光學(xué)與原子物理2015秋

■波粒二象性▲統(tǒng)一兩種物質(zhì)形態(tài).說(shuō)明：▲利用駐波條件▲波長(zhǎng)上節(jié)小結(jié)▲電子（戴維孫和革末衍射實(shí)驗(yàn)、雙縫干涉）、中子、氦原子、氫分子、以及大分子碳-60、碳-70的波動(dòng)性都得到證實(shí)?！杂闪Ｗ硬ê瘮?shù)■波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋▲空間

處找到粒子的幾率密度:即幾率波強(qiáng)度.

▲空間

處體積元中找到粒子的幾▲波函數(shù)歸一化條件:▲微觀粒子的波動(dòng)性反映了微觀粒子運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,稱為概率波.▲幾率波函數(shù)率：●不代表實(shí)在的物理量的波動(dòng).與

（C為常數(shù)）所描述的相對(duì)概率分布是完全相同的.▲該詮釋已經(jīng)被無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)所證實(shí).●波函數(shù)滿足條件：?jiǎn)沃怠⒂邢?、連續(xù).■力學(xué)量算符▲坐標(biāo)算符動(dòng)量算符▲力學(xué)量p和q不對(duì)易：

力學(xué)量p和q不對(duì)易：

本節(jié)要點(diǎn)■海森伯不確定原理■一般薛定諤方程

■定態(tài)薛定諤方程■力學(xué)量的平均值■海森伯不確定關(guān)系▲不確定關(guān)系：若兩個(gè)力學(xué)量p和q不對(duì)易,即

則力學(xué)量p與q不能同時(shí)具有確定的值.設(shè)力學(xué)量p與q的不確定值或均方根誤差為

和

,則它們必須滿足﹡不確定值

﹡均方根誤差為

▲不確定關(guān)系的存在根源于微觀粒子的波動(dòng)性.▲不確定關(guān)系式可由量子力學(xué)嚴(yán)格推導(dǎo)出.▲位置和動(dòng)量的不確定關(guān)系●由于

與

不可對(duì)易，所以

上式表明：坐標(biāo)的不確定性越小,則動(dòng)量的不確定性越大,反之亦然.●在兩個(gè)相互垂直的方向上,動(dòng)量和坐標(biāo)之間不存在任何制約關(guān)系.●舉例○一維自由粒子波函數(shù)為確定

而

即粒子在空間各點(diǎn)的幾率密度是相同的.換言之,粒子的位置是完全不確定的,因此,

○若粒子具有確定的位置但此

可

以視為無(wú)限多列波長(zhǎng)不同的正弦波疊加而成,

根據(jù)

可知粒子動(dòng)量可能取無(wú)限多個(gè)值,因此完全沒(méi)有確定值,即

○電子單縫衍射設(shè)縫寬d方向?yàn)閥方向.

y方向的位置的不確定范圍為

大部分電子落在衍射花樣的中央亮區(qū),范圍由

落到A處的電子的y方向分動(dòng)量為（波動(dòng)性?。┐_定.落在中央亮條峰處電子的分動(dòng)量

由此，

的不確定范圍為于是

○考慮某一粒子只能出現(xiàn)在一個(gè)小的范圍內(nèi),該粒子的狀態(tài)用波包描述,即許多波長(zhǎng)不同的正弦波疊加.根據(jù)

可知?jiǎng)恿繘](méi)有確定值.另外，可粗略認(rèn)為波列的長(zhǎng)度正比于

顯然n越大,由此得到的波長(zhǎng)越精確,由此確定動(dòng)量就越精確,即

而

所以

即

﹡波包的實(shí)部○由于不確定關(guān)系根源于微觀粒子的波動(dòng)性,故在宏觀物理中,不確定關(guān)系給出的限制不必考慮.例如在湯姆孫確定電子荷質(zhì)比的實(shí)驗(yàn)中,電子的動(dòng)能約為100eV,相應(yīng)的物質(zhì)波長(zhǎng)約為

而裝置中電子束的準(zhǔn)直縫寬是1mm,對(duì)應(yīng)的位置不確定

因此電子的波動(dòng)性不能顯示出來(lái),不確定關(guān)系給出的限制不必考慮,而電子可以用經(jīng)典的質(zhì)點(diǎn)來(lái)描述,電子的位置與動(dòng)量都有確定值,亦即電子的軌道可以確定.也是因?yàn)閔很小,由

確定的

和

均小于宏觀誤差.▲能量和時(shí)間的不確定關(guān)系●說(shuō)明：○考慮空間某一點(diǎn)的波函數(shù)隨時(shí)間變化,只能在

內(nèi)有不為零的值.該波函數(shù)可以看成

是許多頻率不同的正弦波疊加.根據(jù)

可知,該波函數(shù)描述的狀態(tài)粒子的能量沒(méi)有確定值.

