統(tǒng)計(jì)學(xué)課件-22概率分布

宋曼殳首都醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)系概率分布醫(yī)學(xué)科研中的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法概率分布

（probabilitydistribution）概率分布：描述隨機(jī)變量值xi及這些值對(duì)應(yīng)概率P(X=xi)的表格、公式或圖形連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布

正態(tài)分布離散型隨機(jī)變量概率分布

二項(xiàng)分布

Poisson分布

隨機(jī)變量及其概率分布概述連續(xù)型隨機(jī)變量（continousrandomvariable）數(shù)據(jù)間無(wú)縫隙，其取值充滿整個(gè)區(qū)間，無(wú)法一一列舉每一可能值例如:身高、體重、血清膽固醇含量離散型隨機(jī)變量（discreterandomvariable）數(shù)據(jù)間有縫隙，其取值可以列舉例如：拋硬幣10次，正面的可能取值x為0、1、2、

3、4、5、6、7、8、9、10一、正態(tài)分布正態(tài)分布概念、特征正態(tài)曲線下的面積分布規(guī)律標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布的應(yīng)用估計(jì)頻數(shù)分布制定醫(yī)學(xué)參考值范圍質(zhì)量控制統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)概率分布正態(tài)分布的概念和特性正態(tài)分布及其應(yīng)用圖3-1臨產(chǎn)母親體重頻率密度圖圖3-2概率密度曲線示意圖頻率密度直方圖就近似地反映了一個(gè)變量的分布

當(dāng)樣本量n越來(lái)越大，而組距越來(lái)越小時(shí)，就得到該連續(xù)變量所在總體的概率分布?？梢栽O(shè)想，如果觀察例數(shù)逐漸增多，組段數(shù)也不斷增多，就會(huì)形成一條光滑曲線[圖(3)]，稱為正態(tài)分布曲線。正態(tài)分布的概念和特性這條呈中間高、兩邊低、左右基本對(duì)稱的“鐘形”曲線數(shù)學(xué)上稱為正態(tài)分布曲線由于縱坐標(biāo)相當(dāng)于概率密度，故叫做正態(tài)分布的概率密度曲線正態(tài)分布及其應(yīng)用圖3-2概率密度曲線示意圖正態(tài)分布曲線略呈鐘形，中間高，兩頭低，以均數(shù)μ為中心，左右對(duì)稱，均數(shù)處最高正態(tài)分布的曲線在橫軸上方，向兩側(cè)逐漸減低，兩側(cè)都以橫軸為其漸近線正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即①均數(shù)μ和②標(biāo)準(zhǔn)差σ正態(tài)分布的特性正態(tài)分布及其應(yīng)用把服從正態(tài)分布的變量表示為：

X~N(μ,σ2)

正態(tài)分布的特性

正態(tài)分布曲線的參數(shù)的意義—①均數(shù)μ（位置參數(shù)）表示正態(tài)分布曲線峰（集中趨勢(shì)）的位置σ固定時(shí)，μ增大，曲線沿橫軸向右移動(dòng)

μ減小，曲線沿橫軸向左移動(dòng)正態(tài)分布及其應(yīng)用

正態(tài)分布的特性正態(tài)分布曲線的參數(shù)—②標(biāo)準(zhǔn)差σ（變異度參數(shù)）表示正態(tài)變量取值的離中程度μ固定時(shí)，σ越大，曲線越寬，表示數(shù)據(jù)越分散

σ越小，曲線越窄，表示數(shù)據(jù)越集中正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布及其應(yīng)用式中，μ為總體均數(shù)；σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差；π=3.14159為圓周率；e為自然對(duì)數(shù)的底(e≈2.71828),X為變量服從正態(tài)分布的變量X的概率密度函數(shù)f(x)為圖1正態(tài)分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)X取值落在區(qū)間（-∞,x）內(nèi)的累積概率為概率密度曲線下位于（-∞,x）的圖形面積，等于其概率密度函數(shù)f(x)在-∞到x上的積分，記作

