(精選)高等代數與解析幾何第七章(1-3習題) 線性變換與相似矩陣答案

第七章線性變換與相似矩陣習題7.1習題7.1.1判別下列變換是否線性變換？（1）設0是線性空間/中的一個固定向量，（I）b（型=戸+4,燈①迂廠，解：當"。時，口〔出二戸+◎二①顯然是廠的線性變換；當￡hO時，有口〔斫+二0+坷十礙，口〔馬）+衛(wèi)叩二20+仗］+馬，則口（％+町疋皿對+E：隔），即此時b不是匕的線性變換。（II）匸（氐）二0，可①丘廠；解：當0=0時，"型=0=0顯然是廠的線性變換；當0hO時，有￡（珂+%）=0，匸〔畸+匸血）二20，則Tg+虬）HT（%）+T（町，即此時書不是廠的線性變換。（2）在芒中，（I）丸忌也內）=（兀1內亠並內），解：b不是臣的線性變換。因對于g=（1Q0疋疋，有*⑵二（屯恥），迥⑵二（2Q0），所以久加）工歸㈤。（［［）優(yōu)珂心宀）『=（紹一珂）丁；解：是疋的線性變換。設廿企能芒，其中口=（心入衛(wèi)/',，=佃必必）『,貝y有匸（耳）+匸（戸）=31—心心+花2珂廣+（幼—戸化+比力1；/=（N珂+乃）一（心+戸），（也斗丹）4（也+忙）2（可+戸））『二譏珂十”心十必，蚣十乃）二譏①十A），￡（去住）=,上毛）=一,氐噸+上亟2上珂）『=k（2込-j2?x2-I-x3?2^L）r=比丁（②。（3）在月［劉中，（I）□孑〔?）二了仗+1）,解:是F［劉的線性變換：設Wgg哂，貝I」□1丁（工）+呂（工）〕二子（卄1）+呂（工+?二疋（功+龍S）,口財（?〕二好（工+1）二畑/（?）,y仁F。（［［）〔對）二了（心），其中呵是F中的固定數；解：口是鬥兀］的線性變換：設即?已恥］，貝I」口GV）十沙））二了（咖十期）二％了（工））十應或對），口（呼⑴二VK）二ka（J（M，論訂。（4）把復數域0看作復數域上的線性空間，久方二z，其中臣是￡的共軛復數；解：b不是線性變換。因為取直=匸，—1時，有％呦=加?，加?）=臣涼=』，即H更口?）。（5）在陸（巧中，設尸與0是其中的兩個固定的矩陣，口㈤二E電，解：口是陸（眄的線性變換。對州兀丘陸國），赧訂，有站+兀）二代禺+兀疋二刊&+啓衣二噸+吟，cKfiX）=PCJ^）Q=饑PX0=遇虬。習題7.1.2在臣中，取直角坐標系◎-今0以宛表示空間繞6軸由③軸向化方向旋轉900的變換，以月表示空間繞0軸由化軸向處方向旋轉900的變換，以盡表示空間繞％軸由處軸向內方向旋轉900的變換。證明RH"（表示恒等變換），啕二翠；并說明遲歸=疋用是否成立。證明：在礦中任取一個向量。二（?！比?，則根據覽，耳及&的定義可知：兔◎二（兀w），R尸二匕*7），Rsa=（-y,Xr2）；R^=（x-y-2'），氏診二（一兀，氏:—（-.-”￡）；疋吐（兀”毋，瑁吐（兀”工），氏；密二（兀乳工），即氏嚴二&民二氏二a，故念二鳥二盡二凸。因為（乞綽盤=瓦鳥唐戶R左小—對=〔號旳，鶴即皆&毘閒二Ry（x-z,y）=S-F），所以尺盡H去禺。因為（疋璋旭二冷用②二應;（-兀二刃，（此陣疋二代農②二二〔-兀-》②，所以代鳶二用尿。因為（盡締）％二&盡X〔丘盡）?二（広號（乙工J）二4比町，（疋幼心=用代②=疋〔-凡兒-刃=（-『-y,刃，所以（&R診毛昭首。習題7.1.3在刃［工〕中，燈（切二八工），心（力〉二燈（工），證明阿-何二E。證明：在鬥工］中任取一多項式?。ㄓ?，有5-◎㈣=（ot）/（x）-（w）/S=（啲（勸-frtqfW）二貳燈⑺-二阿+龍①-#（?二畑。所以阿-何=E。習題7.1.4設^，￡是*上的線性變換。若仇-be，證明扌兀一習出二（比n1）證明：用數學歸納法證明。