC和∠PCA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)，∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACE=∠B+∠BAC，∵PA、PC分別是∠DAC和∠ACE的角平分線(xiàn)，∴∠PAC=∠DAC=（∠B+∠ACB），∠PCA=∠ACE=（∠B+∠BAC），在△ACP中，∠P+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠P+（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=180°，∴2∠P+∠B+∠ACB+∠B+∠BAC=360°，在△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，∴2∠P+∠B=180°，∴∠P=90°﹣∠B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，整體思想的利用也很關(guān)鍵．15．（2008春?臨川區(qū)校級(jí)期末）如圖，BD、CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，BD、CD相交于點(diǎn)D，試探索∠A與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；角平分線(xiàn)的定義．【專(zhuān)題】探究型．【分析】先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出∠DBC、∠DCB與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，∴∠BDC=90°+∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理．三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．16．（2013春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，已知AB∥DE，BF，EF分別平分∠ABC與∠CED，若∠BCE=140°，求∠BFE的度數(shù)．【考點(diǎn)】平行線(xiàn)的性質(zhì)；角平分線(xiàn)的定義．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB，然后利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ABC+∠CED=∠BCP+∠ECP=∠BCE=140°；同理過(guò)點(diǎn)F作FM∥DE，則∠BFM=∠ABF，∠MFE=∠DEF，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)就可求出∠BFE的度數(shù)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB，則∠BCP=∠ABC，∠ECP=