置換群不可約表示

4.3

楊表和楊算符本節(jié)要證明：楊算符與置換群群代數(shù)的原始冪等元成比例由楊算符方法可以構(gòu)造置換群群代數(shù)的標準基提供一個簡便的方法，計算置換群的不等價不可約表示矩陣一、置換群群代數(shù)的原始冪等元ej是原始冪等元的充要條件是：對L中任一矢量t都有下式成立條件可以放寬11.定理五若置換群群代數(shù)的矢量X滿足兩個原始冪等元ei，ej(它們生成兩個最小左理想Li，Lj等價)的充要條件是：至少存在一個群元素S，滿足下面證明：楊算符Y與置換群原始冪等元成比例，并討論它們產(chǎn)生的左理想的等價性(1個定理，6個推論)其中P,Q是楊算符Y的任意橫向,縱向置換，則X與楊算符Y只差常系數(shù)λ，即X=λY證明：楊算符是置換群群元素的代數(shù)和，是群代數(shù)矢量23群代數(shù)矢量X與楊算符Y有相同的對稱性質(zhì)，設(shè)4對不屬于楊算符Y的置換R，由定理四推論四綜上：X=λY，即53.推論二楊算符的平方不為零證明：則由定理五：X=λY，即

YtY=λtY2.推論一設(shè)t是置換群群代數(shù)的任意矢量，則YtY=λtY，其中λt是依賴于t的數(shù)，可為零其中，f由Y產(chǎn)生的右理想RY=YL的維數(shù)4.推論三是置換群的原始冪等元(即楊算符Y與置換群的原始冪等元成比例)6由楊算符Y和Y'生成的最小左理想等價的充要條件是：它們對應(yīng)的楊圖相同6.推論五對同一個楊圖，設(shè)填在楊表Y'的同一列的數(shù)字在楊表Y中都不填在同一行，則相應(yīng)的楊算符乘積Y'Y≠05.推論四Y與置換群原始冪等元成比例Y,Y'生成最小左理想置換群不可約表示置換群不可約表示等價?楊圖相同因此，可用楊圖來標記置換群不等價不可約表示置換群不等價不可約表示數(shù)目=類的數(shù)目，置換群的類可用楊圖表示(用配分數(shù)表示)兩個原始冪等元ei，ej(它們生成兩個最小左理想Li，Lj等價)的充要條件是：7對應(yīng)不同楊圖的楊算符Y和Y'相互正交，即Y'Y=YY'=07.推論六二、置換群正交的原始冪等元對應(yīng)不同楊圖的楊算符Y和Y'相互正交對應(yīng)同一楊圖，不同正則楊表的楊算符不一定正交由定理四推論二：對同一楊圖，正則楊表Y'>Y時，Y'Y=0當正則楊表Y'<Y時，可以找到Y(jié)'Y≠0的例子，只有在n≥5時才會出現(xiàn)1.例：n=5，對楊圖[3,2]維數(shù)：d[3,2]=5有5個不同的正則楊表8正交要求：Y'Y=0，YY'=0對同一楊圖，楊表Y'>Y時，Y'Y=0，即YμYν=0(μ≥ν)當μ<ν時，要逐對檢查乘積是否為零，依據(jù)定理四：對同一楊圖，若對換T0是Y'的縱向置換(列)，Y的橫向置換(行)，則Y'Y=0定理四推論三：Y'同一列的數(shù)字都不在Y的同一行，則把Y變成Y'的置換R屬于Y也屬于Y'，即Y'=RYR-1→R=PQ=P'Q'正則楊表由小到大依次排序楊表Y112345楊表Y212435楊表Y312534楊表Y413425楊表Y5135249楊表Y112345楊表Y212435楊表Y312534楊表Y413425楊表Y513524Y