越大,合成波所需的不同頻率的正弦波數(shù)目越少,故能量不確定范圍越小.○可以視為觀測(cè)的持續(xù)時(shí)間,

為測(cè)量能量的不確定量.

○原子：

可視為原子處于某一狀態(tài)（能級(jí)E）的平均時(shí)間,即壽命

該狀態(tài)的能級(jí)不確定范圍，即能級(jí)寬度為

由此可得2.3薛定諤方程（1926）■必須滿足的條件▲對(duì)于非相對(duì)論運(yùn)動(dòng),微觀粒子系統(tǒng)中粒子數(shù)守恒.▲▲■自由粒子

波函數(shù)滿足的方程▲自由粒子波函數(shù)▲方程的導(dǎo)出●將

對(duì)時(shí)間t微分,得即

●將

對(duì)x、y、z作一次偏微分,可得即

同理

于是有將

對(duì)x、y、z進(jìn)行二次偏微分,可得

即

同理

由此,

其中

稱為拉普拉斯算符.●根據(jù)

以及上述結(jié)果可得即

●以上方程可按以下方法產(chǎn)生：首先根據(jù)

將波函數(shù)

上式兩側(cè),可得右乘然后作如下替換：代入上式可得■勢(shì)場(chǎng)

中運(yùn)動(dòng)粒子滿足的方程根據(jù)上述自由粒子薛定諤方程導(dǎo)出方法,可得：作替代說(shuō)明▲該方程描述一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在勢(shì)場(chǎng)

中波函數(shù)隨時(shí)間變化的因果關(guān)系.一旦初始狀態(tài)

給定,以后任何時(shí)刻t的狀態(tài)原則上也就完全確定.▲該方程僅僅是假設(shè),其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).▲波函數(shù)是復(fù)數(shù),不具有物理意義,而波函數(shù)絕對(duì)值平方表示粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度.2.3.2定態(tài)薛定諤方程■勢(shì)能

■分離薛定諤方程▲令

▲將上式代入薛定諤方程可得將以上方程兩邊同除

可得

▲以上方程左邊與時(shí)間t有關(guān),右邊與坐標(biāo)有關(guān).為了使以上方程成立,必須令該方程等于常數(shù)E,于是可得兩個(gè)常微分方程：■方程的解▲整理上述第一個(gè)含時(shí)t方程,可得該方程解為

▲薛定諤方程的解為上式中

包含

并且滿足如下定態(tài)薛定諤方程一維情況下,▲常數(shù)E將自由粒子波函數(shù)與

比較可知,所設(shè)的常數(shù)E為粒子總能量.■定態(tài)特征▲定態(tài)的粒子的總能量E不隨時(shí)間改變.▲與定態(tài)相應(yīng)的物質(zhì)波頻率為

▲幾率密度只與位置坐標(biāo)有關(guān)而與時(shí)間無(wú)關(guān).2.4力學(xué)量的平均值,算符表示和本征值2.4.1力學(xué)量的平均值■位置矢量■勢(shì)能■動(dòng)量▲粒子出現(xiàn)在

處的幾率密度不是粒子具有動(dòng)量P的幾率密度,原因有二：●根據(jù)

可知,位置越確定,動(dòng)量就越不確定.●根據(jù)

可知,粒子動(dòng)量與波長(zhǎng)有關(guān).

而波長(zhǎng)與位置無(wú)關(guān),故粒子動(dòng)量與位置無(wú)關(guān),亦即“微觀粒子在空間某一點(diǎn)的動(dòng)量”▲動(dòng)量平均值通過(guò)傅里葉變化可以得到

對(duì)應(yīng)一般狀態(tài)的波包這樣說(shuō)法是沒(méi)有意義的.因此,動(dòng)量平均值為經(jīng)過(guò)計(jì)算上式可化為引入動(dòng)量算符粒子動(dòng)量取值為

的幾率密度為