數(shù)學(xué)奧林匹克專題講座第01講-數(shù)論方法技巧

a=bq+r（0≤r＜b），

r=0，那么

的標(biāo)準(zhǔn)分解式為（1），則它的正約數(shù)個數(shù)為：

1．十進(jìn)制表示形式：n=a2．帶余形式：a=bq+r；

的乘方與奇數(shù)之積式：n=2mt，其中

解：設(shè)紅、黃、白、藍(lán)色卡片上的數(shù)字分別是

=1，a

解：依題意，得a+b+c＞14，

解：設(shè)

a+b+c=18m，a+b+d=18n，

c-d=18（m-n）。

）+3r。

1000=55×18+10，

解：把數(shù)

+1≥3＞2，故由

x+y+z≤10，

1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3。所求三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。

100，101

N=10，20，25，50；

N=100，125，200，250，500；

說明：（1）我們可以證明：k

13，15，23。問：這

解：13+15+23=51，51=3×17。

②1，7，9 ⑤2，6，9 ⑧3，5，9 (11)4，4，9

(14)5，5，7

3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。

合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96。我們把篩選法繼續(xù)運用下去，把考查的范圍擴

1：用篩選法可以求得在

114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。

m+2，m+3，…，m+13

2，3，…，13

2：設(shè)

的倍數(shù)，4

13！+2，13！+3，…，13！+13

n！=1×2×3×…×n）這

（m+1）！+2，（m+1）！+3，…，（m+1）！+m+1

解：第

次為周期循環(huán)，1999=4×499+3，所以第

分析與解：可以從簡單的不失題目性質(zhì)的問題入手，尋找規(guī)律。列表如下：

+m（m＜2

+m（m＜2

克……40

分析與解：一般天平兩邊都可放砝碼，我們從最簡單的情形開始研究。

3-1=2。

克兩個砝碼就可以稱出（3+1）克以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

9-（3+1）=5，

克重的砝碼放在砝碼盤內(nèi)，1

克、3

1+3+9=13（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

1+3+9+27=40（克）以內(nèi)的任意整數(shù)克重。

枚棋子，如右圖所示，B

0，1，2，3，4

a+db+ca+d=

a+d=8b+c=17

d+2=ba=1b=9d=7

解：為保證

n=2

+1+1+1==4=2

解：小于

AA

A

A

A

A

=

=

3=

a=3

A

a=3

A

A

A

A

A

N=

解：用十進(jìn)位制表示的若干個四位數(shù)之和的加法原理為：=

4×3×2=24

）×4×3×2=240

240×1000+180×（1+10+100

不是同一國的代表（61

54，則取這個數(shù)

45，271

同一國的代表。這樣，1

解：如果存在這樣的三位數(shù)，那么就有100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。上式可化簡為

a≥1，b≤9，c≤9。這表明所找的數(shù)是不存在的。

解：假設(shè)得到的和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，即全是奇數(shù)。在如下式所示的

b+c≤9。將已知數(shù)的前兩位數(shù)字

c，d

說明：顯然結(jié)論對（4k+1）位數(shù)也成立。但對其他位數(shù)的數(shù)不一定成立。

解：開始只有

角硬幣），那么Q

4，而其奇偶性不變；如果塞入1

2，其奇偶性也不變。所以每使用一次機器，Q

總枚數(shù)為（2P+10），這是一個偶數(shù)。矛盾。

3×3

100，被

-2）+99

-2）+99

+96）+（99 +96）+（99

=1024＞999。

（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

滿足題設(shè)條件。所以，30

歲時求和（1+2+…+100）首創(chuàng)了配對。像高斯那

1，2，3，…，，這個數(shù)中所有數(shù)碼的和。解：在這些數(shù)前面添一個數(shù)

63×5000000=315000000。

0734，因

9999，即所有幸

9999=99×101，所以所有幸運券號碼之和能被

解法一：仿照高斯求和（1+2+3+…+n）的辦法，將和2m×88！=89×k（k

解法二：作配對處理1×88×2×87×3×86×…×44×45=88！，m×88！=89×k（k=n×q）。

解：因每一真分?jǐn)?shù)滿足

1×2×…×n

80+16+3=99（個）。

時，1×2×…×n

時，1×2×…×n

時，1×2×…×n

方格紙，并且在每一方格內(nèi)填上“+”或“-”次操作，使圖（1）變成圖（2）？

5．公共汽車票的號碼是一個六位數(shù)，若一張車票的號碼的前3

mmm

+m+nm+nm+nm+nm+n+m+n+m+n+m+n

m+m+n+n

+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+