為正態(tài)分布的分布函數(shù)。其值表示變量X落在區(qū)間（-∞,x）內(nèi)的概率，對(duì)應(yīng)于從-∞到x概率密度曲線下的陰影面積（常稱為左側(cè)尾部面積）圖1正態(tài)分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)圖1正態(tài)分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)圖2正態(tài)分布的概率利用分布函數(shù)可以計(jì)算正態(tài)分布變量取值在任意區(qū)間[a,b）的概率為P(a≤X＜b)=F(b)-F(a)(其幾何意義如圖2中陰影部分所示)。由圖可得P(X≥b)=1-P(X＜b）=1-F(b)正態(tài)分布曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)分布及其應(yīng)用服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一區(qū)間上曲線下的面積與該隨機(jī)變量在同一區(qū)間內(nèi)取值的概率相等正態(tài)曲線與橫軸所夾面積為1正態(tài)分布曲線下面積的規(guī)律正態(tài)分布及其應(yīng)用1）正態(tài)曲線與橫軸所夾的面積為12）位于（μ-1.64σ,μ+1.64σ）內(nèi)的面積為0.90，說(shuō)明正態(tài)變量在μ±1.64σ范圍內(nèi)取值的概率為0.9，在該區(qū)間以外取值的概率（兩側(cè)的陰影面積之和）為0.1，左右兩側(cè)各0.053）位于（μ-1.96σ,μ+1.96σ）內(nèi)的面積為0.95，說(shuō)明正態(tài)變量在μ±1.96σ范圍內(nèi)取值的概率為0.95，在該區(qū)間以外取值的概率（兩側(cè)的陰影面積之和）為0.05，左右兩側(cè)各0.0254）位于（μ-2.58σ,μ+2.58σ）內(nèi)的面積為0.99，說(shuō)明正態(tài)變量在μ±2.58σ范圍內(nèi)取值的概率為0.99，在該區(qū)間以外取值的概率（兩側(cè)的陰影面積之和）為0.01，左右兩側(cè)各0.005正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律示意圖正態(tài)分布曲線下的面積分布規(guī)律正態(tài)分布曲線下的面積分布規(guī)律正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布下的概率計(jì)算方法一:利用統(tǒng)計(jì)軟件計(jì)算方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算曲線下面積的求法：定積分法和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布法標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)參數(shù)μ和σ已知時(shí)，依據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）的分布函數(shù)公式，正態(tài)變量取值落在各區(qū)間的概率