當血=2時，有亍￡一&二戌眄-心二CT（TCT+F）-TCS2-（E7-訶口+口二D二b+iT二2a命題成立。假設等式對丘成立，即氏-心=*'。下面證明等式對疋+1也成立。因有=￡7（十巧-伉*+1=口（歸丁I+Tb》-心+1=kh+（口T-TCrjh=心+2=沖0，即等式對上+1也成立，從而對任意自然數都成立。習題7.1.5證明（1）若b是/上的可逆線性變換，則b的逆變換唯一；（2）若b，石是/上的可逆線性變換，則兀也是可逆線性變換,且（呦丿二廣燈"。證明：（1）設近厲都是b的逆變換，則有叭二昭二J吒卡”耳。進而珂二可&二爲（匹）二（來^用二孑込二可。即b的逆變換唯一。（2）因石都是/上的可逆線性變換，則有（曲（戶于1）二erfTr1）^--1二二￡■，同理有（尸?。郏〞A二T_L（Cr_1￡T）T二t~、￡二E由定義知兀是可逆線性變換，Lb"為兀逆變換，有唯一性得（吋1二LG"。習題7.1.6設b是茁上的線性變換，向量心，且盤，b（Q，只②,…，嚴閃都不是零向量，但出㈣二0。證明盤，EQ，只②，■-嚴②線性無關。證明：設址+匚嘰②+…+如尸㈡二。，依次用出巴R巳…o可得十1（膽+匚6閃+…+珀才1（閒2產1（02。，得I】十T⑵二o,而產Y②工o,故占二。；同理有：十弋匚嘰②+…+4產@））二產述）二o,得/2^-\^=0,即得^=0；依次類推可得―…二S，即得^_1（^=0，進而得心二。。有定義知盤，EQ,Kg,?「占-弋②線性無關。習題7.1.7設b是*上的線性變換，證明b是可逆線性變換的充要條件為口既是單射線性變換又是滿射線性變換，即b是一一變換。證明：（二〉已知b是可逆線性變換，即存在于】。若氓對二6丐），則兩端用丁】作用即得說二碼，因此L是單射線性變換。若任取毗卩，則存在丁乜t，使得貿m，即b是滿射線性變換。（=〉已知既是單射線性變換又是滿射線性變換，即雙射?，F定義新的變換：科已^，定有⑴丘礦，且有疔（的二0，規(guī)定吒◎二比，有氐腳二昭二p，同時有心勸二式為二厘，即有皿二何二e。由定義知B是可逆線性變換。習題7.1.8設L是廠上的線性變換，證明（1）l是單射線性變換的充要條件為血2二何；（2）B是單射線性變換的充要條件為L把線性無關的向量組變?yōu)榫€性無關的向量組。證明：（1）（二〉已知b是單射線性變換，對V^ekera，則有EM=O=E?！?，由單射得or=0，即展2=｛0｝。已知二｛0｝，若S珀二氏、竝，則有口（％-說）二°，得還-豈巨也p二｛0｝，即得遹二說，故是單射。（2）（二〉已知口是單射線性變換。設陰①…心線性無關，現證…,CT（屯）也線性無關。令俎口（％）十焉衛(wèi)屯”…十5筈）二°,整理有衛(wèi)驗爲十妨％十…十兀匹）二0,而b是單射，有俎場十魁禺十…十忍％二0,已知兩'％….％線性無關，所以禺二忍二…乂二0，故WE%），…,EA）也線性無關。（=〉已知"把線性無關的向量組變?yōu)榫€性無關的向量組。若g）二心灼，則有^-^）=0,并一定有％-喝二0。否則若場-隔H0，則說明向量丐-也線性無關，而b協(xié)-豈）二0表示口把線性無關的向量組變?yōu)榫€性相關的向量組，與條件矛盾。而由％-出二0可得遹二豈，即b是單射線性變換。習題7.1.9設也?是￡0們中全體可逆線性變換所成的子集，證明點巧關于線性變換的乘法構成一個群。（超范圍略）習題7.1.10設巧，6是廠上的線性變換，且于二葉曲二6證明（1）若⑷+二巧+6，則巧玉二°；（2）若巧込二巧巧，貝y〔還+還一還聽『二込+6—込聽。證明：（1）因為卅二葉曲二巧，締+6『二聽+6。所以卬+5二（巧十丐『二&!+巧壬+壬巧十房二q+巧円+?河+巧，從而巧6+6斫二0或巧6二-6巧。