電動力學第8講23穩(wěn)恒磁場的矢勢山東大學課件

山東大學物理學院宗福建《電動力學》第16講第三章靜磁場(1)§3.1靜磁場的矢勢教師姓名：宗福建單位：山東大學物理學院2015年11月06日山東大學物理學院宗福建《電動力學》第16講第三章靜磁山東大學物理學院宗福建2Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建2Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建3Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建3Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建4標勢的Poisson方程山東大學物理學院宗福建4標勢的Poisson方程山東大學物理學院宗福建5靜電場的標勢

若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ

，設r為由源點x'

到場點x的距離，則場點x處的電勢為山東大學物理學院宗福建5靜電場的標勢若電荷連續(xù)分布，電山東大學物理學院宗福建6山東大學物理學院宗福建6山東大學物理學院宗福建7山東大學物理學院宗福建7山東大學物理學院宗福建8本講主要內(nèi)容靜磁場的矢勢矢勢的微分方程矢勢的多極展開磁偶極子的場山東大學物理學院宗福建8本講主要內(nèi)容靜磁場的矢勢山東大學物理學院宗福建9靜磁場的矢勢

在穩(wěn)恒電流（靜磁場）情況下，電場與磁場無關(guān)，麥氏方程組的磁場部分為

山東大學物理學院宗福建9靜磁場的矢勢在穩(wěn)恒電流（靜磁場山東大學物理學院宗福建10靜磁場的矢勢

磁場的特點和電場不同。靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負電荷,靜電場線永不閉合。靜磁場則是有旋無源場，磁感應線總是閉合曲線。由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。靜電場由于其無旋性,可以引入標勢來描述。磁場由于其有旋性，一般不能引入一個標勢來描述。但是由于磁場的無源性，我們可以引入另一個矢量來描述它。

山東大學物理學院宗福建10靜磁場的矢勢磁場的特點和電場山東大學物理學院宗福建11靜磁場的矢勢

根據(jù)矢量分析的定理（附錄Ⅰ.17式）,若則B

可表為另一矢量的旋度A

稱為磁場的矢勢。山東大學物理學院宗福建11靜磁場的矢勢根據(jù)矢量分析的定山東大學物理學院宗福建12靜磁場的矢勢

為了看出矢勢A的意義，我們考察上式的積分形式。把B對任一個以回路L為邊界的曲面S積分，得式中左邊是通過曲面S的磁通量。由上式，通過一個曲面的磁通量只和這曲面的邊界L有關(guān)，而和曲面的具體形狀無關(guān)。山東大學物理學院宗福建12靜磁場的矢勢為了看出矢勢A的山東大學物理學院宗福建13靜磁場的矢勢

矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任意曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點上的A(x)則沒有直接的物理意義。山東大學物理學院宗福建13靜磁場的矢勢矢勢A的物理意義山東大學物理學院宗福建14靜磁場的矢勢由矢勢A可以唯一確定磁場B，但是由磁場B并不能唯一確定矢勢A。即A+▽ψ與A對應于同一個磁場B。A的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點上的A本身沒有直接的物理意義。

山東大學物理學院宗福建14靜磁場的矢勢由矢勢A可以唯一確山東大學物理學院宗福建15靜磁場的矢勢由A的這種任意性，我們還可以對它加上一定的限制條件，由下面的推導可知，對A加上輔助條件是特別方便的。山東大學物理學院宗福建15靜磁場的矢勢由A的這種任意山東大學物理學院宗福建16靜磁場的矢勢我們先說明對A加以上條件總是可以的，也就是說總可以找到一個A，滿足設有某一解A不滿足上式，山東大學物理學院宗福建16靜磁場的矢勢我們先說明對A加以山東大學物理學院宗福建17靜磁場的矢勢我們另取一解A'的散度為山東大學物理學院宗福建17靜磁場的矢勢我們另取一解山東大學物理學院宗福建18靜磁場的矢勢取ψ

為泊松方程的一個解，代入上式，所得的A'

就滿足▽·A'=0。對A所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。山東大學物理學院宗福建18靜磁場的矢勢取ψ為泊松方程山東大學物理學院宗福建19矢勢微分方程

