高斯投影與高斯平面直角坐標(biāo)系概述課件

第三章高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)系1第三章高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)系1§3.1地圖投影概述3.1.1地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)由橢球面投影到平面,大地經(jīng)緯度B,L，與平面坐標(biāo)x,y的關(guān)系因橢球面是不可展曲面,要建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,必然會(huì)產(chǎn)生投影變形，控制投影變形有各種不同的方法，對(duì)應(yīng)于不同的投影。2§3.1地圖投影概述3.1.1地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)由橢球3.1.2地圖投影變形及其表述1、投影長(zhǎng)度比、等量緯度及其表示式長(zhǎng)度比：投影平面上微分長(zhǎng)度與橢球面上相應(yīng)微分長(zhǎng)度之比。投影平面上微分長(zhǎng)度：橢球面上微分長(zhǎng)度：33.1.2地圖投影變形及其表述1、投影長(zhǎng)度比、等量緯度及其3.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。43.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式3.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。53.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式3.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。63.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式3.1.2地圖投影變形及其表述引入等量緯度后，投影公式為：求微分，得：其中：l=L-L073.1.2地圖投影變形及其表述引入等量緯度后，投影公式為：3.1.2地圖投影變形及其表述根據(jù)微分幾何，其第一基本形式為：其中：83.1.2地圖投影變形及其表述根據(jù)微分幾何，其第一基本形式3.1.2地圖投影變形及其表述則，長(zhǎng)度比公式為：將代入上式，得：93.1.2地圖投影變形及其表述則，長(zhǎng)度比公式為：將3.1.2地圖投影變形及其表述當(dāng)A=0°或180°，得經(jīng)線方向長(zhǎng)度比：當(dāng)A=90°或270°，得緯線方向長(zhǎng)度比：要使長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)，只要：F=0,E=G，則長(zhǎng)度比可表示為：103.1.2地圖投影變形及其表述當(dāng)A=0°或180°，得經(jīng)3.1.2地圖投影變形及其表述長(zhǎng)度比與1之差，稱(chēng)為長(zhǎng)度變形，即：vm>0，投影后長(zhǎng)度變大，反之，投影后長(zhǎng)度變短。113.1.2地圖投影變形及其表述長(zhǎng)度比與1之差，稱(chēng)為長(zhǎng)度變形3.1.2地圖投影變形及其表述2、主方向和變形橢圓主方向：在橢球面上正交的兩個(gè)方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個(gè)方向稱(chēng)為主方向。性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小尺度比。對(duì)照第一基本形式，得：且：123.1.2地圖投影變形及其表述2、主方向和變形橢圓主方向：3.1.2地圖投影變形及其表述代入長(zhǎng)度比公式，得：若使：使長(zhǎng)度比為極值的方向：由三角公式得：133.1.2地圖投影變形及其表述代入長(zhǎng)度比公式，得：若使：使3.1.2地圖投影變形及其表述由此得，長(zhǎng)度比極值為：將三角展開(kāi)式代入得：因此，最大長(zhǎng)度比a與最小長(zhǎng)度比b可表示為：143.1.2地圖投影變形及其表述由此得，長(zhǎng)度比極值為：將三角3.1.2地圖投影變形及其表述不難得出下列關(guān)系：153.1.2地圖投影變形及其表述不難得出下列關(guān)系：153.1.2地圖投影變形及其表述若對(duì)應(yīng)于最大和最小長(zhǎng)度比方向在橢球面上為x軸和y軸方向，在投影面上為x1和y1方向，則有：橢球面上投影面上163.1.2地圖投影變形及其表述若對(duì)應(yīng)于3.1.2地圖投影變形及其表述3、方向變形與角度變形某方向（以主方向起始）投影后為1，則有：由三角公式，得：顯然，當(dāng)+1=90°或270°時(shí)，方向變形最大173.1.2地圖投影變形及其表述3、方向變形與角度變形某方向3.1.2地圖投影變形及其表述若與1表示最大變形方向，則最大變形量可表示為：顧及：解得最大變形方向?yàn)椋?83.1.2地圖投影變形及其表述若與1表示最大變形方3.1.2地圖投影變形及其表述兩方向、所夾角的變形稱(chēng)為角度變形，用表示。即：顯然，當(dāng)+1=90°、+1=270°或+1=270°、+1=90°時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為：193.1.2地圖投影變形及其表述兩方向、所夾角的變形稱(chēng)為3.1.2地圖投影變形及其表述4、面積比與面積變形橢球面上單位圓面積為，投影后的面積為ab，則面積變形為：203.1.2地圖投影變形及其表述4、面積比與面積變形3.1.3地圖投影的分類(lèi)1、按投影變形的性質(zhì)分類(lèi)(1).等面積投影