又因為龍還円=巧口2+巧5二—円巧=于212曲=于5+硏5巧二巧（還5+五巧）二”0二0。故嘰二0。（2）因為b二葉E二円，巧込二5巧，所以〔還+還—伍口2）'=（巧+￡-巧壬）（斫+込-巧巧）—于+巧5—巧巧巧+5巧+曲一6巧巧-56巧-巧66+56巧￡二斫+壬巧+巧—巧壬—口2巧—口1口2+巧口2二巧+込—巧巧。習題7.1.11設茁與冊分別是數域F上的母維與陀維線性空間，爲,禺,…心是廠的一個有序基，對于陽中任意幵個向量久禺…蟲，證明存在唯一的線性映射嚇T瞬，使碗⑧#，」二12…化證明：先證明存在性。對任意的REF，盤有唯一的線性表達式◎=眄說+盹說兀％我們定義曲田二工1A十兀屁…十％0*顯然有e（堆）=0，1二12…嚴?，F驗證卩為*到陪的一個線性映射。（1）對任意的向量"戸場十兀％…十冷耳E產，因為o■十0二（可十冋）場十兀十丹）禺…十（耳十幾）豈，由定義得碗o■十罰二（珂十乃）A十（心十乃怡…十（耳十兀）軸=（X煜十心爲…十耳A）十Ch煜十兀易…十片A）二咖+貳Q。（2）對任意的疋訂，因為也二（X）%十（S）%…十QJ%，由定義得血也）二矩站十（隴）厲…十仕皿二肌朋十冷禺…十％滋）二切S）。所以卩為廠到網的一個線性映射。再證唯一性：若另有*到陪的一個線性映射附，也使得則對任意向量氐二工a十心屯…十耳％，—定有0（閃=比肛斶）十磯呎笑）…+耳?。ィ?兀煜十兀禺％戌=眞②。由盤在廠中的任意性，可得卩=0。習題7.1.12設*與呼分別是數域F上的母維與陀維線性空間，瞬是線性映射。證明血呻是*的子空間，厲是陪的子空間。又若伽卩有限，證明dimkM甲+dim沖）二dimF。這時稱dimker^為卩的零度，稱心口沖）為卩的秩。證明：（1）先證展叩與佩◎分別為卩與呼的子空間，對氓/eF，W礙0巨険廣毋，有貳七二必諷②十』庶歷二機+血二0，所以也+塑巨血嚇，故血呻為廠的子空間；同理，對和已F，v礙*沖），貝則九;#羽，使期）二任，能XE，所以七口■+坯二女P（出）+/卩（尸）二於出+!0）亡卩（P）所以侃◎為險的子空間.（2）再證dimker^+dim^xj7）=diml^因血廠有限，不妨設血卩=起，dimk廿卩二r，在也甲中取一個基遹心…心，再把它擴充為廠的一個基還心，…伴珀…心，則J帆礙J…g）是像空間詆◎的一個基.事實上，對加已巧，存在曲刃，使得―沁門。設出二珂馬十心屯十…十心丐十為角+］十…+xA，則有◎二卩⑥）二航可遍十心禺十…十心礙十昭1礙十1十…十心丐）=兀就斶）十顯理）十…十曲?十為］疑務十］）十…十曲心二心1噴鷄G+…+忌噴礙）即貳巾中的任意向量都可由酬礙丿…皿陽線性表示?，F證向量組貳礙丿…曲弘）線性無關：設J夙省+1）十…十心殞曲二0,有就J角+1十…十總丐）二0，即匕+1礙+1十…十此毎丘庇!■?，所以向量&+G+1十…十婦聲可由向量組兀％…心線性表示，進而有&十1礙十1"I'十&您=妬羽+鳥遹+…+此礙，整理有俎還+焉說+…+匕舛■-初十1礙十1&%=0，又因比備…心心川…心線性無關，所以必有^=0e=^l-^），因此鳳g…g）線性無關，即曲丐J…皿務）為貳◎的一個基，故dimk盯卩+dim-pj7）二問二diml^。習題7.1.13證明以只叫關于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數量乘法構成F上的一個線性空間。證明：現證明定義7.1.12中所定義的線性映射的加法嚴歸與數量乘法力卩都是從廠到網的線性映射。事實上，對血/羽，訛訂，有（卩+0）⑥+Q二且住+0）十虹氐+Q二奴氐）+奴向+汎氐）+虹罰（卩+0）（畑）-疏上⑵+呎點⑵-走爐⑵+鞏?。┒撸ㄚ?0）@）故嚴歸為卩到宵的線性映射。