把B=▽×A

代入得矢勢A的微分方程

山東大學物理學院宗福建19矢勢微分方程把B=▽×山東大學物理學院宗福建20矢勢微分方程

由矢量分析公式（附錄Ⅰ.25式），若取A滿足規(guī)范條件▽·A=0，得矢勢A的微分方程

,又稱矢勢A的泊松方程。山東大學物理學院宗福建20矢勢微分方程由矢量分析公式（山東大學物理學院宗福建21矢勢微分方程

A的每個直角分量Ai

滿足泊松方程這些方程和靜電勢

φ

的方程

有相同形式。

山東大學物理學院宗福建21矢勢微分方程A的每個直角分量山東大學物理學院宗福建22矢勢微分方程

靜電勢

φ

的方程

山東大學物理學院宗福建22矢勢微分方程靜電勢φ的方山東大學物理學院宗福建23矢勢微分方程

對比靜電勢的解，可得矢勢A的泊松方程式特解

式中x‘是源點，x是場點，r為由x’

到x的距離。山東大學物理學院宗福建23矢勢微分方程對比靜電勢的解，山東大學物理學院宗福建24矢勢微分方程

求出A以后，取旋度即可求出B。

山東大學物理學院宗福建24矢勢微分方程求出A以后，取旋山東大學物理學院宗福建25矢勢微分方程

這就是畢奧-薩伐爾定律。過渡到線電流情形，設I為導線上的電流強度，作代換

JdV→Idl

得

山東大學物理學院宗福建25矢勢微分方程山東大學物理學院宗福建26矢勢的邊值關(guān)系

在兩介質(zhì)分解面上磁場的邊值關(guān)系為磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系。對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為

山東大學物理學院宗福建26矢勢的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)分解面山東大學物理學院宗福建27矢勢的邊值關(guān)系

在分界面兩側(cè)取一狹長回路計算A對此狹長回路的積分。當回路短邊長度趨于零時，另一方面，由于回路面積分趨于零,有山東大學物理學院宗福建27矢勢的邊值關(guān)系在分界面兩側(cè)取山東大學物理學院宗福建28矢勢的邊值關(guān)系

因此，若取▽·

A=0規(guī)范，可得合起來得山東大學物理學院宗福建28矢勢的邊值關(guān)系因此，靜磁場的唯一性定理與靜電場類似，靜磁場也有唯一性定理，基本的理念是對確定的體系場由邊界條件唯一確定。對靜電問題，邊界條件可以是設定邊界上標勢值或者是場在邊界上D的垂直分量(與導體上的表面電荷有關(guān))。與此相對應，對靜磁問題，邊界條件可以是邊界上的矢勢A或者是H的切向分量(與導體上的表面電流相關(guān))。靜磁場的唯一性定理與靜電場類似，靜磁場也有唯一性定理，基本的靜磁場的唯一性定理靜磁場的唯一性定理山東大學物理學院宗福建31磁場的能量

由第一章，磁場的總能量為

山東大學物理學院宗福建31磁場的能量由第一章，磁場的總山東大學物理學院宗福建32磁場的能量

山東大學物理學院宗福建32磁場的能量山東大學物理學院宗福建33磁場的能量

山東大學物理學院宗福建33磁場的能量山東大學物理學院宗福建34磁場的能量

和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把

A·J/2

看作能量密度，因為我們知道能量分布于磁場內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。

山東大學物理學院宗福建34磁場的能量山東大學物理學院宗福建35矢勢的多級展開

給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場矢勢為

山東大學物理學院宗福建35矢勢的多級展開給定電流分布在山東大學物理學院宗福建36矢勢的多級展開

如果電流分布于小區(qū)域V內(nèi)，而場點x又距離該區(qū)域比較遠，我們可以把A(x)作多級展開。取區(qū)域內(nèi)某點O為坐標原點，把1/r的展開式得

山東大學物理學院宗福建36矢勢的多級展開如果電流分布于山東大學物理學院宗福建37矢勢的多級展開

展開式的第一項為由教材第46頁，習題5知

山東大學物理學院宗福建37矢勢的多級展開展開式的第一項山東大學物理學院宗福建38矢勢的多級展開

所以，對于穩(wěn)恒電流：此式表示和電場情形不同，磁場展開式不含磁單極項，即不含與點電荷對應的項。山東大學物理學院宗福建38矢勢的多級展開所以，對于穩(wěn)恒山東大學物理學院宗福建39矢勢的多級展開

