2020高中數(shù)學(xué)-取球問題

第90煉取球問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：在很多隨機(jī)變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過對(duì)“取球”提出不同的要求，來考察不同的模型，常見的模型及處理方式如下：1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗(yàn)與上一次的相同。2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”3、與條件概率相關(guān)：此類問題通常包含一個(gè)抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對(duì)后一步抽球的影響4、古典概型：要注意雖然題目中會(huì)說明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元素，在利用排列組合知識(shí)進(jìn)行分子分母的計(jì)數(shù)。5、數(shù)字問題：在小球上標(biāo)注數(shù)字，所涉及的問題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等，）在解決此類問題時(shí)，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個(gè)類型進(jìn)行求解。二、典型例題：例1：一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球1）不放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率2）有放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)X的分布列，期望和方差1）思路：因?yàn)槭遣环呕氐娜∏?，所以后面取球的情況受到前面的影響，要使用條件概率相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算。第一次已經(jīng)取到白球，所以剩下6個(gè)黑球，3個(gè)白球；若第二次取到黑則第三次取到黑球的概率為65則第三次取到黑球的概率為球，則第三次取到黑球的概率為，若第二次取到白球,9836?，從而能夠得到第三次取到黑球的概率98解：設(shè)事件A為“不放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”?P(A)_65+36_48_989872（2）思路：因?yàn)槭怯蟹呕氐娜∏?，所以每次取球的結(jié)果互不影響，屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?所以第三次取球時(shí)依然是6個(gè)黑球，3個(gè)白球，取得黑球的概率為9解：設(shè)事件B為“有放回取球，第一次取出白球時(shí)，第三次取到黑球”