ab=1(2).等角投影

a=b(3).等距離投影

某一方向的長(zhǎng)度比為1。213.1.3地圖投影的分類(lèi)1、按投影變形的性質(zhì)分類(lèi)213.1.3地圖投影的分類(lèi)2、按采用的投影面和投影方式分類(lèi)(1).方位投影投影面與橢球面相切，切點(diǎn)為投影中心，按一定條件將橢球面上的物投影到平面上。223.1.3地圖投影的分類(lèi)2、按采用的投影面和投影方式分類(lèi)(3.1.3地圖投影的分類(lèi)(2).正軸或斜、橫軸圓柱投影

正軸圓柱投影：投影圓柱面與某緯線相切(切圓柱投影)、或相割(割圓柱投影)切圓柱投影：投影圓柱面與赤道相切，緯線投影成一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯線正交的另一組平行直線。割圓柱投影：投影圓柱面與兩條對(duì)稱(chēng)緯線相割，緯線投影成一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯線正交的另一組平行直線。233.1.3地圖投影的分類(lèi)(2).正軸或斜、橫軸圓柱投影23.1.3地圖投影的分類(lèi)橫軸圓柱投影：投影圓柱面與某經(jīng)線相切。斜軸圓柱投影：用于小比例尺投影，將地球視為圓球，投影圓柱體斜切于圓球進(jìn)行投影。(3).圓錐投影：圓錐面與橢球面相切或相割，將橢球面上物投影到圓錐面上，展開(kāi)圓錐面得投影平面。根據(jù)圓錐頂點(diǎn)位置不同，分正圓錐投影、斜圓錐投影。243.1.3地圖投影的分類(lèi)橫軸圓柱投影：投影圓柱面與某經(jīng)線相3.1.3地圖投影的分類(lèi)253.1.3地圖投影的分類(lèi)25習(xí)題1.給出等量緯度的定義，引入等量緯度有何作用。2.投影變形與長(zhǎng)度無(wú)關(guān)時(shí)應(yīng)滿足哪些條件？并給出證明。3.變形主方向有什么性質(zhì)？4.最大方向變形與最大角度變形的方向滿足什么條件？5.地圖投影按變形性質(zhì)分哪幾類(lèi)？按投影方式分哪幾類(lèi)？26習(xí)題1.給出等量緯度的定義，引入等量緯度有何作用。§3.2正形投影與高斯-克呂格投影3.2.1正形投影的概念和投影方程長(zhǎng)度比與方位角無(wú)關(guān)的投影稱(chēng)為正形投影，必須滿足條件E=G,F=0，即：由第二式解得：127§3.2正形投影與高斯-克呂格投影3.2.1正形投影3.2.1正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考慮到導(dǎo)數(shù)的方向，開(kāi)方根得：再代入式，得：123283.2.1正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考慮到3.2.1正形投影的概念和投影方程2，式稱(chēng)為Kauchi-Rimann方程，滿足該方程的復(fù)變函數(shù)為解析函數(shù)，可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，即有：3其反函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)，可以寫(xiě)成：293.2.1正形投影的概念和投影方程2，3.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯-克呂格投影的條件：1.是正形投影2.中央子午線不變形303.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯-克呂格投影的3.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯投影的性質(zhì)：1.投影后角度不變2.長(zhǎng)度比與點(diǎn)位有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)3.離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大為控制投影后的長(zhǎng)度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)可采用不按3度帶中央子午線的任意帶。313.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯投影的性質(zhì)：13.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)323.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)323.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)中央子午線在平面上的投影是x軸，赤道的投影是y軸，其交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。x坐標(biāo)是點(diǎn)至赤道的垂直距離；y坐標(biāo)是點(diǎn)至中央子午線的垂直距離，有正負(fù)。為了避免y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，其名義坐標(biāo)加上500公里。為了區(qū)分不同投影帶中的點(diǎn)，在點(diǎn)的Y坐標(biāo)值上加帶號(hào)N所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的名義值為