[都?xì)w結(jié)為正態(tài)分布曲線下的面積，只需知道分布函數(shù)F(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值]就可以算出，但要通過該公式計(jì)算F(x)是困難的實(shí)際應(yīng)用中，要把服從一般正態(tài)分布N（μ，σ2）的隨機(jī)變量X作如下標(biāo)準(zhǔn)化變換：變換后新的隨機(jī)變量z服從，μ=0，σ=1的正態(tài)分布，即Z~N(0，1)正態(tài)分布及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布指數(shù)據(jù)經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化變換后，μ=0，σ=1時(shí)的正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（又稱Z分布）:Z~N(0，1)公式任何一個(gè)正態(tài)分布，都可以通過變換，成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布及其應(yīng)用mm+sm-sX~N(m,s2)01-1X-msZ=~N(0,1)正態(tài)分布及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖中陰影部分的面積[表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z落在（-∞,z）內(nèi)的概率]即為分布函數(shù)的值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線與分布函數(shù)示意圖z0z10z21-正態(tài)分布及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖中陰影部分的面積[表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z落在（-∞,z）內(nèi)的概率]即為分布函數(shù)的值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度曲線與分布函數(shù)示意圖正態(tài)分布的應(yīng)用1、估計(jì)頻數(shù)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布及其應(yīng)用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附表C1）得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量z落在（-∞,z）內(nèi)的概率值z(mì).00.01.02.03.04.05.06.07.08.09-3.0.0013.0013.0013.0012.0012.0011.0011.0011.0010.0010-2.9.0019.0018.0018.0017.0016.0016.0015.0015.0014.0014-2.8.0026.0025.0024.0023.0023.0022.0021.0021.0020.0019-2.7.0035.0034.0033.0032.0031.0030.0029.0028.0027.0026-2.6.0047.0045.0144.0043.0041.0040.0039.0038.0037.0036-2.5.0062.0060.0059.0057.0055.0054.0052.0051.0049.0048-2.4.0082.0080.0078.0075.0073.0071.0069.0068.0066.0064-2.3.0107.0104.0102.0099.0096.0094.0091.0089.0087.0084-2.2.0139.0136.0132.0129.0125.0122.0119.0116.0113.0110-2.1.0179.0174.0170.0166.0162.0158.0154.0150.0146.0143-2.0.0228.0222.0217.0212.0207.0202.0197.0192.0188.0183-1.9.0287.0281.0274.0268.0262.0256.0250.0244.0239.0233-1.8.0359.0351.0344.0336.0329.0322.0314.0307.0301.0294-1.7.0446.0436.0427.0418.0409.0401.0392.0384.0375.0367-1.6.0548.0537.0526.0516.0505.0495.0485.0475.0465.0455-1.5.0668.0655.0643.0630.0618.0606.0594.0582.0571.0559-1.4.0808.0793.0778.0764.0749.0735.0721.0798.0694.0681表C1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(z-分布)密度曲線下的面積[Φ(z)值]自-∞到-z的面積Φ(-∞,-z)，Φ(z,+∞)=1-Φ(-∞,-z)正態(tài)分布曲線下面積分布規(guī)律示意圖正態(tài)分布曲線下的面積分布規(guī)律-1.4.0808.0793.0778.0764.0749.0735.0721.0798.0694.0681-1.3.0968.0951.0934.0918.0901.0885.0869.0853.0838.0823-1.2.1151.1131.1112.1093.1075.1056.1038.1020.1003.0985-1.1.1357.1335.1314.1292.1271.1251.1230.1210.1190.1170-1.0.1587.1562.1539.1515.1492.1469.1446.1423.1401.1379-0.9.1841.1814.1788.1762.1736.1711.1685.1660.1635.1611-0.8.2119.2090.2061.2033.2005.1977.1949.1922.1894.1867-0.7.2420.2339.2358.2327.2296.2266.2236.2206.2177.2148-0.6.2743.2709.2676.3643.2611.2578.2546.2514.2483.2451-0.5.3085.3050.3015.2981.2946.2912.2877.2843.2810.2776-0.4.3446.3409.3372.3336.3300.3264.3228.3192.3156.3121-0.3.3821.3783.3745.3707.3669.3632.3594.3557.3520.3483-0.2.4207.4168.4129.4090.4052.4013.3974.3936.3897.3859-0.1.4602.4562.4522.4483.4443.4404.4364.4325.4286.4247-0.0.5000.4960.4920.4880.4840.4801.4761.4721.4681.4641z.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09正態(tài)分布的應(yīng)用1、估計(jì)頻數(shù)分布例：140名成年男子紅細(xì)胞均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.78×1012/L和0.37×1012/L，求紅細(xì)胞數(shù)在4×1012/L~5.3×1012/L范圍內(nèi)所占的比例?正態(tài)分布及其應(yīng)用z0z10z2正態(tài)分布的應(yīng)用練習(xí)：假定一組男孩的體重呈正態(tài)分布，體重均數(shù)＝40kg、體重的標(biāo)準(zhǔn)差＝4kg，請(qǐng)回答以下問題：（1）體重低于46.6kg的男孩占百分之幾？（2）體重大于什么值的男孩占10%？

正態(tài)分布及其應(yīng)用

以z1＝﹣1.65查表，得Φ(z1)＝0.0495≈0.05Φ(z2)＝1－0.05＝0.95

即體重低于46.6kg的男孩占95%z10z24046.6？%

z10z24010%X？（2）以Φ(z)＝10%＝0.10先查表，得z1＝﹣1.28

∵︱z2︱

＝︱z1︱∴z2＝1.28

X＝X+zαSX＝40＋1.28×4＝45.12（kg）

即體重大于45.12kg的男孩占10%2、制定醫(yī)學(xué)參考值范圍醫(yī)學(xué)參考值，又稱正常值范圍，醫(yī)學(xué)上包括絕大多數(shù)正常人的某指標(biāo)值的波動(dòng)范圍確定范圍：一般以95%參考值范圍最常用按資料特點(diǎn)選取不同方法計(jì)算正常值范圍的上下限正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用

單側(cè)下限---過低異常單側(cè)下限異常正常單側(cè)上限異常正常異常正常雙側(cè)下限雙側(cè)上限異常單側(cè)上限---過高異常雙側(cè)---過高、過低均異常根據(jù)指標(biāo)含義決定單、雙側(cè)范圍正態(tài)分布的應(yīng)用2、制定醫(yī)學(xué)參考值范圍依據(jù)資料的分布類型有以下兩種的常用方法：1）正態(tài)近似法適用于服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料雙側(cè)參考值范圍單側(cè)參考值范圍或正態(tài)分布的應(yīng)用2、制定醫(yī)學(xué)參考值范圍依據(jù)資料的分布類型有以下兩種的常用方法：1）正態(tài)近似法對(duì)于正態(tài)分布或近似正態(tài)分布的資料，只要樣本含量足夠大（n＞100）時(shí)，可用：作為95%的正常值范圍（雙側(cè)）正態(tài)分布及其應(yīng)用例:估計(jì)例3-4中該地正常成年女子的血清總蛋白