???P（B）=23（3）思路：本問依然屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，X的取值為0,1,2,3，則X符合二項(xiàng)分布,所以可通過二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求得概率，得到分布列解：X的取值為0,1,2,3，依題意可得：XnB[3,2'P(X二0)=C0廠3、327P(X二1)=C1廠3]-丫-]543:5丿1253:5丿15丿125P(X_2)_C2〔3丫廠2、2_36P(X_3)_C3’2、3_8315丿[5丿125315丿125X01232754368P125125125125XB(3,2???口I5丿EX5523DX=3----EX5523DX=3----5518-5例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球1）求取出的4個(gè)球中沒有紅球的概率2）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率（3）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求E的分布列和數(shù)學(xué)期望思路：本題這三問的關(guān)鍵在于所取球中紅球的個(gè)數(shù)，考慮紅球個(gè)數(shù)來自于兩個(gè)盒內(nèi)拿出紅球個(gè)數(shù)的總和，所以可將紅球總數(shù)進(jìn)行分配，從而得到每個(gè)盒中出紅球的情況，進(jìn)而計(jì)算出概率（1）設(shè)事件A.為“甲盒中取出i個(gè)紅球”事件B.為“乙盒中取出j個(gè)紅球”ij則P（A）=C；C「,P（B）=CCtiiC2jC246設(shè)事件A為“4個(gè)球中沒有紅球”第十一章第第十一章第90煉取球問題概率與隨機(jī)變量第十一章第第十一章第90煉取球問題概率與隨機(jī)變量5518則P(A)=P(A。).P吩學(xué)-則P(A)=P(A。).P吩學(xué)-晉463361510（2）設(shè)事件B為“4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球”P(B)=P(AB)+P(AB)=CC2-CC0110C2C246C1C1C0C2C2C24639332—.+—.二—6156155（3）g可取的值為0,1,2,3P(g=1)=P(B)=P(g二2)=P(AB)+P(AB)0211C0C2C2C0C1C1C1C11□JJI1□JJC2C2C2C24646P(g二3)=P(AB)=12C1C1C0C2C2C24661510.g的分布列為：g0123P12211055102213Eg=0x+1x+2x+3x=—1055102例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2、3、4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.左手取球成功的概率P二C2+C2+C左手取球成功的概率P二C2+C2+C2Z：C29TOC\o"1-5"\h\zcC2+C2+C21右手取球成功的概率P3亠=2C249p(X二0)=(5p(X二0)=(5)(1)?1——118丿14丿1324P(X二1)=-5)15/1——?—+—?118丿41&18P(%=2)=1*58-72.X的分布列為X012P13241872???EX=0x13+1xZ+2丄』24187236例4：袋中裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個(gè)球，然后放回，若累計(jì)3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束（1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率（2）記摸到紅球的次數(shù)為g,求隨機(jī)變量E的分布列及其期望（1）思路：本題為有放回摸球，可理解為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如果摸球四次就停止，說明在這四次中一共摸到3次紅球，且前三次有兩次摸到紅球，第四次又摸到紅球。通過紅白球數(shù)量1關(guān)系可知一次摸球中摸到紅球的概率為3，然后可按照分析列式并求出概率。解：設(shè)事件A為“摸球四次即停止摸球“1解：依題意可得：在一次摸球中，摸到紅球的概率為3第十一章第第十一章第90煉取球問題概率與隨機(jī)變量3316解：g可取的值為0,1,2,3P(g=2)=C25P(g=2)=C25P(g=3)=3224380243(1)2(2)(1)__3丿P(g=1)=Ci580243(21)5117、3丿—24381g012332808017P24324324381???g的分布列為:.IEg=0x皂+1x竺+2x24324380243+3x17=81131IT例5：某商場(chǎng)在店慶日進(jìn)行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，當(dāng)日在該店消費(fèi)的顧客可參加抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)箱中有大小完全相同的4個(gè)小球，分別標(biāo)有字“生”“意”“興”“隆”．顧客從中任意取出1個(gè)球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個(gè)球，重復(fù)以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球．獲獎(jiǎng)規(guī)則如下：依次取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球?yàn)橐坏泉?jiǎng)；不分順序取到標(biāo)有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎(jiǎng)；取到的4個(gè)球中有標(biāo)有“生”“意”“興”三個(gè)字的球?yàn)槿泉?jiǎng)．1）求分別獲得一、二、三等獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)摸球次數(shù)為g，求g的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)A?為“獲得i等獎(jiǎng)”iTOC\o"1-5"\h\z11111PIA丿=—x—x—x—=4444256P(A)=x丄x^x丄.(A一1)=—44443256()11119PIA丿=C1?xx—x—?A2=-34444464（2）摸球次數(shù)g可取的值為1,2,3,4???P(g=1)=14第十一章第第十一章第90煉取球問題概率與隨機(jī)變量(-7(-7\(-7、I10丿??g的分布列為:g123413927P46464P—P—3)=3?3丄二？44464P—4)=3?3?3二2744464???E,1x1+2x丄+3x2+4x卻二111664644例6：學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙箱子里面裝有1個(gè)白球，2個(gè)黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)（每次游戲后將球放回原箱）1）求在一次游戲中①摸出3個(gè)白球的概率②獲獎(jiǎng)的概率（2）求在三次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列與期望1）思路：本題的結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一個(gè)“拼球”的過程，即兩個(gè)箱子各自拿球，然后統(tǒng)計(jì)白球的個(gè)數(shù)。則①：若摸出3個(gè)白球，則情況為甲2乙1。②：若獲獎(jiǎng)，則白球個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，可分成白球有3個(gè)或有2個(gè)兩種情況，分別求出概率再求和即可解：設(shè)Ai為“甲箱子里取出i個(gè)白球”’b為“乙箱子里取出j個(gè)白球”①設(shè)事件A為“摸出3個(gè)白球”.P(心P(A2也C2-菩=153C1C1C2C1C1C2C21712+3-缶+=——C2C2C2510353p(B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)=CiC1112021C25（2）思路：三次游戲可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以獲獎(jiǎng)次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，由（1）可得XgB3,10，從而可利用公式計(jì)算概率，列出分布列解：X可取的值為0,1,2,3，依題意可得：XDB3,io第十一章第第十一章第90煉取球問題概率與隨機(jī)變量???X的分布列為:X012327189441343P1000100010001000(7\XnB3,—???0〔10丿721EX_3-_1010例7：一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)袋子中的每一個(gè)球被摸到可能性是相等的。???P(X=0)=???P(X=0)=C30(J271000廠3、10丿1891000P(X二2)=C23廠7)2(3]441P(X_3)_C3廠7、〔10丿〔10J10003〔10丿3_343-1000（1）從袋子中任意摸出3個(gè)球，求摸出的球均為白球的概率；（2）一次從袋子中任意摸出3個(gè)球，若其中紅球的個(gè)數(shù)多于白球的個(gè)數(shù)，則稱“摸球成功”（每次操作完成后將球放回），某人連續(xù)摸了3次，記“摸球成功”的次數(shù)為E，求E的分布列和數(shù)學(xué)期望。n(A)_1n(°)_30n(A)_1n(°)_30所求事件A為“均是白球”，則n（A）_C3，從而P（A）_4解：設(shè)事件A為“3個(gè)球均為白球“P（A）_住_±_丄C31203010（2）思路：按題目敘述可知對(duì)于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)結(jié)合E的含義可知E服從二項(xiàng)分布。但“摸球成功”的概率還未知，所以先根據(jù)“摸球成功”的要求利用古典概型計(jì)算出一次成功的概率，再通過二項(xiàng)分布的公式計(jì)算E的分布列即可解：設(shè)事件B為“一次摸球成功”TOC\o"1-5"\h\z（）C2-Ci+C3-C0802P\B）_―6464__C3120310