同理，對血川刃，機迂月，有仗妙Q二如＜住+?二忒翻+隊芮）二念軻￡+詼卩）3））,（七②（加）二片卩（加）二hlg^o）二Ikq^a）二/破卩）（氐）,故直労為廠到陽的線性映射。另外線性映射的加法嚴少與數量乘法紳顯然滿足：（1）結合律：矽+3+Q=（＞+0）+q；（2）交換律：卩+0=0+?；（3）存在零線性映射￡,對弋仟譚阿），有卩+6■二化（4）對如"億巧，有負線性映射-產譚阿），使得嚴+（-卩）二&；（5）如二卩；（6）（尿妙二雙S）；（7）（上+0卩二切+坤；（8）帆爐+妙=加+占0。其中族丿丘戸，V^0,qe丄億眄所以上（幾巧關于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數量乘法構成F上的一個線性空間。習題7.1.14證明：岀m丄億巧二（clinny）（出mJT）。證明：設廠為璋維線性空間，草為陀維線性空間，即航卩二旳，血爐=喘。取定卩的一組基耳吟…耳和取的一組基環(huán)傢…總。令護為＜承7叭）到M祝曲（月）的如下映射:貳①二人，其中衛(wèi)為b在基比巴廠與基久伐'…‘厲下的矩陣。這樣定義的卩是%億眄到M如（月）的同構映射。事實上，（1）若貳巧）-A，酬込）二&,且△二均，則有卬（吆禺'…'駕）二（爲'缶…‘必）且1，円〔理屯（煜'念…‘必）赳。由于4=A，對每一個礙都有兀⑥二6（礙）。二12…同，故有巧二円,即滬是單射。⑵g心S令則存在唯一的線性映射b使得…同，并且CT協(xié)丐…,％）=厲』釘：爲）二（傢禺…以圧由此可見，7是滿射。（3）對廿巧七岸億眄，％侯廳，有沁珀二蟲1，帆還）二&，其中毎地已陸?國）即有巧（理屯，…心）二（侏傢….煽）衛(wèi)1，円〔理屯，…心）二（毘，爲，…，AJ&，所以（燉i+kjjc%說,…，礙）=伙坷）（礙，說，…，礙）+卩遠）〔咳斶，…，礙〕二竝玳％勺,…，毎）十心?（％,%,…,毎）二上（久傢…，垃）均十』（件，總）九二俑偲，…傀）（心1十地）,故有佩則+任）二倒+他,所以滬是￡0眄到M窗（月）的同構映射。進而有dim20昭）二dim嘰誼（月）二胃朋二（dim^（dim/F）。習題7.2習題7.2.1求下列線性變換在所指定的一個基下的矩陣（1）甌何的線性變換巧（蠱）二如，琢罔二山"，其中（ab\A=\cd）為固定矩陣。求巧，6在乳氐也1也彳這個基下的矩陣；

(2)設n</(x)>y(r+l)-/(x)是線性空間鳳叫的線性變換，求b在基乩=1厲嚴兀戸二肘(—I)…(一訂卯=2,…嚴下的矩陣;(3)6個函數：X二嚴g必「矗二嚴血氐，必二亦％閃加，n12fly1』12ox■1“血氐，龍=尹?，^=2XS狽加的所有實系數線性組合構成實數域上一個6維線性空間。求微分變換在基區(qū)幾下的矩陣。解：(1)由巧，壬的定義直接可得:pracad'€叭<oo>卬(碼1)二=abEn+b^EuadE2Y-\-bdE227護50>7%bQbyedd2}0bd)=尿Em+bdEu+ud禺］+滬禺$巧〔耳2)—所以巧在^11^12^21^22這個基下的矩陣為5P2dj40」■.0G0夕5『lCd」J0」&0」所以6在總11廚“場"爲2這個基下的矩陣為廣02「0護1己441」lO/(2)由疋(◎二了(工+1)-/(0直接可得:^0)=^1)=1-1=0,衛(wèi)鞏)二口(對二花十1—工二1二為,衛(wèi)吧)二忒兀T))=#x+l)x—￡恥—1)f*1所以口在基劭十產"十AD也)二礙訟-1)…［兀-1+1卄如所以口在基劭十產"十AD下的矩陣為:TOC\o"1-5"\h\zP1Q…L001-■0000-■100--■0;3)由微分運算性質直接可得：D(X)=(^co￡M=^-%!D說十沁二坊+筋,