y=N1000000+500000+y333.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)中央子午線在§3.3高斯投影坐標(biāo)正算和反算公式3.2.1高斯投影正算公式赤道因正形投影的導(dǎo)數(shù)與方向無(wú)關(guān)，將投影點(diǎn)坐標(biāo)在H點(diǎn)展開(kāi)，得：34§3.3高斯投影坐標(biāo)正算和反算公式3.2.1高斯投影3.3.1高斯投影正算公式因此，高斯投影級(jí)數(shù)展開(kāi)式可表示為：其各階導(dǎo)數(shù)為：353.3.1高斯投影正算公式因此，高斯投影級(jí)數(shù)展開(kāi)3.3.1高斯投影正算公式將導(dǎo)數(shù)代入展開(kāi)式，虛實(shí)分開(kāi)后，得到高斯投影正算公式如下：363.3.1高斯投影正算公式將導(dǎo)數(shù)代入展開(kāi)3.3.1高斯投影正算公式為便于編程計(jì)算，可將正算公式改寫(xiě)成如下形式：373.3.1高斯投影正算公式為便于編程計(jì)算，可將正算公式改3.3.2高斯投影反算公式在中央子午線投影成的x軸上取點(diǎn)Xf=x，該點(diǎn)稱(chēng)為底點(diǎn)，用子午弧長(zhǎng)反算公式求得底點(diǎn)的緯度Bf和相應(yīng)的等量緯度qf，以底點(diǎn)為展開(kāi)點(diǎn)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)，得：383.3.2高斯投影反算公式在中央子午線投3.3.2高斯投影反算公式相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為：393.3.2高斯投影反算公式相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為：393.3.2高斯投影反算公式代入級(jí)數(shù)展開(kāi)式，虛實(shí)分開(kāi)得：4403.3.2高斯投影反算公式代入級(jí)數(shù)展開(kāi)式，虛實(shí)分開(kāi)得：43.3.2高斯投影反算公式將大地緯度展開(kāi)成等量緯度的級(jí)數(shù)式其中：5413.3.2高斯投影反算公式將大地緯度展開(kāi)成等量緯度的級(jí)數(shù)3.3.2高斯投影反算公式由式，得：4代入式，得：5423.3.2高斯投影反算公式由式，得：4代入3.3.2高斯投影反算公式將各系數(shù)代入上式，得緯度B

的反算公式：433.3.2高斯投影反算公式將各系數(shù)代入上式，得緯度B3.3.2高斯投影反算公式為便于編程計(jì)算，可將反算公式改寫(xiě)成如下形式：443.3.2高斯投影反算公式為便于編程計(jì)算，可將反算公式改3.3.2高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式，亦可進(jìn)行不同投影帶坐標(biāo)的換帶計(jì)算。其計(jì)算步驟如下：1.根據(jù)高斯投影坐標(biāo)x,y，反算得緯度B和經(jīng)度差l；2.由中央子午線的經(jīng)度L0,求得經(jīng)度L=L0+l；3.根據(jù)換帶后新的中央子午線經(jīng)度L0'，計(jì)算相應(yīng)的經(jīng)差：4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標(biāo)x'，y'。453.3.2高斯投影反算公式利用高斯習(xí)題1.高斯投影的條件是什么？2.簡(jiǎn)述高斯投影投影正算公式的推導(dǎo)；3.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.3373L=1211033.2012

計(jì)算：1).該點(diǎn)的3帶和6帶帶號(hào)；2).該點(diǎn)的3帶高斯投影坐標(biāo)并反算檢核；46習(xí)題1.高斯投影的條件是什么？46§3.4平面子午線收斂角和長(zhǎng)度比3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式平行圈子午線沿平行圈緯度不變，求微分得：47§3.4平面子午線收斂角和長(zhǎng)度比3.4.1平面子午線收3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式對(duì)高斯投影公式求偏導(dǎo)數(shù)，得：483.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式對(duì)高斯投影公式求偏導(dǎo)3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式，得：將展開(kāi)成tg的級(jí)數(shù)，得：493.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式，得：將3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式由此可見(jiàn)，是經(jīng)差的奇函數(shù)，在x軸為對(duì)稱(chēng)軸，東側(cè)為正，西側(cè)為負(fù)。子午線收斂角在赤道為0，在兩極等于經(jīng)差l，其余點(diǎn)上均小于經(jīng)差l。503.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式由3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式子午線收斂角也可以表示成高斯平面坐標(biāo)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。平行圈L=常數(shù)L+dl=常數(shù)P點(diǎn)沿與y軸平行方問(wèn)微分變動(dòng)到P點(diǎn)，子午線收斂角可表示為：沿y坐標(biāo)的微分，得：513.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式子午線收斂角也可以表3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入子午線收斂角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏導(dǎo)數(shù)，得：523.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入子午線收斂角公式3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式子午線收斂角計(jì)算公式，得：將展開(kāi)成tg的級(jí)數(shù)，得：533.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式子午線收斂角3.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式由高斯投影長(zhǎng)度比的定義式，得：將前面的偏導(dǎo)數(shù)代入上式，得：開(kāi)方后得出以大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式：543.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式由高斯投影長(zhǎng)度比的定義式，得：3.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式為給出由高斯投影坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式，反解高斯投影的y