(2\￡的取值為0,1,2,3，依題意可得：g口B3,-\3丿P(g=0)=C0(1「31P(g=1)=C1(2、(1]263<3丿-273<3丿<3丿-27P(g=2)=C-訥=17P-3)=C(!丿3=善??g的分布列為:g01231248P2799271248Eg=0x+1x+2x+3x=2279927例8：袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的小球各3個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等.(1)求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)用X表示取出的3個(gè)小球上所標(biāo)的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(1)思路：本題的特點(diǎn)在于每個(gè)編號(hào)都有3個(gè)球，若將這12個(gè)球視為不同元素，則可利用古典概型進(jìn)行計(jì)算，設(shè)。為“12個(gè)球中任取3個(gè)”則n(O)12字各不相同”則計(jì)數(shù)時(shí)第一步要先選出不同的三個(gè)編號(hào)，即C3，然后每個(gè)編號(hào)中都有34個(gè)小球可供選擇即C1個(gè)小球可供選擇即C1-C1-C1，所以n333(A)=C3.(C143進(jìn)而可計(jì)算出P(A)解：設(shè)事件A為“三個(gè)球數(shù)字各不相同”2755n(A)C3?(C2755P(A)/、P(A)n(Q)C312(2)思路：依題意可知X的取值為1,2,3,4，依然用古典概型解決，但要明確X取每個(gè)值時(shí)所代表的情況：當(dāng)X=1時(shí)，只能3個(gè)球均為1號(hào)球；當(dāng)X=2時(shí)，說明至少有一個(gè)2號(hào)球，其余的用1號(hào)球組成，即C3+C2C1+C1C2，或者使用間接法：從1,2號(hào)共6個(gè)球中33333先隨意取三個(gè)，再減去不含2號(hào)球的情況，即(C3-C3)個(gè)，同理可得：X=3時(shí)，至少有63一個(gè)3號(hào)球，其余的球?yàn)?,2號(hào)球，所以由(C3—C6)個(gè)，X=4時(shí)，至少有一個(gè)4號(hào)球，93

其余的球?yàn)?,2,3號(hào)球，所以由（C3-C3）個(gè)，進(jìn)而求得概率得到分布列129解：X的取值為1,2,3,4P(X=1)=P(X=1)=C3—3—C3122012P(X—2)—C6—CC312—19—220P(X—P(X—3)—C3-C36496—C322012P(X—4)—C3-C3136—129—C322012EX巴+3116EX巴+3116+4X34—2205555775—155220—~44X1234P11916342202205555例9：一個(gè)盒子中裝有大小相同的小球n個(gè)，在小球上分別標(biāo)有1,2,3,,n的號(hào)碼，已知從盒子中隨機(jī)的取出兩個(gè)球’兩球的號(hào)碼最大值為n的概率為4（1）盒子中裝有幾個(gè)小球？2）現(xiàn)從盒子中隨機(jī)的取出4個(gè)球，記所取4個(gè)球的號(hào)碼中，連續(xù)自然數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值為隨機(jī)變量￡（如取2468時(shí)，乙=1；取1246時(shí)，￡=2，取1235時(shí)，乙=3）（1）思路：以兩球號(hào)碼最大值為n的概率為入手點(diǎn)，則該敘述等價(jià)于“取出一個(gè)n號(hào)球和1一個(gè)其它號(hào)碼球的概率為，從而利用古典概型列出關(guān)于n的方程并解出n解：設(shè)事件A為“兩球號(hào)碼最大值為n”廠(八1-C11n-11°P(A)—宀—即一()—解得：n—8C24n(n-1)4n22）思路：由（1）可得小球的編號(hào)為1-8，結(jié)合所給的例子可知￡的取值為1,2,3,4，其概率可用古典概型計(jì)算?！辍?代表所取得數(shù)兩兩不相鄰，可能的情況有{1,3,5,7},{1,3,5,8},{1,3,6,8},{1,4,6,8},{2,4,6,8}共5種；￡—2表示只有一對(duì)相鄰的數(shù)或兩對(duì)相鄰的數(shù)（兩隊(duì)相鄰的數(shù)之間不再相鄰）；￡—3表示有三個(gè)相鄰的數(shù)，與另一個(gè)數(shù)不相鄰；￡—4