小Y大：只有：其它均為零先寫出將Y5變成Y1的置換：（第一行Y5，第二行Y1）將R成無公共客體輪換的乘積10用切斷法，將R分解成Y5的PQ，將Y5的橫向置換左移，縱向置換右移楊表Y513524與R有關(guān)的Y5的橫、縱向置換為或者將R分解成Y1的PQ，將Y1的橫向置換左移，縱向置換右移楊表Y112345與R有關(guān)的Y1的橫、縱向置換為11R還可以寫成Q1P5Q5P1若要求表示——選基：線性無關(guān)，正交希望：給定楊圖，正則楊算符作適當組合，使它們正交——可與表示相聯(lián)系適當組合：楊算符左乘或右乘一個適當?shù)娜捍鷶?shù)矢量，為以后方便，重點討論右乘矢量的辦法上面的例中，只有Y1Y5≠0，取12大小013上面對S5而言，更一般的，對給定楊圖[λ]，若d個正則楊算符不完全正交，我們希望選取合適的群代數(shù)矢量yμ右乘到楊算符Yμ上，滿足2.構(gòu)造正交原始冪等元其中，f是楊算符Yμ產(chǎn)生的左(右)理想的維數(shù)，與楊圖[λ]對應(yīng)，標記為Y

μ[λ]，計算時，對給定[λ]，為書寫方便常省略上標[λ]由上式成立，要求yμ滿足正則楊表維數(shù)14定義：置換Rμν是把正則楊表Yν變成Yμ的變換，則由定理四推論三：填在Y'同一列的數(shù)都不在Y的同一行，則Y'=RYR-1,R=PQ=P'Q'P,Q是楊表Yν的橫,縱向置換，上標(μ)表示與楊表Yμ有關(guān)15顯然YμYν≠0時，有即原始冪等元yμ如何求得，數(shù)學(xué)歸納法可證明下面的yμ滿足前面的要求16用前面S5例驗證000P5(1)E與前面結(jié)論一致由前面Pμν滿足的三個式子可得出群代數(shù)矢量，可為0上面講的是，楊算符右乘群代數(shù)矢量yμ，使組合后的楊算符相互正交(以后采用此法)。若采用楊算符左乘群代數(shù)矢量組合楊算符，則取17下面是關(guān)于置換群正交冪等元的定理3.定理六在與給定楊圖[λ]對應(yīng)的單純雙邊理想I[λ]中，下面d[λ]個冪等元eμ[λ]構(gòu)成一組完備的正交原始冪等元其中，Yμ[λ]對應(yīng)楊圖[λ]的楊算符，恒元可按這些原始冪等元分解18三、置換群不可約表示的表示矩陣每個楊圖對應(yīng)置換群的一個不可約表示現(xiàn)在討論給定楊圖，如何選擇標準基，并在此標準基中如何具體計算置換群群元素的表示矩陣因楊圖已給定，下面計算中略去標記楊圖的指標[λ]1.標準基的選擇前面定義的置換Rνμ是把正則楊表Yμ變成Yν的變換對給定楊圖[λ]，由定理六：一組完備正交的原始冪等元為19由這些置換Rνμ與正則楊算符構(gòu)造的原始冪等元可定義d2個基Rνμeμ可以自動產(chǎn)生其左邊對應(yīng)的eν20由Rνμ滿足的條件可證明，上面定義的bνμ滿足標準基的條件因此，上面定義的bνμ就是置換群的標準基，同一原始冪等元生成的最小左(右)理想在這組基中得到的表示完全相同。選定基后，可計算置換群的不可約表示。2.不可約表示在左理想L1中，找置換群元素S的表示矩陣D(S)δρνb11→e1

21為簡化上式，把兩個楊算符之間的量移開以消去一個楊算符，依據(jù)等式右邊的量與e1成正比。yν是群元素的組合，組合系數(shù)為+1,-1,可以在形式上寫成設(shè)(Tk)-1是把楊表Yν變成楊表Yνk；S是把楊表Yμ變成Yμ(S)；則上式可化為22(Tk)-1：Yν→YνkS：Yμ→Yμ(S)

計算YνkYμ(S)

若存在一對數(shù)，在楊表Yμ(S)中填在同一行，且在楊表Yνk中填在同一列，則反之，若填在楊表Yμ(S)同一行的數(shù)都不在楊表Yνk的同一列，則存在置換R=Pμ(S)Qμ(S)