坐標(biāo)正算公式，得：對(duì)上式求平方和四次方，得：553.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式為給出由高3.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式代入用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式，得：顧及：代入上式，得：可見(jiàn)，長(zhǎng)度比是y坐標(biāo)的偶函數(shù)，且只與y坐標(biāo)有關(guān)。563.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式代入用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式§3.5高斯投影距離與方向改化以及坐標(biāo)方位角3.5.1高斯投影的距離改化橢球面上的大地線投影到高斯平面上為曲線，與平面上兩點(diǎn)相連的直線相比，其微分線段間的差異極小，可表示為：其中：57§3.5高斯投影距離與方向改化以及坐標(biāo)方位角3.5.13.5.1高斯投影的距離改化此弧線與直線間的最大偏角即為方向投影改化，本為二次小項(xiàng),故此相對(duì)長(zhǎng)度差異僅為4次項(xiàng),相對(duì)于距離測(cè)量的最高精度亦可忽略,因此可認(rèn)為：

用辛卜生公式數(shù)值積分得：583.5.1高斯投影的距離改化此弧線與直線間的最大偏角即為3.5.1高斯投影的距離改化將長(zhǎng)度比公式代入上式，得：593.5.1高斯投影的距離改化將長(zhǎng)度比公式593.5.1高斯投影的距離改化距離改化S可表示為：其中：在城市及工程應(yīng)用中測(cè)邊離中央子午線不會(huì)超過(guò)45公里，則距離改化公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：603.5.1高斯投影的距離改化距離改化S可表示為：其中：3.5.2高斯投影方向改化1、高斯投影曲線的形狀高斯投影曲線的形狀向x軸彎曲，并向兩極收斂。613.5.2高斯投影方向改化1、高斯投影曲線的形狀613.5.2高斯投影方向改化2、高斯投影方向改化保角投影前后角度相同，即：623.5.2高斯投影方向改化2、高斯投影方向改化保角投影3.5.2高斯投影方向改化將球面角超計(jì)算公式代入上式，得：因方向值順時(shí)針?lè)较蛟黾樱紤]其正負(fù)號(hào)后，方向改化公式可表示如下：上式具有0.1的計(jì)算精度，適用于三、四等控制網(wǎng)的方向改化計(jì)算。改化公式中的曲率半徑可足夠近似地取6370km633.5.2高斯投影方向改化將球面角超計(jì)算公式代入上式，3.5.3坐標(biāo)方位角和大地方位角的關(guān)系式A12T12643.5.3坐標(biāo)方位角和大地方位角的關(guān)系式A12T1264習(xí)題1.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.3373L=1211033.2012

計(jì)算：1).該點(diǎn)的3帶高斯投影后的中央子午線收斂角；2).該點(diǎn)的3帶高斯投影的長(zhǎng)度比。2.已知起始點(diǎn)坐標(biāo)：x3=3239387.624m

y3=40446822.368m起始平面方位角T31=1923708.51，距離S31=7619.245m，各方向觀測(cè)值如下：

1~3：00000.002~3：00000.003~1：00000.001~2：2571747.712~1：395112.503~2：372636.65將上述邊長(zhǎng)和方向歸算到高斯平面上。31265習(xí)題1.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405§3.6通用橫軸墨卡托投影3.6.1墨卡托投影墨卡托投影為等角割圓柱投影，圓柱與橢球面相割于B0的兩條緯線，投影后不變形。特性：等角航線在投影平面上為直線。因此，該投影便于在航海中應(yīng)用。66§3.6通用橫軸墨卡托投影3.6.1墨卡托投影3.6.2通用橫軸墨卡托投影簡(jiǎn)稱(chēng)為UTM，與高斯投影相比，僅僅是中央子午線的尺度比為0.9996，其投影公式如下：673.6.2通用橫軸墨卡托投影簡(jiǎn)稱(chēng)為UT3.6.2通用橫軸墨卡托投影長(zhǎng)度比和子午線收斂角計(jì)算公式。683.6.2通用橫軸墨卡托投影長(zhǎng)度比和子午線收斂角計(jì)算公3.6.2通用橫軸墨卡托投影通用橫軸墨卡托投影的反算步驟：1.先由通用橫軸墨卡托投影坐標(biāo)計(jì)算高斯投影坐標(biāo)；