表示四個(gè)數(shù)均相鄰，共5個(gè)。由于g=2包含情況較復(fù)雜，所以可以考慮算出其他情況的概率再用1減即可。解：g的取值為1,2,3,4P(g二1)=5P(g二1)=5C4814P(g二3)=4x2+3x4202C4707P(g二4)=7014???P(g=2)=1-P(g=1)—P(g=3)—P(g=4)=4???g的分布列為:g12341421P7714???Eg=1x丄+2x4+3x2+4x丄=3314771414例10：袋中裝有35個(gè)球，每個(gè)球上分別標(biāo)有1—35的一個(gè)號(hào)碼，設(shè)號(hào)碼為n的球重—-5n+15克，這些球等可能的從袋中被取出（1）如果任取1球，試求其重量大于號(hào)碼數(shù)的概率（2）如果不放回任意取出2球，試求它們重量相等的概率（3）如果取出一球，當(dāng)它的重量大于號(hào)碼數(shù)，則放回，將拌均勻后重??；當(dāng)它的重量小于號(hào)碼數(shù)時(shí)，則停止取球，按照以上規(guī)則，最多取球3次，設(shè)停止之前取球次數(shù)為g,求g的分布列和期望思路：（1）本題的球重與編號(hào)存在函數(shù)關(guān)系，要解得重量大于號(hào)碼數(shù)的概率，先要判斷出在35個(gè)球中，那些球的重量大于號(hào)碼數(shù)，即解不等式聖-5n+15>n，可解出n>6+*'6或^2n<6-虜，所以n的解集為｛1,2,3,9,10,11,35｝共30個(gè)數(shù)，所以取出球重量大于號(hào)碼306數(shù)的概率為35=7解：設(shè)事件A為“取1球其重量大于號(hào)碼數(shù)”

若球重量大于號(hào)碼數(shù)，則—-5n+15>n2n2一12n+30>0，解得：n>6+\6或n<6一、61<n<35,ngN*.n的取值集合為{1,2,3,9,10,11,35},共30個(gè)元素.Pn2m2可推得：(2)思路：不妨設(shè)取出的球的編號(hào)為m,n，從而一-5n+15=-5m+15可推得：22m+n二10，從而取出球的組合為{1,9{2,8},{3,7{4,6}共4組，所以概率為上C235解：設(shè)所取球的編號(hào)為m,n，依題意可得：—5m+15TOC\o"1-5"\h\zn2—5m+15—5n+15=-22.n2.n2一m2=10(n—m)n(n—m)(n+m—10)=0m豐n.m+n=10取出球的組合為{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}4595設(shè)事件B為“取出24595.P(B)=上C235由⑴可知球重量大于號(hào)碼的概率為7因?yàn)槭强煞呕氐某槿?，所以每次抽取為?dú)立重復(fù)試驗(yàn)。當(dāng)g=1時(shí)，可知取出的球重量小于號(hào)碼數(shù)；當(dāng)g=2時(shí)，則第一次取出的球比號(hào)碼數(shù)大，第二次取出的球比號(hào)碼數(shù)??；當(dāng)g=3時(shí)，則前兩次取出的球比號(hào)碼數(shù)大(無論第三次如何都終止取球)，從而求出概率得到分布列解:g可取的值為123，由(1)可知取出球重量大于號(hào)碼的概率P(A)=6???P(g=1)=P(A)=1—思路：依題意可知：g思路：依題意可知：g可取的值為1,2,377

???g的分布列為:g1231636P74949P—2)=P—2)=6364949???Eg127~4916???Eg127~49=1x—+2x+3x=74949三、歷年好題精選1、（2014，福建）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．（1）若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求:顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望．（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由．2、（2014，重慶）一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；（2）X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：若三個(gè)數(shù)a,b,c滿足a<b<c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)）3、袋中共有10個(gè)大小相同的編號(hào)為1,2,3的球，其中1號(hào)球有1個(gè)，2號(hào)球有3個(gè)，3號(hào)球有6個(gè)（1）從袋中任意摸出2個(gè)球，求恰好是一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球的概率（2）從袋中任意摸出2個(gè)球，記得到小球的編號(hào)數(shù)之和為g,求隨機(jī)變量g的分布列和數(shù)學(xué)期望4、袋中裝有標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，現(xiàn)從袋中任意取出3個(gè)小球，假設(shè)每個(gè)小球被取出的可能性都相等

1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字分別是1,2,3的概率2）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同的概率（3）用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求X的分布列習(xí)題答案：1、解析：（1）①設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為XP（P（X二60）=C1C1—1_3C2422）X可取的值為20,60P（X二P（X二60）=C1C1—1_3C24P（X二20'）=\o"CurrentDocument"C21=—C224.X的分布列為X2060

P0.50.5所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為EX=40.2)每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額為600001000=2)每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額為600001000=60元，可知期望有可能達(dá)到60的只有方案(10,10,50,50)或(20,20,40,40)，分別分析以下兩種方案:方案一：(10，10,50,50)，則X1的取值為20,60,100P(X二P(X二20)=一1C24P(X二60)1C1-C122C2411P(X=100)==—1C264???EX=20丄+60--+100丄=601636DX=(20-60)2--+(60-60)--+(100-60)--=蘭0016363方案二：(20,20,40,40)，則X的取值為40,60,802P(X=40P(X=40)=一2C24P(X=60)