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第一節(jié)向量的內(nèi)積一內(nèi)積的定義和性質(zhì)三正交向量組二向量的長度與夾角四應(yīng)用舉例五正交矩陣與正交變換一、內(nèi)積的定義與性質(zhì)1、定義設(shè)n維實(shí)向量稱實(shí)數(shù)為向量α與β的內(nèi)積,記作注:內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算,用矩陣形式表示,有2、性質(zhì)(1)對稱性:(2)線性性:(3)正定性:1、長度的概念當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)二、向量的長度與夾角令為n維向量α的長度(模或范數(shù)).特別長度為1的向量稱為單位向量.(1)正定性:(2)齊次性:(3)三角不等式:2、性質(zhì)(4)柯西-施瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式:當(dāng)且僅當(dāng)α與β的線性相關(guān)時(shí),等號成立.注①當(dāng)時(shí),②由非零向量α得到單位向量是α的單位向量.稱為把α單位化或標(biāo)準(zhǔn)化.的過程3、夾角設(shè)α與β為n維空間的兩個(gè)非零向量,α與β的夾角的余弦為因此α與β的夾角為例解練習(xí)三、正交向量組1、正交當(dāng),稱α與β正交.注①若,則α與任何向量都正交.②③對于非零向量α與β,2、正交組若向量組中的向量兩兩正交,且均為非零向量,則這個(gè)向量組稱為正交向量組,簡稱正交組.3、標(biāo)準(zhǔn)正交組由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組.定理4、性質(zhì)正交向量組必為線性無關(guān)組.定理若向量β與β與中每個(gè)向量都正交,則的任一線性組合也正交.5、正交基若正交向量組則稱為向量空間V上的一個(gè)正交基.為向量空間V上的一個(gè)基,6、標(biāo)準(zhǔn)正交基若標(biāo)準(zhǔn)正交組則稱為向量空間V上的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.為向量空間V上的一個(gè)基,7、施密特(Schmidt)正交化法設(shè)是向量空間V的一個(gè)基,要求向量空間V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基,就是要找到一組兩兩正交的單位向量,使與等價(jià),此問題稱為把這組基標(biāo)準(zhǔn)正交化.1)正交化令就得到V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.如果上述方法稱為施密特(Schmidt)正交化法.2)標(biāo)準(zhǔn)化令是V的一組基,則就是注則兩兩正交,且與等價(jià).上述方法中的兩個(gè)向量組對任意的與都是等價(jià)的.四、應(yīng)用舉例例1證明:中,勾股定理成立的充要條件是正交.解所以成立的充要條件是即正交.已知三維向量空間中,例2正交,試求是三維向量空間的一個(gè)正交基.解設(shè)則即例4已知向量求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.解設(shè)非零向量都于正交,即滿足方程或其基礎(chǔ)解系為令1)正交化令2)標(biāo)準(zhǔn)化令五、正交矩陣和正交變換1、定義如果n階矩陣滿足:則稱A為正交矩陣.則可表示為若A按列分塊表示為A=亦即其中①A的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.正交矩陣A的n個(gè)列(行)向量構(gòu)成向量空間2、正交矩陣的充要條件②A的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組.注3、正交變換若P為正交矩陣,則y=Px線性變換稱為正交變換.設(shè)
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