2.再利用高斯投影反算公式，計(jì)算大地緯度和經(jīng)度。693.6.2通用橫軸墨卡托投影通用橫軸墨卡托投影的反算步3.6.2通用橫軸墨卡托投影與高斯投影的比較703.6.2通用橫軸墨卡托投影與高斯投影的比較70§3.7局部區(qū)域中的高斯投影及其相應(yīng)的區(qū)域性橢球局部區(qū)域中常采用地方獨(dú)立坐標(biāo)系，其高斯坐標(biāo)以往并非由經(jīng)緯度求得，而是直接將邊長(zhǎng)投影到邊長(zhǎng)歸算的高程基準(zhǔn)面（投影面）,再選定過(guò)測(cè)區(qū)中心附近的坐標(biāo)縱軸，計(jì)算高斯投影邊長(zhǎng)和方向改正，在平面上由起始點(diǎn)坐標(biāo)、起始方位角來(lái)平差計(jì)算各控制點(diǎn)坐標(biāo)。71§3.7局部區(qū)域中的高斯投影及其相應(yīng)的區(qū)域性橢球局§3.7局部區(qū)域中的高斯投影及其相應(yīng)的區(qū)域性橢球地方獨(dú)立坐標(biāo)系的參數(shù)：1.投影面：一般采用區(qū)域的平均高程面；2.中央子午線的經(jīng)度或位置：一般取用過(guò)區(qū)域中心附近一控制點(diǎn)的經(jīng)度，或采用整分或整度的經(jīng)度。3.起始坐標(biāo)、起始方位角、起始邊長(zhǎng)。72§3.7局部區(qū)域中的高斯投影及其相應(yīng)的區(qū)域性橢球地方獨(dú)立§3.7局部區(qū)域中的高斯投影及相應(yīng)的區(qū)域性橢球

城市及工程控制網(wǎng)采用地方獨(dú)立坐標(biāo)系，邊長(zhǎng)的投影面是區(qū)域的邊長(zhǎng)歸算的高程基準(zhǔn)面而并不是國(guó)家參考橢球面。其高斯坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的橢球面應(yīng)是與投影面相接近的區(qū)域性橢球面，而不是國(guó)家參考橢球面。73§3.7局部區(qū)域中的高斯投影及相應(yīng)的區(qū)域性橢球城第三章高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)系74第三章高斯投影及高斯平面直角坐標(biāo)系1§3.1地圖投影概述3.1.1地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)由橢球面投影到平面,大地經(jīng)緯度B,L，與平面坐標(biāo)x,y的關(guān)系因橢球面是不可展曲面,要建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,必然會(huì)產(chǎn)生投影變形，控制投影變形有各種不同的方法，對(duì)應(yīng)于不同的投影。75§3.1地圖投影概述3.1.1地圖投影的意義與實(shí)現(xiàn)由橢球3.1.2地圖投影變形及其表述1、投影長(zhǎng)度比、等量緯度及其表示式長(zhǎng)度比：投影平面上微分長(zhǎng)度與橢球面上相應(yīng)微分長(zhǎng)度之比。投影平面上微分長(zhǎng)度：橢球面上微分長(zhǎng)度：763.1.2地圖投影變形及其表述1、投影長(zhǎng)度比、等量緯度及其3.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。773.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式3.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。783.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式3.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為引入等量緯度后，使相同角度量的dq與dL所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同。