（g/L，g/L）的95%參考值范圍。解：由于該地正常成年女子血清總蛋白近似服從正態(tài)分布，可用正態(tài)分布法計(jì)算。因血清總蛋白過多或過少均屬異常，所以應(yīng)取雙側(cè)，即計(jì)算95%參考值范圍的上下限。下限為：

（g/L）上限為：

（g/L）故該地正常成年女子血清總蛋白的95%參考值范圍為65.35~80.25(g/L)。正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布的應(yīng)用2、制定醫(yī)學(xué)參考值范圍2）百分位數(shù)法適用于偏態(tài)分布資料、分布型未知的資料以及分布末端有不確定值的資料雙側(cè)95%參考值范圍單側(cè)95%參考值范圍正態(tài)分布及其應(yīng)用或正態(tài)分布的應(yīng)用例：某地調(diào)查110名健康成年男子的第一秒肺通氣量（近似服從正態(tài)分布）得：均數(shù)為4.2（L）標(biāo)準(zhǔn)差為0.7（L）請(qǐng)據(jù)此估計(jì)該地成年男子第一秒肺通氣量的95%正常值范圍？正態(tài)分布及其應(yīng)用正態(tài)分布的應(yīng)用因第一秒肺通氣量?jī)H過低屬異常，故此正常值范圍屬僅有下限的單側(cè)正常值范圍又因此資料近似正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布法即該地成年男子第一秒肺通氣量的95%正常值范圍不低于3.05(L)

正態(tài)分布及其應(yīng)用

例

測(cè)得某年某地名正常人的尿汞值如下表，試制定正常人尿汞值的95%參考值范圍。

表

282名正常人尿汞值（）測(cè)量結(jié)果單側(cè)上限常用參考值范圍的制定

參考值范圍（%）正態(tài)分布法百分位數(shù)法雙側(cè)單側(cè)雙側(cè)單側(cè)下限上限下限上限90P5~P95P10P9095P2.5~P97.5P5P9599P0.5~P99.5P1P99正態(tài)分布的應(yīng)用3、質(zhì)量控制繪出質(zhì)量控制圖正態(tài)分布及其應(yīng)用上、下警戒限上、下控制限各測(cè)定值均在警戒限以內(nèi)，且隨機(jī)地分布在中心線的兩側(cè)，說(shuō)明質(zhì)量在控制中正態(tài)分布的應(yīng)用3、質(zhì)量控制例如，某實(shí)驗(yàn)室對(duì)同一控制血清作尿酸定量測(cè)定，連續(xù)觀察20天，得20個(gè)數(shù)據(jù)如下（mg/dl）：正態(tài)分布及其應(yīng)用5.05.05.04.84.65.14.85.04.84.84.85.04.64.74.74.64.75.14.74.7正態(tài)分布的應(yīng)用4、統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)許多統(tǒng)計(jì)方法（如t檢驗(yàn)、方差分析等）都要求指標(biāo)服從正態(tài)分布有些統(tǒng)計(jì)量的分布（如t

分布等）都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推演出來(lái)的正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有極其重要的地位正態(tài)分布及其應(yīng)用1、正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型分布，很多醫(yī)學(xué)現(xiàn)象服從正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，或經(jīng)變量轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布，可按正態(tài)分布規(guī)律來(lái)處理，是許多統(tǒng)計(jì)學(xué)方法的理論基礎(chǔ)2、正態(tài)分布的特征：①曲線在橫軸上方，均數(shù)處最高；②以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱；③確定正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)是均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差3、正態(tài)曲線下面積的分布有一定規(guī)律。利用此規(guī)律可用于估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍和質(zhì)量控制小結(jié)正態(tài)性轉(zhuǎn)換的常見方法

1.對(duì)數(shù)變換:適用于(1)對(duì)數(shù)正態(tài)分布資料,如抗體滴度,疾病潛伏期等;(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成比例

2.平方根變換:適用于(1)服從泊松分布資料,如一些發(fā)病率較低的疾病(2)輕度的偏態(tài)分布的資料

3.平方根反正弦變換:適用于率或百分比資料,如患病率等

4.倒數(shù)變換:適用于數(shù)據(jù)兩端波動(dòng)較大的數(shù)據(jù)

