光學與原子物理2015秋

■波粒二象性▲統(tǒng)一兩種物質形態(tài).說明：▲利用駐波條件▲波長上節(jié)小結▲電子（戴維孫和革末衍射實驗、雙縫干涉）、中子、氦原子、氫分子、以及大分子碳-60、碳-70的波動性都得到證實?！杂闪Ｗ硬ê瘮怠霾ê瘮档慕y(tǒng)計解釋▲空間

處找到粒子的幾率密度:即幾率波強度.

▲空間

處體積元中找到粒子的幾▲波函數歸一化條件:▲微觀粒子的波動性反映了微觀粒子運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性,稱為概率波.▲幾率波函數率：●不代表實在的物理量的波動.與

（C為常數）所描述的相對概率分布是完全相同的.▲該詮釋已經被無數實驗觀測所證實.●波函數滿足條件：單值、有限、連續(xù).■力學量算符▲坐標算符動量算符▲力學量p和q不對易：

力學量p和q不對易：

本節(jié)要點■海森伯不確定原理■一般薛定諤方程

■定態(tài)薛定諤方程■力學量的平均值■海森伯不確定關系▲不確定關系：若兩個力學量p和q不對易,即

則力學量p與q不能同時具有確定的值.設力學量p與q的不確定值或均方根誤差為

和

,則它們必須滿足﹡不確定值

﹡均方根誤差為

▲不確定關系的存在根源于微觀粒子的波動性.▲不確定關系式可由量子力學嚴格推導出.▲位置和動量的不確定關系●由于

與

不可對易，所以

上式表明：坐標的不確定性越小,則動量的不確定性越大,反之亦然.●在兩個相互垂直的方向上,動量和坐標之間不存在任何制約關系.●舉例○一維自由粒子波函數為確定

而

即粒子在空間各點的幾率密度是相同的.換言之,粒子的位置是完全不確定的,因此,

○若粒子具有確定的位置但此

可

以視為無限多列波長不同的正弦波疊加而成,

根據

可知粒子動量可能取無限多個值,因此完全沒有確定值,即

○電子單縫衍射設縫寬d方向為y方向.

y方向的位置的不確定范圍為

大部分電子落在衍射花樣的中央亮區(qū),范圍由

落到A處的電子的y方向分動量為（波動性?。┐_定.落在中央亮條峰處電子的分動量

由此，

的不確定范圍為于是

○考慮某一粒子只能出現在一個小的范圍內,該粒子的狀態(tài)用波包描述,即許多波長不同的正弦波疊加.根據

可知動量沒有確定值.另外，可粗略認為波列的長度正比于

顯然n越大,由此得到的波長越精確,由此確定動量就越精確,即

而

所以

即

﹡波包的實部○由于不確定關系根源于微觀粒子的波動性,故在宏觀物理中,不確定關系給出的限制不必考慮.例如在湯姆孫確定電子荷質比的實驗中,電子的動能約為100eV,相應的物質波長約為

而裝置中電子束的準直縫寬是1mm,對應的位置不確定

因此電子的波動性不能顯示出來,不確定關系給出的限制不必考慮,而電子可以用經典的質點來描述,電子的位置與動量都有確定值,亦即電子的軌道可以確定.也是因為h很小,由

確定的

和

均小于宏觀誤差.▲能量和時間的不確定關系●說明：○考慮空間某一點的波函數隨時間變化,只能在

內有不為零的值.該波函數可以看成

是許多頻率不同的正弦波疊加.根據

可知,該波函數描述的狀態(tài)粒子的能量沒有確定值.

越大,合成波所需的不同頻率的正弦波數目越少,故能量不確定范圍越小.○可以視為觀測的持續(xù)時間,

為測量能量的不確定量.

○原子：

可視為原子處于某一狀態(tài)（能級E）的平均時間,即壽命

該狀態(tài)的能級不確定范圍，即能級寬度為

由此可得2.3薛定諤方程（1926）■必須滿足的條件▲對于非相對論運動,微觀粒子系統(tǒng)中粒子數守恒.▲▲■自由粒子

波函數滿足的方程▲自由粒子波函數▲方程的導出●將

對時間t微分,得即

●將

對x、y、z作一次偏微分,可得即

同理

于是有將

對x、y、z進行二次偏微分,可得

即

同理

由此,

其中

稱為拉普拉斯算符.●根據

以及上述結果可得即

●以上方程可按以下方法產生：首先根據

將波函數

上式兩側,可得右乘然后作如下替換：代入上式可得■勢場

中運動粒子滿足的方程根據上述自由粒子薛定諤方程導出方法,可得：作替代說明▲該方程描述一個質量為m的粒子在勢場

中波函數隨時間變化的因果關系.一旦初始狀態(tài)

給定,以后任何時刻t的狀態(tài)原則上也就完全確定.▲該方程僅僅是假設,其正確性由實驗檢驗.▲波函數是復數,不具有物理意義,而波函數絕對值平方表示粒子在空間出現的幾率密度.2.3.2定態(tài)薛定諤方程■勢能

■分離薛定諤方程▲令

▲將上式代入薛定諤方程可得將以上方程兩邊同除

可得

▲以上方程左邊與時間t有關,右邊與坐標有關.為了使以上方程成立,必須令該方程等于常數E,于是可得兩個常微分方程：■方程的解▲整理上述第一個含時t方程,可得該方程解為

▲薛定諤方程的解為上式中

包含

并且滿足如下定態(tài)薛定諤方程一維情況下,▲常數E將自由粒子波函數與

比較可知,所設的常數E為粒子總能量.■定態(tài)特征▲定態(tài)的粒子的總能量E不隨時間改變.▲與定態(tài)相應的物質波頻率為

▲幾率密度只與位置坐標有關而與時間無關.2.4力學量的平均值,算符表示和本征值2.4.1力學量的平均值■位置矢量■勢能■動量▲粒子出現在

處的幾率密度不是粒子具有動量P的幾率密度,原因有二：●根據

可知,位置越確定,動量就越不確定.●根據

可知,粒子動量與波長有關.

而波長與位置無關,故粒子動量與位置無關,亦即“微觀粒子在空間某一點的動量”▲動量平均值通過傅里葉變化可以得到

對應一般狀態(tài)的波包這樣說法是沒有意義的.因此,動量平均值為經過計算上式可化為引入動量算符粒子動量取值為

的幾率密度為