793.1.2地圖投影變形及其表述上式中q為等量緯度，計(jì)算公式3.1.2地圖投影變形及其表述引入等量緯度后，投影公式為：求微分，得：其中：l=L-L0803.1.2地圖投影變形及其表述引入等量緯度后，投影公式為：3.1.2地圖投影變形及其表述根據(jù)微分幾何，其第一基本形式為：其中：813.1.2地圖投影變形及其表述根據(jù)微分幾何，其第一基本形式3.1.2地圖投影變形及其表述則，長(zhǎng)度比公式為：將代入上式，得：823.1.2地圖投影變形及其表述則，長(zhǎng)度比公式為：將3.1.2地圖投影變形及其表述當(dāng)A=0°或180°，得經(jīng)線方向長(zhǎng)度比：當(dāng)A=90°或270°，得緯線方向長(zhǎng)度比：要使長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)，只要：F=0,E=G，則長(zhǎng)度比可表示為：833.1.2地圖投影變形及其表述當(dāng)A=0°或180°，得經(jīng)3.1.2地圖投影變形及其表述長(zhǎng)度比與1之差，稱(chēng)為長(zhǎng)度變形，即：vm>0，投影后長(zhǎng)度變大，反之，投影后長(zhǎng)度變短。843.1.2地圖投影變形及其表述長(zhǎng)度比與1之差，稱(chēng)為長(zhǎng)度變形3.1.2地圖投影變形及其表述2、主方向和變形橢圓主方向：在橢球面上正交的兩個(gè)方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個(gè)方向稱(chēng)為主方向。性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小尺度比。對(duì)照第一基本形式，得：且：853.1.2地圖投影變形及其表述2、主方向和變形橢圓主方向：3.1.2地圖投影變形及其表述代入長(zhǎng)度比公式，得：若使：使長(zhǎng)度比為極值的方向：由三角公式得：863.1.2地圖投影變形及其表述代入長(zhǎng)度比公式，得：若使：使3.1.2地圖投影變形及其表述由此得，長(zhǎng)度比極值為：將三角展開(kāi)式代入得：因此，最大長(zhǎng)度比a與最小長(zhǎng)度比b可表示為：873.1.2地圖投影變形及其表述由此得，長(zhǎng)度比極值為：將三角3.1.2地圖投影變形及其表述不難得出下列關(guān)系：883.1.2地圖投影變形及其表述不難得出下列關(guān)系：153.1.2地圖投影變形及其表述若對(duì)應(yīng)于最大和最小長(zhǎng)度比方向在橢球面上為x軸和y軸方向，在投影面上為x1和y1方向，則有：橢球面上投影面上893.1.2地圖投影變形及其表述若對(duì)應(yīng)于3.1.2地圖投影變形及其表述3、方向變形與角度變形某方向（以主方向起始）投影后為1，則有：由三角公式，得：顯然，當(dāng)+1=90°或270°時(shí)，方向變形最大903.1.2地圖投影變形及其表述3、方向變形與角度變形某方向3.1.2地圖投影變形及其表述若與1表示最大變形方向，則最大變形量可表示為：顧及：解得最大變形方向?yàn)椋?13.1.2地圖投影變形及其表述若與1表示最大變形方3.1.2地圖投影變形及其表述兩方向、所夾角的變形稱(chēng)為角度變形，用表示。即：顯然，當(dāng)+1=90°、+1=270°或+1=270°、+1=90°時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為：923.1.2地圖投影變形及其表述兩方向、所夾角的變形稱(chēng)為3.1.2地圖投影變形及其表述4、面積比與面積變形橢球面上單位圓面積為，投影后的面積為ab，則面積變形為：933.1.2地圖投影變形及其表述4、面積比與面積變形3.1.3地圖投影的分類(lèi)1、按投影變形的性質(zhì)分類(lèi)(1).等面積投影

