飛機排隊模型-數(shù)學(xué)建模

飛機排隊模型_數(shù)學(xué)建模

在目前的各國機場，一般都使用“先到先服務(wù)”的排隊系統(tǒng)，這一系統(tǒng)雖一直延用，但效率不高，且不能調(diào)節(jié)意外情況的發(fā)生。在這里將要給出一個利用數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)快速排隊的模型，以使機場高效的服務(wù)，并使航空公司在盡量小的花費情況下，達到顧客滿意的目的。模型的基本假設(shè)

機場上所有要起飛的飛機，都必須使相同一條跑道，并且任何一架飛機在起飛的時候都需要完全地占有整條跑道，每架飛機占用的時間是一樣長的。這一假設(shè)可把整個時間分割成離散的等長的小時間段（也稱為起飛窗口寬度），在每個小時間段上可容納一架飛機完成起飛操作。第i架飛機由第j個時間段上起飛時，其所需費用僅與該飛機和時間位置有關(guān)，而與它前面是哪架飛機無關(guān)。即費用不是前面飛機的函數(shù)，因此這一假設(shè)可把對應(yīng)于不同排序的總費用都統(tǒng)一描述為一個線性函數(shù)。任何飛機從離開自己的通道口到達跑道入口處所需要的時間假定都一樣。同時為了避免有一大堆飛機擠在跑道入口處等待飛機（一般機場也不太可能這樣），這時如有另一架飛機需要緊急起飛，這就須將所有排在前面的飛機擠到一邊來騰地方，因此假設(shè)每架飛機都有立即進入跑道口的通道。這樣在須要調(diào)整次序時，只須在數(shù)據(jù)庫中的次序上進行調(diào)整，而不必對飛機實地重排。并且飛機須在為其指定的小時間段上才準(zhǔn)許離開自己的通道口。模型設(shè)計與可行性分析

如果在t0時刻僅有一架飛機或沒有要求起飛的飛機，則機場就直接安排其起飛或閑置。因此設(shè)在t0有n架飛機同時要求起飛。由假設(shè)1，可將n架飛機起飛所需要的總時間分成n個等長的小時間段（如?長）。下面如何安排哪架飛機在哪個時段上起飛要依賴于實際航班的花費和顧客的滿意程度來確定。設(shè)為Cij第i架飛機從第j個小時間段上起飛時所需一切費用之和，于是所有可能的排序帶來的費用計算有如下的費用距陣表示：

（1）

并設(shè)

Xij=0或1，當(dāng)?shù)趇架飛機在第j個時段上起飛時Xij=1，否則Xij=0

于是相應(yīng)地安排方案距陣為：

即第一架飛機排第2個窗口起飛，第2架排第一個窗口起飛…，最后一架排最后起飛。并由上表的安排結(jié)構(gòu)，知道（2）中的距陣滿足每行中僅有一個元素為1，即每個窗口上僅有一架飛機占用；該陣每列中也有一個元素為1，即每架飛機占用n個窗口中的一個。即變量Xij須滿足約束：

對于分派問題，已有專門為此種特殊結(jié)構(gòu)而設(shè)計的有效的解題算法，它被稱為Graver—Thrallprimal算法。對于1個隨機產(chǎn)生的具有16個變量的分派問題，最多只須2.9秒即可完成求解，而使用現(xiàn)代的計算機，對任意適當(dāng)個變量的指派問題，只須不到一秒鐘即可求得解。

同時，由于模型中費用系數(shù)陣（1）須要經(jīng)過量化，而他們可由下一段四中的公式求得。并由數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)進行計算，這一量化模型的過程須要另一個不到一秒鐘。因此整個模型的建立與求解所用時間是以秒為數(shù)量級的，故當(dāng)機場控制塔在面臨一串連珠炮一樣的起飛請求時都可幾乎立即對排序作出響應(yīng)。而飛機的起飛間隔遠不是以秒為數(shù)量級的。一般至少幾分鐘，因此模型是可行的。更重要的是。在設(shè)有意外發(fā)生的情況下，還可利用機場的原有時間表，由數(shù)據(jù)庫事先安排好起飛順序，并讓飛機安排起飛順序起飛，而唯一需要重新安排的情況僅僅發(fā)生在有飛機晚點或緊急的情況，而這時的運算也會在一秒鐘左右解決問題。而且由假設(shè)（3），也不會因改變而產(chǎn)生臨時的擁擠情況。四、模型中費用系數(shù)陣的量化

由于（1）中的Cij

是第i架飛機從第j個時間段上起飛的費用，它與一架航班的型號及運行費用和其上載客情況和他們的滿意程度有關(guān)，為簡化運算，把基本運行費設(shè)置為費用零點，而只考慮由于飛機延遲起飛而引起的費用。這一費用包括由于晚點而不再以最經(jīng)濟的速度而是以較快或最快速度飛行帶來的燃料損失；及乘客因耽誤下站轉(zhuǎn)機而重新安排旅途的損失；以及顧客因各種延遲帶來的不愉快而轉(zhuǎn)化的損失。將這三者分別歸入費用計算并簡記為：費用:1.燃料附加費2.乘客誤機費3.乘客不滿意的損失下面分別建立幾個費用的計算公式

1.燃料附加費

由于晚點，飛機必須以盡可能快的速度飛行，故燃料隨晚點的時間長短而變化，然而既使晚點，只要為達到最大時限，就可以以低于最大安全速度飛行。并在起飛后就可近似地保持常速，因此燃料消耗在時間內(nèi)應(yīng)恒定，由于不知道燃料消耗如何隨飛行速度變化，選用了近似的線性函數(shù)，即單位時間增加油耗的費用函數(shù)為：由此公式看出，飛機晚點越久，則耗油越多，直至它在離開時即以最大速度起飛（假設(shè)4）。