Yνk=RYμ(S)R-123對應(yīng)Yνk的置換之積方括號中的置換是Yνk的縱向置換，其作用是將Yμ(S)→Yνk；其逆變換可把

Yνk→Y'，使Y'和Yμ(S)每一對應(yīng)行包含的填數(shù)相同，但填數(shù)順序不一定相同前面24e1

25看方括號中的表達式，置換乘積從右向左作用方括號中的置換是一個恒等變換→等式右邊正比于e1選擇標準基，置換群的不可約表示的矩陣元素都是整數(shù){1，0，-1}，因此置換群的不可約表示都是實表示263.表示矩陣元的計算δk：yν的展開系數(shù)(n<5時yν=E)

方法：若存在一對數(shù)，填在Yμ(S)同一行，且在Yνk的同一列，則δ(Qνk)=0；

若填在Yμ(S)同一行的數(shù)都不在Yνk的同一列，則找Yνk的縱向置換Qνk-1，它將Yνk→Y'，使Y'與Yμ(S)每行的填數(shù)相同，δ(Qνk)是Qνk的置換宇稱δ(Qνk)：可通過對比Yνk與Yμ(S)得到首先寫出楊圖[λ]對應(yīng)的正則楊表Yν及yν（得到Tk）用列表法計算群元素S在表示[λ]中的表示矩陣27逐項計算(Tk-1)對Yν作用，得到新楊表Yνk用新楊表Yνk代替Yν中的Tk，得到楊表的組合式，按ν增加的次序填在表的左一列，這一列對計算任何群元素表示矩陣都相同例：n=5，對楊圖[3,2]，S=(12345)楊表Y112345楊表Y212435楊表Y312534楊表Y413425楊表Y513524將要計算的矩陣元素S作用在正則楊表Yμ上得到Y(jié)μ(S)按μ的增加順序列于表的最上一行Table28表的內(nèi)容d×d，通過比較Yνk與Yμ(S)，得到δ(Qνk)用δ(Qνk)代替最左一列第ν行中的楊表Yνk得到組合系數(shù)就是Dνμ(S)，填入表中ν行μ列位置表中對角元之和就是特征標Qνk：Yνk→Y'與Yμ(S)每行填數(shù)相同(YνkYμ(S)≠0時)，因此，要先判斷YνkYμ(S)是否為零Table練習(xí)：S5,[3,2]和S4,[2,2]:S=(12),S=(23)的表示2912(-1)-00-11-00-(-1)0-0(-1)(-1)(-1)0000000000100(-1)01130四、計算特征標的等效方法前面列表法計算出置換群不等價不可約表示矩陣→不可約表示的特征標，但這種方法比較復(fù)雜下面介紹一種等效方法，無需計算表示矩陣，只根據(jù)表示[λ]和類(l)這兩個配分數(shù)，就可方便地計算出特征標步驟把描寫類的非零配分數(shù)按順序排列(由小到大)例：n=5，對楊圖[λ]=[3,2]表示特征標表S5的類(15)(13,2)(1,22)(12,3)(2,3)(1,4)(5)31排定后，用l1個1,l2個2,...,lj個j填入楊圖[λ]，要滿足正則填充法：每個數(shù)字填完后，已填格子必須構(gòu)成“正則楊表”填充同一數(shù)字的格子必須相連由填同一數(shù)字的最左下方格子開始，沿向右或向上的方向，可以不回頭地一次走遍填該數(shù)的全部格子這些格子所占行數(shù)減1得到的奇偶性是該數(shù)字的填充宇稱+1或-1，即(-1)r-1：r是同一數(shù)字填格所占行數(shù)按上面方法將全部數(shù)字填入楊圖，稱一次正則填充；一次正則填充的宇稱是所有數(shù)字填充宇稱的乘積將各次正則填充的填充宇稱相加即得到類(l)在表示[λ]中的特征標χ[λ](l)恒元(1n):自成一類，特征表示不可約表示[λ]的維數(shù)，用前面鉤形規(guī)則計算32楊圖[λ]=[3,2],S5的類(15)(13,2)(1,22)(12,3)(2,3)(1,4)(5)(15)：d[3,2]=5(1,22):將1個1，2個2，2個3填入[3,2]123441→+1；2→+13→+1；4→+1數(shù)字的填充宇稱(-1)r-1124341342414423(13,2):將1個1，1個2，1個3，2個4填入[3,2]12233χ(1,22)=1χ(13,2)=1133221233233練習(xí)：用等效方法計算S6群各類在下列不可約表示中的特征標(1)[3,2,1](2)[3,3](3)