展開式的第二項為山東大學物理學院宗福建39矢勢的多級展開展開式的第二項山東大學物理學院宗福建40矢勢的多級展開

把并矢Jx’表示為對稱部分與反對稱部分之和，則對稱部分對應于電四極矩對時間的導數(shù)，反對稱部分對應于磁偶極矩。山東大學物理學院宗福建40矢勢的多級展開把并矢Jx’表山東大學物理學院宗福建41矢勢的多級展開

山東大學物理學院宗福建41矢勢的多級展開山東大學物理學院宗福建42矢勢的多級展開

首先，對稱部分山東大學物理學院宗福建42矢勢的多級展開首先，對稱部分山東大學物理學院宗福建43矢勢的多級展開

首先，對稱部分,變化電四極矩的貢獻。穩(wěn)恒電磁場情況下，該部分的貢獻為0。山東大學物理學院宗福建43矢勢的多級展開首先，對稱部分山東大學物理學院宗福建44矢勢的多級展開

其次，反對稱部分山東大學物理學院宗福建44矢勢的多級展開其次，反對稱部山東大學物理學院宗福建45矢勢的多級展開

反對稱部分，相當于電流環(huán)。磁偶極矩的貢獻。山東大學物理學院宗福建45矢勢的多級展開反對稱部分，相山東大學物理學院宗福建46矢勢的多級展開

則，m稱為電流的磁矩山東大學物理學院宗福建46矢勢的多級展開則，m稱為電流山東大學物理學院宗福建47矢勢的多級展開

對某閉合電流流線管

JdVIdl式中稱為電流線圈的磁矩。山東大學物理學院宗福建47矢勢的多級展開對某閉合電流流山東大學物理學院宗福建48矢勢的多級展開

展開式中：第1項為0；第2項為磁偶極矩的貢獻；其他更高次項，我們不予討論。山東大學物理學院宗福建48矢勢的多級展開山東大學物理學院宗福建49矢勢的多級展開

山東大學物理學院宗福建49矢勢的多級展開阿哈羅夫-玻姆（A-B）效應

1959年阿哈羅夫-玻姆提出在量子力學可適用的微觀態(tài)中和有可觀測的物理效應，這一效應被稱為A-B效應。

A-B效應表明，在量子物理中磁場的物理效應不能完全用來描述，矢勢可以對電子發(fā)生相互作用。但是由于的任意性，用它描述磁場顯然又過多。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束阿哈羅夫-玻姆（A-B）效應1959年阿哈羅夫-玻姆提出在

帶有螺線管電子衍射實驗發(fā)現(xiàn)，能夠完全且恰當?shù)拿枋龃艌龅奈锢砹渴窍嘁蜃樱骸Ｈ鬖為可縮小到一點的無窮小路徑，則因此相因子描述等價于局域磁場的描述。但是當L為不能縮小到一點的路徑時，則相因子所包含的物理信息就不能用局域場描述。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束帶有螺線管電子衍射實驗發(fā)現(xiàn)，能夠完全且恰當?shù)拿枋龃艌錾綎|大學物理學院宗福建52課下作業(yè)教材第108-109頁習題14補充題：給出靜磁場矢勢A的物理意義，由矢勢A可以確定磁場B，但是由磁場B并不能唯一確定矢勢A，試證明對矢勢A可加輔助條件，

并推導出矢勢A滿足的泊松方程山東大學物理學院宗福建52課下作業(yè)教材第108-109頁山東大學物理學院宗福建《電動力學》第16講第三章靜磁場(1)§3.1靜磁場的矢勢教師姓名：宗福建單位：山東大學物理學院2015年11月06日山東大學物理學院宗福建《電動力學》第16講第三章靜磁山東大學物理學院宗福建54Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建2Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建55Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建3Maxwell方程組山東大學物理學院宗福建56標勢的Poisson方程山東大學物理學院宗福建4標勢的Poisson方程山東大學物理學院宗福建57靜電場的標勢

若電荷連續(xù)分布，電荷密度為ρ

，設r為由源點x'

到場點x的距離，則場點x處的電勢為山東大學物理學院宗福建5靜電場的標勢若電荷連續(xù)分布，電山東大學物理學院宗福建58山東大學物理學院宗福建6山東大學物理學院宗福建59山東大學物理學院宗福建7山東大學物理學院宗福建60本講主要內(nèi)容靜磁場的矢勢矢勢的微分方程矢勢的多極展開磁偶極子的場山東大學物理學院宗福建8本講主要內(nèi)容靜磁場的矢勢山東大學物理學院宗福建61靜磁場的矢勢