□（広）-（疋產皿3珂二齊十城-頃

g=w沁肚y二龍十堀十硏所以微分變換在基（如紅下的矩陣為:所以微分變換在基（如紅下的矩陣為:-石口0-石口0100ai00-ba0000000000^001001&b-h叭習題7.2.2習題7.2.2設W化是廠的一個基,已知耳禺?…心線性無關。證明：（1）存在唯一的線性變換「使咲礙）#,—2…宀（2）（1）中的石在基%%…心下的矩陣為才化（3）（1）中的百在基W島下的矩陣為削-】。證明：（1）因為還灼…心線性無關，所以g?…心也是廠的一個基。故對/的一個基及母個向量乩色…念，定存在唯一的線性變換石，使譏礙）*，】二12…衛(wèi)。（2）由已知條件有（理屯，…，禺）二（％旳,…氣加，（久爲，…,咸）二@］筆，…氣）月，

其中弘％…咼與％屯，…心都是廠的基，所以￡可逆，且有佃忌，…咼）二（珥耳，…鳥）屮，進而有（久傢…蟲）=（理購，…耳期勺。再由（1）得譏理％，…,％）二（久傢….咸）=（%禺八工門由呃，所以￡在基弘％?…?礙下的矩陣為/七。3）類似有論1,旳,…，片）二譏斶，務…，毎）占二（州，爲，…，咸）川二（削,備…竝）血1，所以百在基弘％…島下的矩陣為劇-1。習題7.2.3在疋中，定義線性變換b為<-5>衛(wèi)羽）二0<-5>衛(wèi)羽）二0bJeE：心）二TId廣-寧皿）二-1其中其中（1）求b在基旬疋沁下的矩陣;（2）求b在基嘰恥距下的矩陣。解：（1）由定義知r-50-寧0-1-1衛(wèi)場桃①）二QI0TOC\o"1-5"\h\z阿赴趕）01孫"J二I21所以有廣-10$、-1J0-寧01-1=使1，日2,釵J0-1-16>1，%，%）=6（%,%,和）<210；<369,TOC\o"1-5"\h\zJio3y101-1I210,故L在基町禺忌下的矩陣為:(-520-旳-4-5-2〔27181（2）類似有(-50_巧Ji03、-1廣-50-寧0-1-101-10-1-1=(%，%，%)<210><569,刀』二廣23S'-10-1故口在基恥也厲下的矩陣為：I"10>習題7.2.4在硏中，線性變換b在基的矩陣是。求b在基勺宀，@3下的矩陣。5”巧觀）1]i1」解:已（勺,環(huán)勺）1（珀觀用）二；'則有廣-11I■1廣1orJi13101=〔班刀‘％）110101<1_1b廠12b<1_1b2即L在基町禺忌下的矩陣為:習題7.2.5設數域F上3維線性空間P的線性變換b在基%"下的矩陣為宓1%^21旳2^23也1如“33丿（1）求b在基函下的矩陣；（2）求b在基率下的矩陣；（3）求口在基還十％%?下的矩陣。解：（1）由已知可得CH（隅）二十爲3%十也3隅二爲3屯十爲3禺十門□場%禺）=牝兩十十％隅=靭隅十“胡電十^12逝口（兩）=區(qū)口口■］_十勺十巧1碣=也1礙十勺1%十口口場所以口在基理恥下的矩陣為：'%所以口在基理恥下的矩陣為：'%2）由已知可得cn（%j二阿］場十還十色］礙二昭］%+址」◎応說+礙］隔，口（歸兀）=劃曲十力知豈-I-竝妝碣=比（如珂十盤能上％十此礙?碣口（碣）=口13嗚十％3屯十礙3隔=^15^1+上□茁上礙+礙了鴦。所以B在基說北務駒下的矩陣為:—如皎丿。（3）由已知可得%%十屯）二譏％）十口（禺）=C^IL十如）％十（宓1十^22）^-2十（色1十如）磅二（°L1十％）〔還十屯）十厲1十％2—住11—盤衛(wèi)）屯十（礙1十。衛(wèi)）碣,口（屯）=口］［斫十％》礙十爲【碣=如（還十世）十（％?—1312）屯十^32^3%函）=門13場十％3%十冬豈=的3（%十礙）十（叫3_門□）%十込灼所以口在基還十屯耳心下的矩陣為：習題7.2.6在母維線性空間*中，設有線性變換b與向量盤使H-】（g）hO,但中②二0。