練習(xí)：某年某地不同年齡組男童身高資料如下：

年齡組人數(shù)均數(shù)（cm）標(biāo)準(zhǔn)差cm）1～2月

10056.32.15～6月

12066.52.23～3.5歲30096.13.15～5.5歲

400107.83.3

（1）上述資料是否表明6歲以下男童的平均身高和身高的變異程度均隨年齡增長(zhǎng)而增加？（2）若身高服從正態(tài)分布，試估計(jì)上述300名3～3.5

歲男童中身高在95.0～100cm范圍內(nèi)者有多少人？（3）計(jì)算5～5.5歲年齡組男童身高的正常值范圍？

例題為估計(jì)某地居民尿汞值的參考值范圍，測(cè)得某地200名正常成人的尿汞值如下表，試根據(jù)該樣本資料估計(jì)該地居民尿汞值的95%正常值范圍。尿汞值0～4～8～12～16～20～24～28～32～36～40～44～48～例數(shù)45304120151213546342某地200名正常成人的尿汞值/

習(xí)題解法一：計(jì)算得該樣本資料的均數(shù)13.78（），標(biāo)準(zhǔn)差11.71（），于是估計(jì)該地居民尿汞值的95%正常值范圍為（，）=（-9.17，36.73）。解法二：估計(jì)該地居民尿汞值的95%正常值范圍為（，）=（2.66,24.90）。

習(xí)題正確否？案例辨析以上解法均是錯(cuò)誤的。上述解法均利用正態(tài)分布法估計(jì)正常值范圍，但卻忽略了對(duì)該資料的正態(tài)性判斷或檢驗(yàn)。正確做法嚴(yán)格的正態(tài)性檢驗(yàn)常用的方法有Z檢驗(yàn)（通常稱為矩法）、W

檢驗(yàn)、D檢驗(yàn)等，需要借助統(tǒng)計(jì)軟件完成。在這里我們用粗略判斷的方法：作出頻率分布圖看是否對(duì)稱，如果對(duì)稱可初步判斷為正態(tài)分布，否則判為非正態(tài)。該例頻率分布明顯不對(duì)稱習(xí)題由此圖可粗略判斷尿汞值這個(gè)指標(biāo)不服從正態(tài)分布（經(jīng)對(duì)數(shù)變換后頻率分布仍不對(duì)稱），所以不能用正態(tài)分布法估計(jì)正常值范圍，而應(yīng)用適合描述偏態(tài)分布的百分位數(shù)法，計(jì)算，故估計(jì)該地居民尿汞值的95%正常值范圍不高于38（）。習(xí)題在本例中，如果該地居民尿汞值呈正態(tài)分布，則有估計(jì)該地居民尿汞值的95%正常值范圍為（0，）=（0，32.98）（）因?yàn)楣菍?duì)人身體有害的微量元素，越少越好，又不可能取負(fù)值，下限應(yīng)該為0，只需求出單側(cè)上限即可。習(xí)題三、計(jì)算題:調(diào)查某市2000年110名20歲男性青年的身高（cm）資料如下：

173.1166.8172.9175.9172.8170.5174.1174.2175.7173.5168.2173.7184.4174.8172.5174.9174.9174.2173.8176.2170.9165.0176.3174.2179.8174.5180.5171.5178.9171.5166.7170.8168.8177.5174.5183.5182.0170.9173.5177.5181.2177.1172.3176.5174.0174.3174.6172.6171.3173.1176.9170.5174.2177.5176.6182.3172.1169.9179.5175.8178.6180.6175.6173.3168.7174.5178.5171.3172.0173.2168.8176.0182.6169.5177.5180.6181.5175.1165.2168.0175.4169.2170.0171.9176.6178.8177.2173.4168.5177.6175.8164.8175.6180.0176.6176.5177.7174.1180.8170.6173.8180.7176.3177.5178.3176.0174.8180.8176.5179.2

（1）試估計(jì)當(dāng)年該市20歲男性青年中，身高在175.0~178.0（cm）內(nèi)的占多大比例？（2）估計(jì)當(dāng)年該市95%以及99%的20歲男青年身高范圍。（3）若當(dāng)年由該市隨機(jī)抽查1名20歲男青年，試估計(jì)其身高超過180cm的概率。