在穩(wěn)恒電流（靜磁場）情況下，電場與磁場無關(guān)，麥氏方程組的磁場部分為

山東大學物理學院宗福建9靜磁場的矢勢在穩(wěn)恒電流（靜磁場山東大學物理學院宗福建62靜磁場的矢勢

磁場的特點和電場不同。靜電場是有源無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負電荷,靜電場線永不閉合。靜磁場則是有旋無源場，磁感應線總是閉合曲線。由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。靜電場由于其無旋性,可以引入標勢來描述。磁場由于其有旋性，一般不能引入一個標勢來描述。但是由于磁場的無源性，我們可以引入另一個矢量來描述它。

山東大學物理學院宗福建10靜磁場的矢勢磁場的特點和電場山東大學物理學院宗福建63靜磁場的矢勢

根據(jù)矢量分析的定理（附錄Ⅰ.17式）,若則B

可表為另一矢量的旋度A

稱為磁場的矢勢。山東大學物理學院宗福建11靜磁場的矢勢根據(jù)矢量分析的定山東大學物理學院宗福建64靜磁場的矢勢

為了看出矢勢A的意義，我們考察上式的積分形式。把B對任一個以回路L為邊界的曲面S積分，得式中左邊是通過曲面S的磁通量。由上式，通過一個曲面的磁通量只和這曲面的邊界L有關(guān)，而和曲面的具體形狀無關(guān)。山東大學物理學院宗福建12靜磁場的矢勢為了看出矢勢A的山東大學物理學院宗福建65靜磁場的矢勢

矢勢A的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任意曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點上的A(x)則沒有直接的物理意義。山東大學物理學院宗福建13靜磁場的矢勢矢勢A的物理意義山東大學物理學院宗福建66靜磁場的矢勢由矢勢A可以唯一確定磁場B，但是由磁場B并不能唯一確定矢勢A。即A+▽ψ與A對應于同一個磁場B。A的這種任意性是由于只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點上的A本身沒有直接的物理意義。

山東大學物理學院宗福建14靜磁場的矢勢由矢勢A可以唯一確山東大學物理學院宗福建67靜磁場的矢勢由A的這種任意性，我們還可以對它加上一定的限制條件，由下面的推導可知，對A加上輔助條件是特別方便的。山東大學物理學院宗福建15靜磁場的矢勢由A的這種任意山東大學物理學院宗福建68靜磁場的矢勢我們先說明對A加以上條件總是可以的，也就是說總可以找到一個A，滿足設有某一解A不滿足上式，山東大學物理學院宗福建16靜磁場的矢勢我們先說明對A加以山東大學物理學院宗福建69靜磁場的矢勢我們另取一解A'的散度為山東大學物理學院宗福建17靜磁場的矢勢我們另取一解山東大學物理學院宗福建70靜磁場的矢勢取ψ

為泊松方程的一個解，代入上式，所得的A'

就滿足▽·A'=0。對A所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。山東大學物理學院宗福建18靜磁場的矢勢取ψ為泊松方程山東大學物理學院宗福建71矢勢微分方程

把B=▽×A

代入得矢勢A的微分方程

山東大學物理學院宗福建19矢勢微分方程把B=▽×山東大學物理學院宗福建72矢勢微分方程

由矢量分析公式（附錄Ⅰ.25式），若取A滿足規(guī)范條件▽·A=0，得矢勢A的微分方程

,又稱矢勢A的泊松方程。山東大學物理學院宗福建20矢勢微分方程由矢量分析公式（山東大學物理學院宗福建73矢勢微分方程

A的每個直角分量Ai

滿足泊松方程這些方程和靜電勢

φ

的方程

有相同形式。

山東大學物理學院宗福建21矢勢微分方程A的每個直角分量山東大學物理學院宗福建74矢勢微分方程

靜電勢

φ

的方程

山東大學物理學院宗福建22矢勢微分方程靜電勢φ的方山東大學物理學院宗福建75矢勢微分方程

對比靜電勢的解，可得矢勢A的泊松方程式特解

式中x‘是源點，x是場點，r為由x’