證明：在廠中存在一個基，使口在該基下的矩陣為證明：由習題7.1.6知：用維線性空間廠的向量組盤，b9）,Eg,■■■-嚴②線性無關，且有丹個向量，即構成/的一組基，而線性變換b作用此基有：口⑥）二EM，故口在基or.故口在基or.只②，下的矩陣為:TOC\o"1-5"\h\z巾0-■00^10-■00oi-■oopo-■io丿習題7.2.7設附的是數域F上用維線性空間茁的全體線性變換組成的數域F上的線性空間，試求出尬丄了①，并找出妙小中的一個基。求證：任取/的一組基?…心，令護為附卩）到陸（巧的映射：貳刀二月，其中禺,…心）二（理禺占。由引理7.2.6及定理7.2.7知護為同構映射，即附，燈蘭陸（町。所以它們的維數相同，而dimM^F"）=，故億廠二母°。現取叫E￡0①，口二12，使得％?心「「噱1二側灼…心爲，即吠?叫，S箝。已知爲，⑺二1Z??異是陸（眄的一組基，故叫，j=l,2,…，門為丄的一組基。習題7.2.8證明：與母維線性空間嚴的全體線性變換都可交換的線性變換是數乘變換。證明：在某組確定的基下，數域F上的母維線性空間P的線性變換與數域打上的愆階方陣間建立了一個雙射，因為與一切愆階方陣可交換的方陣為數量矩陣疋占，所以與一切線性變換可交換的線性變換必是數乘變換加。習題7.2.9設b是理維線性空間*的一個線性變換，如果b在廠的任意一個基下的矩陣都相同，則b是數乘變換。證明：設口在基?…心下的矩陣為」二嗎）咖，只要證明占為數量矩陣即可。設0為任意可逆矩陣，令（你血■…慮）=（%答…G）P，則環(huán)念…蟲也是卩的一組基，且l在這組基下的矩陣為護肋，依題意有汕二K4。特別地,時，計算可得當取再取]QQ]001■■0000■■■11100■■■0」，由/￡二P/可得。1］二如二數量矩陣，所以B是數乘變換。習題7.2.10證明：I心丿與I必」相似，其中—…凡是1Z…川的一個排列。證明：用依次表示這兩個矩陣，取一個母維線性空間卩及其一組基g?…心，對于矩陣衛(wèi)，存在/的線性變換曠，使得

00由此可得因為￡與序是B在不同基下的矩陣，所以貝與序相似。習題7.2.11如果艮可逆，證明宓與&4相似。證明：因為屮(曲)衛(wèi)二(屮&削二削，所以肋與血相似。習題7.2.12如果占與巧相似，0與門相似，試判斷下列敘述是否正確？如果不正確，請舉反例，否則給出證明。(1)SO](1)SO](B0^<°7與〔°°丿相似;(2)(3)答:正確。證明：由于丄與&相似，C與Q相似，因此存在可答:D二和陰，從而有即丿,其中I°￡丿0相似。與逆陣丘，塌，使得B=^APi，所以1°廣12￡■=D二和陰，從而有即丿,其中I°￡丿0相似。與逆陣丘，塌，使得B=^APi，所以1°廣12￡■=(2)不正確。反例:P=則有AP=與巧相似;AC={1oY-i02;PB=P1、2°丿1°，即曲=已5,故衛(wèi)再取7(-10>00」BD=丿，則U與門顯然相似。但OoV-io<01L「-2『I『01L「-2『I『0h<00><05廣-加a計算得［-旣0；即得也=b=c=0,故0>町不可逆。所以血與磁不相似。（3）不正確。反例：取同（2），有02丿,B^D=02丿,B^D=1°1兩矩陣秩不同。顯然，加U與序+Q不相似。習題7.3習題7.3.1設廠是數域F上線性空間，b是卩的線性變換。如果珀是b的特征值，貝I」對任意多項式/⑷巨川劃，了（給）是了（刀的特征值，且b的屬于入的特征向量也是了9〕的屬于了鳳）的特征向量。證明：設工芒0為b的屬于給的特征向量，即旳=恥，則對任意自然數稱，有3^）9）二氐〔蹲②。事實上，當帑=1時，顯然成立。