2022年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》(高級中學(xué))真題及答案

2022年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力》(高級中學(xué))真題及答案1（江南博哥）[單選題]極限的值是（）。A.0B.1C.eD.∞正確答案：C參考解析：2[單選題]已知向量a與b的夾角為π/3，且|a|=1，|b|=2，若m=λa+b與n=2a-b互相垂直，則λ的為（）。A.-2B.-1C.1D.2正確答案：D參考解析：因為m，n垂直，所以mn=0，即(λa+bn)(2a-b)=0，2λ|a|2+(2-λ)|a||b|cosπ/3-|b|2=0，得出λ=23[單選題]設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間增函數(shù)，下列結(jié)論一定正確的是（）。A.f（x）+g（x）是增函數(shù)B.f（x）-g（x）是減函數(shù)C.f（x）g（x）是增函數(shù)D.f（g（x））是減函數(shù)正確答案：A參考解析：根據(jù)函數(shù)的增減性，增+增=增，可知f(x)+g(x)是增函數(shù)。故本題選A。4[單選題]設(shè)A和B為n階方陣子一定正確的是（）。A.A+B=B+AB.AB=BAC.D.正確答案：A參考解析：由于已知A與B均為n階方陣，則可知A+B=B+A，故本題選A。5[單選題]甲、乙兩位同學(xué)分別前往不同公司的面試，甲同學(xué)被選中的概率是1/7，乙同學(xué)被選中的概率是1/5，則兩位同學(xué)中至少有一位被選中的概率是（）。A.1/7B.2/7C.11/35D.12/35正確答案：C參考解析：兩位同學(xué)中至少有1位被選中的反面是兩位同學(xué)都沒有被選中，顯然對立事件的概率更容易計算，兩位同學(xué)都沒有被選中的概率是：6[單選題]若向量a=（1，0，1），a2=（0，1，1），a3=（2，λ，2）線性相關(guān)，則λ的值為（）。A.-1B.0C.1D.2正確答案：B參考解析：向量組線性相關(guān)的充要條件是它們構(gòu)成的行列式值等于0，所以=0，解得λ=07[單選題]下列語句是命題的是（）。①2x<1②x-3是整數(shù)③存在一個x∈z，使2x-1=5④對任意一個無理數(shù)x，x+2也是無理數(shù)A.①②B.①③C.②③D.③④正確答案：D參考解析：由命題的概念：可以判斷真假的陳述句叫做命題。對于①，不是陳述句，故不是命題；對于②，由于不知道x的具體范圍，無法判斷其真假，故不是命題；對于③、④，即為可以判斷真假的陳述句，是命題。故本題選D。8[單選題]下列數(shù)學(xué)成就是中國著名成就的是（）。①勾股定理②對數(shù)③割圓術(shù)④更相減損術(shù)A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④正確答案：C參考解析：①、③、④都屬于中國古代的數(shù)學(xué)成就，而②中提到的對數(shù)是英國科學(xué)家約翰納皮爾發(fā)明的。故本題選C。9[簡答題]已知函數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值。參考解析：單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1][2，-∞]，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）利（1，2）；極大值為2，極小值為1。10[簡答題]求過直線且平行于于直線的平面方程。參考解析：2x-3y-z+7=0【解析】11[簡答題]已知某班級80%的女生和90%的男生選修滑冰，且該班中60%的學(xué)生是女生。（1）從該班隨機選取一名學(xué)生，求這名學(xué)生選修滑冰的概率；（3分）（2）在該班選修滑冰的學(xué)生中隨機選取一名學(xué)生，求這名學(xué)生是女生的概率。（4分）參考解析：（1）0.84；（2）4/7。【解析】12[簡答題]簡述研究橢圓幾何性質(zhì)的兩種方法。參考解析：研究橢圓幾何性質(zhì)的兩種方法：①用曲線方程研究幾何性質(zhì)，例如通過橢圓方程研究x、y的取值范圍，通徑，焦半徑取值范圍等，能夠解釋橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程a，b，c的幾何意義，這種方法是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法的典范。②用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)，在研究過程中，經(jīng)歷從圖形直觀抽象幾何性質(zhì)的過程，提取出利用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)的一般方法，建立離心率模型。13[簡答題]簡述在教材平面教學(xué)設(shè)計內(nèi)容中設(shè)置下列習(xí)題的設(shè)計意圖（答出兩條即可）。已知0<x<1，0<y<1，求證不等式并說明其設(shè)計意義。