ab=1(2).等角投影

a=b(3).等距離投影

某一方向的長(zhǎng)度比為1。943.1.3地圖投影的分類(lèi)1、按投影變形的性質(zhì)分類(lèi)213.1.3地圖投影的分類(lèi)2、按采用的投影面和投影方式分類(lèi)(1).方位投影投影面與橢球面相切，切點(diǎn)為投影中心，按一定條件將橢球面上的物投影到平面上。953.1.3地圖投影的分類(lèi)2、按采用的投影面和投影方式分類(lèi)(3.1.3地圖投影的分類(lèi)(2).正軸或斜、橫軸圓柱投影

正軸圓柱投影：投影圓柱面與某緯線相切(切圓柱投影)、或相割(割圓柱投影)切圓柱投影：投影圓柱面與赤道相切，緯線投影成一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯線正交的另一組平行直線。割圓柱投影：投影圓柱面與兩條對(duì)稱(chēng)緯線相割，緯線投影成一組平行直線，經(jīng)線投影成與緯線正交的另一組平行直線。963.1.3地圖投影的分類(lèi)(2).正軸或斜、橫軸圓柱投影23.1.3地圖投影的分類(lèi)橫軸圓柱投影：投影圓柱面與某經(jīng)線相切。斜軸圓柱投影：用于小比例尺投影，將地球視為圓球，投影圓柱體斜切于圓球進(jìn)行投影。(3).圓錐投影：圓錐面與橢球面相切或相割，將橢球面上物投影到圓錐面上，展開(kāi)圓錐面得投影平面。根據(jù)圓錐頂點(diǎn)位置不同，分正圓錐投影、斜圓錐投影。973.1.3地圖投影的分類(lèi)橫軸圓柱投影：投影圓柱面與某經(jīng)線相3.1.3地圖投影的分類(lèi)983.1.3地圖投影的分類(lèi)25習(xí)題1.給出等量緯度的定義，引入等量緯度有何作用。2.投影變形與長(zhǎng)度無(wú)關(guān)時(shí)應(yīng)滿足哪些條件？并給出證明。3.變形主方向有什么性質(zhì)？4.最大方向變形與最大角度變形的方向滿足什么條件？5.地圖投影按變形性質(zhì)分哪幾類(lèi)？按投影方式分哪幾類(lèi)？99習(xí)題1.給出等量緯度的定義，引入等量緯度有何作用?！?.2正形投影與高斯-克呂格投影3.2.1正形投影的概念和投影方程長(zhǎng)度比與方位角無(wú)關(guān)的投影稱(chēng)為正形投影，必須滿足條件E=G,F=0，即：由第二式解得：1100§3.2正形投影與高斯-克呂格投影3.2.1正形投影3.2.1正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考慮到導(dǎo)數(shù)的方向，開(kāi)方根得：再代入式，得：1231013.2.1正形投影的概念和投影方程代入第一式，得：考慮到3.2.1正形投影的概念和投影方程2，式稱(chēng)為Kauchi-Rimann方程，滿足該方程的復(fù)變函數(shù)為解析函數(shù)，可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，即有：3其反函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)，可以寫(xiě)成：1023.2.1正形投影的概念和投影方程2，3.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯-克呂格投影的條件：1.是正形投影2.中央子午線不變形1033.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯-克呂格投影的3.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯投影的性質(zhì)：1.投影后角度不變2.長(zhǎng)度比與點(diǎn)位有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)3.離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大為控制投影后的長(zhǎng)度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)可采用不按3度帶中央子午線的任意帶。1043.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)高斯投影的性質(zhì)：13.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)1053.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)323.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)中央子午線在平面上的投影是x軸，赤道的投影是y軸，其交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。x坐標(biāo)是點(diǎn)至赤道的垂直距離；y坐標(biāo)是點(diǎn)至中央子午線的垂直距離，有正負(fù)。為了避免y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，其名義坐標(biāo)加上500公里。為了區(qū)分不同投影帶中的點(diǎn)，在點(diǎn)的Y坐標(biāo)值上加帶號(hào)N所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的名義值為

y=N1000000+500000+y1063.2.2高斯-克呂格投影的條件和性質(zhì)中央子午線在§3.3高斯投影坐標(biāo)正算和反算公式3.2.1高斯投影正算公式赤道因正形投影的導(dǎo)數(shù)與方向無(wú)關(guān)，將投影點(diǎn)坐標(biāo)在H點(diǎn)展開(kāi)，得：107§3.3高斯投影坐標(biāo)正算和反算公式3.2.1高斯投影3.3.1高斯投影正算公式因此，高斯投影級(jí)數(shù)展開(kāi)式可表示為：其各階導(dǎo)數(shù)為：1083.3.1高斯投影正算公式因此，高斯投影級(jí)數(shù)展開(kāi)3.3.1高斯投影正算公式將導(dǎo)數(shù)代入展開(kāi)式，虛實(shí)分開(kāi)后，得到高斯投影正算公式如下：1093.3.1高斯投影正算公式將導(dǎo)數(shù)代入展開(kāi)3.3.1高斯投影正算公式為便于編程計(jì)算，可將正算公式改寫(xiě)成如下形式：1103.3.1高斯投影正算公式為便于編程計(jì)算，可將正算公式改3.3.2高斯投影反算公式在中央子午線投影成的x軸上取點(diǎn)Xf=x，該點(diǎn)稱(chēng)為底點(diǎn)，用子午弧長(zhǎng)反算公式求得底點(diǎn)的緯度Bf和相應(yīng)的等量緯度qf，以底點(diǎn)為展開(kāi)點(diǎn)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)，得：1113.3.2高斯投影反算公式在中央子午線投3.3.2高斯投影反算公式相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為：1123.3.2高斯投影反算公式相應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)為：393.3.2高斯投影反算公式代入級(jí)數(shù)展開(kāi)式，虛實(shí)分開(kāi)得：41133.3.2高斯投影反算公式代入級(jí)數(shù)展開(kāi)式，虛實(shí)分開(kāi)得：43.3.2高斯投影反算公式將大地緯度展開(kāi)成等量緯度的級(jí)數(shù)式其中：51143.3.2高斯投影反算公式將大地緯度展開(kāi)成等量緯度的級(jí)數(shù)3.3.2高斯投影反算公式由式，得：4代入式，得：51153.3.2高斯投影反算公式由式，得：4代入3.3.2高斯投影反算公式將各系數(shù)代入上式，得緯度B