假設稱-1時，有b伽仝揖S成立?，F證瞅時也成立，即（上口了②二嚨^［%閃］=鋼「?易嘆二。故由數學歸納法得Tg=疋鳳②式對任意自然數陀均成立。設/（對二珂卩+阿/」+…+叫「低+令，貝y有了（①⑺二仗府+鬥<7^+…+務_產+空）〔②=兔(￥?))+礙產滄))+…+孤1(衛(wèi)②)+%￡◎))=(州州+13=(州州+13屈I-^n-lAj+礙aX②倫)U,即了9）g）二了鳳溝。習題7.3.2對復數域上線性空間*上的下述線性變換口，求出它的特征值與特征向量，判斷b是否可以對角化，在b可對角化時，求出過度矩陣F，并計算曠咕卩。已知口在廠的一個基下的矩陣為-1310、-1-4-10（1）W丄丿；（2）曰。丿；（3）1°Y2J；（4）-1一11解：（1）設b在基弘習下的矩陣為衛(wèi)，矩陣衛(wèi)的特征多項式為A-3-4A-3-4-5A-2護一庁丸一14二（入—7）（a+2）所以口的特征值為7，-2。先求b的屬于特征值7的特征向量。解齊次線性方程組（7￡-4^=0,求得基礎解系為⑴）『，所以b的屬于特征值？的全部特征向量為冷+朋旳；再求b的屬于特征值-2的特征向量。解齊次線性方程組（-2E-A）Z=0,求得基礎解系為（4-V，所以b的屬于特征值—2■的全部特征向量為上（4近-辺伉"）。口可以對角化。取b的兩個線性無關的特征向量肌二爲+花，fl41Z西嘰』其中仃4Jfl41Z西嘰』其中仃4J-5為由基耳習到嚴1甘尸-基巧也的過渡矩陣。且有34I52714、丿I_5>0?<0~2)O（2）設b在基馬￡下的矩陣為艮，且當^=0時，有』=0,于是|AE-A\=|AE-A\=矩陣￡的特征多項式為_護一，所以口的特征值為。°￥訥求b的屬于特征值0的特征向量。解齊次線性方程組衛(wèi)丿，求得基礎解系為3幾?1幾因為b的屬于特征值o的兩個線性無關的特征向量為勺叵，所以b以/中任意非零向量為其特征向量?！悖ぴG當"0時，矩陣￡的特征多項式為/I—H”、&|AS~A\==穿+X=（衛(wèi)+創(chuàng)）（幾一加）0兄，所以b的特征值為此一俄。先求b的屬于特征值次的特征向量。解齊次線性方程組（ciiE-A）X=0，求得基礎解系為㈠」）『，所以b的屬于特征值的全部特征向量為罔十6）技工0）；再求b的屬于特征值-⑵的特征向量。解齊次線性方程組"S，求得基礎解系為。時，所以b的屬于特征值-加的全部特征向量為嘰。口可以對角化。取b的兩個線性無關的特征向量叭二S,即也(-ii\P—dS,即也(-ii\P—d1」，其中一Js為由基勺叵到基P-'AP=巧厲的過渡矩陣。且有-riJu1ai00-ai^-3|AS-A\=4-4（3）^-3|AS-A\=4-4兄+10=(A-2)(^-l)33>1-2所以口的特征值為"2。先求b的屬于特征值1的特征向量。解齊次線性方程組（H-囲疋二0,求得基礎解系為（1-2-20/，所以b的屬于特征值1的全部特征向量為上啟-迢-2陀）伉匯0）；再求b的屬于特征值2的特征向量。解齊次線性方程組〔2EFI0，求得基礎解系為（嘰1）『，所以L的屬于特征值2的全部特征向量為隔（3。）。由于找不到B的三個線性無關的特征向量，故B不可對角化。（4）設b（4）設b在基了％各環(huán)下的矩陣為靈，矩陣靈的特征多項式為所以口的特征值為先求b的屬于特征值2的特征向量。解齊次線性方程組Nmo,求得基礎解系為①爐，所以b的屬于特征值2的全部特征向量為