到x的距離。山東大學物理學院宗福建23矢勢微分方程對比靜電勢的解，山東大學物理學院宗福建76矢勢微分方程

求出A以后，取旋度即可求出B。

山東大學物理學院宗福建24矢勢微分方程求出A以后，取旋山東大學物理學院宗福建77矢勢微分方程

這就是畢奧-薩伐爾定律。過渡到線電流情形，設I為導線上的電流強度，作代換

JdV→Idl

得

山東大學物理學院宗福建25矢勢微分方程山東大學物理學院宗福建78矢勢的邊值關(guān)系

在兩介質(zhì)分解面上磁場的邊值關(guān)系為磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢A的邊值關(guān)系。對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為

山東大學物理學院宗福建26矢勢的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)分解面山東大學物理學院宗福建79矢勢的邊值關(guān)系

在分界面兩側(cè)取一狹長回路計算A對此狹長回路的積分。當回路短邊長度趨于零時，另一方面，由于回路面積分趨于零,有山東大學物理學院宗福建27矢勢的邊值關(guān)系在分界面兩側(cè)取山東大學物理學院宗福建80矢勢的邊值關(guān)系

因此，若取▽·

A=0規(guī)范，可得合起來得山東大學物理學院宗福建28矢勢的邊值關(guān)系因此，靜磁場的唯一性定理與靜電場類似，靜磁場也有唯一性定理，基本的理念是對確定的體系場由邊界條件唯一確定。對靜電問題，邊界條件可以是設定邊界上標勢值或者是場在邊界上D的垂直分量(與導體上的表面電荷有關(guān))。與此相對應，對靜磁問題，邊界條件可以是邊界上的矢勢A或者是H的切向分量(與導體上的表面電流相關(guān))。靜磁場的唯一性定理與靜電場類似，靜磁場也有唯一性定理，基本的靜磁場的唯一性定理靜磁場的唯一性定理山東大學物理學院宗福建83磁場的能量

由第一章，磁場的總能量為

山東大學物理學院宗福建31磁場的能量由第一章，磁場的總山東大學物理學院宗福建84磁場的能量

山東大學物理學院宗福建32磁場的能量山東大學物理學院宗福建85磁場的能量

山東大學物理學院宗福建33磁場的能量山東大學物理學院宗福建86磁場的能量

和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把

A·J/2

看作能量密度，因為我們知道能量分布于磁場內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。

山東大學物理學院宗福建34磁場的能量山東大學物理學院宗福建87矢勢的多級展開

給定電流分布在空間中激發(fā)的磁場矢勢為

山東大學物理學院宗福建35矢勢的多級展開給定電流分布在山東大學物理學院宗福建88矢勢的多級展開

如果電流分布于小區(qū)域V內(nèi)，而場點x又距離該區(qū)域比較遠，我們可以把A(x)作多級展開。取區(qū)域內(nèi)某點O為坐標原點，把1/r的展開式得

山東大學物理學院宗福建36矢勢的多級展開如果電流分布于山東大學物理學院宗福建89矢勢的多級展開

展開式的第一項為由教材第46頁，習題5知

山東大學物理學院宗福建37矢勢的多級展開展開式的第一項山東大學物理學院宗福建90矢勢的多級展開

所以，對于穩(wěn)恒電流：此式表示和電場情形不同，磁場展開式不含磁單極項，即不含與點電荷對應的項。山東大學物理學院宗福建38矢勢的多級展開所以，對于穩(wěn)恒山東大學物理學院宗福建91矢勢的多級展開

展開式的第二項為山東大學物理學院宗福建39矢勢的多級展開展開式的第二項山東大學物理學院宗福建92矢勢的多級展開

把并矢Jx’表示為對稱部分與反對稱部分之和，則對稱部分對應于電四極矩對時間的導數(shù)，反對稱部分對應于磁偶極矩。山東大學物理學院宗福建40矢勢的多級展開把并矢Jx’表山東大學物理學院宗福建93矢勢的多級展開

山東大學物理學院宗福建41矢勢的多級展開山東大學物理學院宗福建94矢勢的多級展開

首先，對稱部分山東大學物理學院宗福建42矢勢的多級展開首先，對稱部分山東大學物理學院宗福建95矢勢的多級展開

首先，對稱部分,變化電四極矩的貢獻。穩(wěn)恒電磁場情況下，該部分的貢獻為0。山東大學物理學院宗福建43矢勢的多級展開首先，對稱部分山東大學物理學院