的反算公式：1163.3.2高斯投影反算公式將各系數(shù)代入上式，得緯度B3.3.2高斯投影反算公式為便于編程計(jì)算，可將反算公式改寫(xiě)成如下形式：1173.3.2高斯投影反算公式為便于編程計(jì)算，可將反算公式改3.3.2高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式，亦可進(jìn)行不同投影帶坐標(biāo)的換帶計(jì)算。其計(jì)算步驟如下：1.根據(jù)高斯投影坐標(biāo)x,y，反算得緯度B和經(jīng)度差l；2.由中央子午線的經(jīng)度L0,求得經(jīng)度L=L0+l；3.根據(jù)換帶后新的中央子午線經(jīng)度L0'，計(jì)算相應(yīng)的經(jīng)差：4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標(biāo)x'，y'。1183.3.2高斯投影反算公式利用高斯習(xí)題1.高斯投影的條件是什么？2.簡(jiǎn)述高斯投影投影正算公式的推導(dǎo)；3.已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=290405.3373L=1211033.2012

計(jì)算：1).該點(diǎn)的3帶和6帶帶號(hào)；2).該點(diǎn)的3帶高斯投影坐標(biāo)并反算檢核；119習(xí)題1.高斯投影的條件是什么？46§3.4平面子午線收斂角和長(zhǎng)度比3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式平行圈子午線沿平行圈緯度不變，求微分得：120§3.4平面子午線收斂角和長(zhǎng)度比3.4.1平面子午線收3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式對(duì)高斯投影公式求偏導(dǎo)數(shù)，得：1213.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式對(duì)高斯投影公式求偏導(dǎo)3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式，得：將展開(kāi)成tg的級(jí)數(shù)，得：1223.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式，得：將3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式由此可見(jiàn)，是經(jīng)差的奇函數(shù)，在x軸為對(duì)稱(chēng)軸，東側(cè)為正，西側(cè)為負(fù)。子午線收斂角在赤道為0，在兩極等于經(jīng)差l，其余點(diǎn)上均小于經(jīng)差l。1233.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式由3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式子午線收斂角也可以表示成高斯平面坐標(biāo)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式。平行圈L=常數(shù)L+dl=常數(shù)P點(diǎn)沿與y軸平行方問(wèn)微分變動(dòng)到P點(diǎn)，子午線收斂角可表示為：沿y坐標(biāo)的微分，得：1243.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式子午線收斂角也可以表3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入子午線收斂角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏導(dǎo)數(shù)，得：1253.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入子午線收斂角公式3.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式子午線收斂角計(jì)算公式，得：將展開(kāi)成tg的級(jí)數(shù)，得：1263.4.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式子午線收斂角3.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式由高斯投影長(zhǎng)度比的定義式，得：將前面的偏導(dǎo)數(shù)代入上式，得：開(kāi)方后得出以大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式：1273.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式由高斯投影長(zhǎng)度比的定義式，得：3.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式為給出由高斯投影坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式，反解高斯投影的y

坐標(biāo)正算公式，得：對(duì)上式求平方和四次方，得：1283.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式為給出由高3.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式代入用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式，得：顧及：代入上式，得：可見(jiàn)，長(zhǎng)度比是y坐標(biāo)的偶函數(shù)，且只與y坐標(biāo)有關(guān)。1293.4.2長(zhǎng)度比計(jì)算公式代入用大地坐標(biāo)表示的長(zhǎng)度比公式§3.5高斯投影距離與方向改化以及坐標(biāo)方位角3.5.1高斯投影的距離改化橢球面上的大地線投影到高斯平面上為曲線，與平面上兩點(diǎn)相連的直線相比，其微分線段間的差異極小，可表示為：其中：130§3.5高斯投影距離與方向改化以及坐標(biāo)方位角3.5.13.5.1高斯投影的距離改化此弧線與直線間的最大偏角即為方向投影改化，本為二次小項(xiàng),故此相對(duì)長(zhǎng)度差異僅為4次項(xiàng),相對(duì)于距離測(cè)量的最高精度亦可忽略,因此可認(rèn)為：

用辛卜生公式數(shù)值積分得：1313.5.1高斯投影的距離改化此弧線與直線間的最大偏角即為3.5.1高斯投影的距離改化將長(zhǎng)度比公式代入上式，得：1323.5.1高斯投影的距離改化將長(zhǎng)度比公式593.5.1高斯投影的距離改化距離改化S可表示為：其中：在城市及工程應(yīng)用中測(cè)邊離中央子午線不會(huì)超過(guò)45公里，則距離改化公式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：1333.5.1高斯投影的距離改化距離改化S可表示為：其中：3.5.2高斯投影方向改化1、高斯投影曲線的形狀高斯投影曲線的形狀向x軸彎曲，并向兩極收斂。1343.5.2高斯投影方向改化1、高斯投影曲線的形狀613