（対十扁十禺）十牯鳥十妬包十怠陽（其中尙，焉念不全為零）；再求b的屬于特征值-2的特征向量。解齊次線性方程組（-匹-如X=Q,求得基礎解系為（―廳，所以er的屬于特征值—2的全部特征向量為上侶-叼-巧-壞）詼芒0）?？诳梢詫腔Ｈ的四個線性無關的特征向量班二勺+勺，&二勺十勺，色二師十％，丹二石一6一巨一耳，即卩「1111100-1（和列剛執(zhí)）=（勺局皋竝）010-1701—1其中為由基5忌尼，忌到基巧也用剛的過渡矩陣。且有其中為由基5忌尼，忌到基巧也用剛的過渡矩陣。且有P~lAP二11P-1qiir100-1ii-i-i010-1i-ii-i.001—1」j-i-ii」「111P100-1010-1201_1」習題7.3.3證明：久是矩陣￡的特征值的充要條件是矩陣屈-衛(wèi)為奇異陣。證明：設非零向量忑為矩陣貝的屬于特征值兄的特征向量，則有込益,整理得（鉅-回疋二0，因蠱芒0，所以齊次線性方程組（^-A）X=O有非零解，故系數行列式1^-^1=00反之亦然。515154戈'0-34<0已>A=習題7.3.4設解：矩陣貝的特征多項式為，求才。X-1-4-20A+3-4=(^-l)(^a-25)0-4入_3所以￡的特征值為兔二也二5凡二-5(胡_A)X=對兔二1,解齊次線性方程組基礎解系遹二①①廳；5-4-P?04-404-4—Zi兀」，得(^-A)X=對爲二二解齊次線性方程組得基礎解系也=化丄可；<4-4-砧0S_404-42」O對為=一5,解齊次線性方程組-4-?0-2-40i0-4-8.ia」o得基礎解系碣mM。廣121、01-2K腫=5421」，進=FriJ^P=而有T21T、T21、01-2501-2.021」i—51.021,<121'<10-5>『14x5*3x54-?01-25510120-3x544x5421/-九52-24x5*3x54這個基下的矩陣為求b在一個基久広儀點下的矩陣，其中(1)求b的特征值與特征向量;(2)習題這個基下的矩陣為求b在一個基久広儀點下的矩陣，其中(1)求b的特征值與特征向量;(2)求一可逆陣F，使戸乜尸為對角陣。o'1(A?A)—(%喝，礙，斶)(1)由條件有解:

(1)由條件有解:B0B00100bTOC\o"1-5"\h\zSo6-5、00-5400--221^005-2)（2）因為線性變換b的特征多項式為2兄+22-32兄+22-300所以線性變換b的特征值為嘰護。先求b的屬于特征值Q的特征向量。解齊次線性方程組（旳八,求得基礎解系為（1皿廳，（畀麗『，所以b的屬于特征值0的線性無關的特征向量為打二禽二刊十禺十函十芻，空二爲二加1十迴!十豈。全部特征向量為（掛十2焉）％十（?召十孜2）屯十（対十?。┩褪龋菔。ㄆ渲姓?扁不全為零）；1再求b的屬于特征值二的特征向量。解齊次線性方程組（護-QI0,求得基礎解系為（-8.6X2/，所以L的屬于特征值二的線性無關的特征向量為著=一E：著=一E：倉十&爲十爲十2軸二一8（嗚十？屯十函十函）十石住場十？％十礙）十函十2碼全部特征向量為僦％十肚屯-上磅-鉄丐伉芒0）。最后求b的屬于特征值1的特征向量。解齊次線性方程組(￡-5X=0,求得基礎解系為，所以b的屬于特征值1的線性無關的特征向量為十礙）十？隅十庁用全部特征向量為戲羽十上豈+上屯-2比些詼疋0）。十礙）十？隅十庁用全部特征向量為戲羽十上豈+上屯-2比些詼疋0）。,所以所求的可逆矩廣0000>00000010<00b習題7.3.6（1）設無易是線性變換b的兩個不同特征值，兀說是分別屬于凡堤的特征向量。證明：碣+也不是b的特征向量；（2）證明：如果線性變換以廠中每個非零向量作為它的特征向量,則b是數乘變換。證明：（1）因為g）卡］,=g，所以eA+遹）二（隔）二咎還+理說。假設碣+礙是線性變換b的屬于特征值乂的特征向量，即EA+觀二丸（珂+逼），且有現還+屯）二幾站+易說，整理可得（咎一衛(wèi)）％十晁—玄）屯二0。由