參考解析：設(shè)計意圖：(1)不等式左側(cè)分別是(x，y)到(0，0),(0，1)，(1，0)，(1，1)的距離，可以提升學(xué)生對兩點間距離公式的理解和應(yīng)用;(2)(x，y)到這四個點的距離之和，可以結(jié)合這四個點在平面上的位置進行分析，xy的范圍對應(yīng)第一象限邊長為1的正方形范圍，在這道題的解決過程中,增強了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。14[簡答題]已知拋物線。（1）求拋物線在點（2，1）處的切線方程（5分）（2）如圖，拋物線在點P（xo，yo）（xo≠0）處的切線PT與y軸交于點M，光源在拋物線焦點F(0，1）處，入射光線FP經(jīng)拋物線反射后的光線為PQ，即∠FPM=∠QPT，求證：直線PQ與y軸平行。（5分）參考解析：（1）y=x-1；（2）思路：通過構(gòu)造菱形，得出與y軸相互平行。15[簡答題]論述數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)各階段（導(dǎo)入、形成、應(yīng)用）的作用。參考解析：在導(dǎo)入部分，可以通過介紹歷史上的數(shù)學(xué)家，例如歐幾里得在《幾何原本》中將圓的切線定義為“與圓相遇但延長后不與圓相交的直線”。形成部分：并讓學(xué)生回憶圓的切線定義，引導(dǎo)學(xué)生對切線定義進行改進，并借助《幾何原本》中的有關(guān)命題，引導(dǎo)學(xué)生得出新的切線定義。應(yīng)用部分：從形到數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生得出導(dǎo)數(shù)的定義。16[簡答題]下面是甲、乙兩位教師的教學(xué)片段。[教師甲]教師甲：在平面直角坐標(biāo)系中，點（x，y）關(guān)于y軸的對稱點是什么?學(xué)生1：（-x，y）。教師甲：為了研究函數(shù)的對稱性，請大家填寫下表，觀察給定函數(shù)的自變量x互為相相反數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值之間具有什么關(guān)系?學(xué)生2：通過計算發(fā)現(xiàn)，自變量互為相反數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，可以用解析表示，教師甲：通常我們把具有以上特征的函數(shù)稱為偶函數(shù)，請大家試著給出偶函數(shù)的定義。[教師乙]教師乙：我們已經(jīng)研究了函數(shù)的單調(diào)性，并且用符號語言精確地描述了函數(shù)的單調(diào)性，今天我們研究函數(shù)的其他性質(zhì)，請大家畫出函數(shù)f（x）=x2和g（x）=|x|的圖象，并觀察它們的共同特征。（通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這函數(shù)的圖象都關(guān)于y軸對稱）教師乙：類比函數(shù)的單調(diào)性，你能用符號語言精確地描述“數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這概念嗎?（通過觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)f（-x）=f（x）.）教師乙：通常我們把函數(shù)上述特征的函數(shù)稱為偶函數(shù)，請大家試著給出偶函數(shù)的定義。問題：（1）寫出偶函數(shù)的定義，并簡要說明函數(shù)奇偶性的作用；（1分）（2）對甲、乙兩位教師的教學(xué)進行評價。（10分）參考解析：（1）偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果Vx∈D，都有-x∈D，且f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)。研究奇偶性作用：函數(shù)的奇偶性跟其圖象的對稱性緊密相關(guān)，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱；有奇偶性的函數(shù)只需知道y軸一側(cè)的性質(zhì)就可推出y軸另一側(cè)的性質(zhì)，在對函數(shù)性質(zhì)的分析上可以簡化運算和分析。（2）甲教師在對偶函數(shù)的新授過程中，著重引導(dǎo)學(xué)生通過計算結(jié)果分析得到偶函數(shù)的定義，缺乏學(xué)生主動探索的過程，直接給出本節(jié)課的研究主題是對稱性，太過于直截了當(dāng)；而乙教師在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生進行了圖象觀察和結(jié)論的探索，更加符合新課改學(xué)生是學(xué)習(xí)主體的理念，并且結(jié)合了之前學(xué)過的單調(diào)性進行導(dǎo)入，在下定義的時候引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合之前學(xué)過的知識進行嘗試，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識的同時對舊知識得到很好的鞏固。17