下面為了建模討論的方便，將上述公式中及以后要用到的一些參數(shù)給出一個總表：2.乘客誤機費

設(shè)為乘客耽誤了轉(zhuǎn)機而必須補償?shù)馁M用，這里取為常數(shù)（假設(shè)5）。如果對各人的補償費確實不同，則取為各人費用的數(shù)學(xué)期望----平均值，且重新安排旅程只發(fā)生在飛機晚點時間超過了時限時才發(fā)生，故費用如下計算

3.乘客不滿意的損失

由于飛機晚點越多，則乘客會越不滿意，如果僅晚點一兩分鐘，則顧客不會太不愿意；但如果晚點到誤了轉(zhuǎn)乘班機，則該乘客會頓時變得焦躁不安并且非常憤怒，這一情況可以適當(dāng)?shù)卣鰹橐粋€指數(shù)增長函數(shù)附加一個階躍函數(shù)，則總的費用函數(shù)為：

但是只要將要到達的飛機一準(zhǔn)備好降落，就可以準(zhǔn)許其降落的話，這模型仍適用，這只要將為了防止那些還未準(zhǔn)備好的飛機，在就緒之前就對其發(fā)出起飛的命令，置一架飛機在它預(yù)定起飛時間以前的某窗口起飛的損失為無窮大，并假如考慮1，2，3中的費用，得到計算費用的通式：4.排隊模型小結(jié)：

2)求解線性規(guī)劃模型（指派模型）的最優(yōu)解，則可確定哪架飛機在什么時刻起飛；

在正常運行情況下，上述小結(jié)中1），2）步驟僅須做一次即可按部就班地運行，只有當(dāng)意外發(fā)生時才啟用3）部分。

五.模型檢驗

最重要的模型檢驗即在于檢驗此模型是否具有意義，編了一個用單純形法解線性規(guī)劃的程序以及幾個簡單的例子來檢查模型運行的良好性，在后面第六部分中的具體結(jié)果中，可以看出所有結(jié)果都與所期待的直觀判斷相吻合。隨后，又進行了更徹底的檢驗；變動其中的參數(shù)，測試更為復(fù)雜的例子，以至實際運作此系統(tǒng)，如果實際運行的結(jié)果顯示出為航空公司節(jié)省了開支，同時又能維持顧客滿意度在一個可接受的水平，則此模型將取得圓滿成功。

下面先進行的是變動其中參數(shù)的檢驗，即在參數(shù)受到擾動的情況下模型是否穩(wěn)定的檢驗，如果這個模型中一個或幾個參數(shù)有輕微的偏離真值，而模型結(jié)果不致有太大的偏離最優(yōu)解，則可認為模型是穩(wěn)定的。另外,如果參數(shù)的微小變化帶來模型的劇烈變化，則希望確定哪個參數(shù)更敏感。這樣確定它時將利用更多的信息，以達到準(zhǔn)確。

下面將指派模型（4）表運輸模型：

由運輸模型的有關(guān)理論知：運輸問題有可行解，并對（9）這樣的運輸模型，一定有一個最優(yōu)且此最優(yōu)的所有分量都取整數(shù)值。又注意到約束條件（9）的限制，則可能的整數(shù)解一定非0即1，因此運輸問題等價于原問題（4）。將（9）式由目標(biāo)函數(shù)的向量形式（見（4）式定義）表出：

六、計算機模擬模型

為了了解模型運行的良好性，以及本模型的特點，用下述幾個計算機模擬例子來進行演示。

顯然；理論模型要比計算機模型要少受限制。為了編程簡單并說明問題，在原有的基本假定基礎(chǔ)上，再添加如下具體假定：

1.

1、在每一窗口至多有三架飛機已準(zhǔn)備好可以起飛，當(dāng)僅有兩架飛機準(zhǔn)備好的情況發(fā)生時，可加入一個虛擬變量，以其對相應(yīng)的費用系數(shù)都為0即可。2、憑直觀給模型指定了參數(shù)值，在實際中，這些值應(yīng)該通過實驗室或調(diào)查獲得：

每一個起飛窗口為一分鐘長，即任何飛機起飛需要至多一分鐘，而且其他飛機不準(zhǔn)在一分鐘內(nèi)占用跑道；

設(shè)有飛機降落情況；

誤轉(zhuǎn)機的賠償費為每人＄350；

誤了轉(zhuǎn)機的乘客的憤怒長度等價于被耽誤了15分鐘的乘客的兩倍。

例1（具有使最多乘客的飛機先走的功能）

考慮在早晨6：00，三架飛機同時要求起飛設(shè)他們的型號相同，有距此機場相同距離的終點機場，（但可能飛往不同城市的機場）。設(shè)三架飛機為A，B，C。并且他們都預(yù)定在7：20到達終點，但A飛機上有350名乘客；B飛機上有100名；C飛機上有400名。且每架飛機上都有100名乘客要求轉(zhuǎn)機，計算結(jié)果見表1。

例2（具有使晚點飛機最久者先走的功能）

當(dāng)飛機C準(zhǔn)備離開之際，飛機D要求緊急起飛。飛機D已經(jīng)晚點18分鐘，它若想按時在7：06分到達終點，就必須在2分鐘內(nèi)起飛。其上有200名乘客，150人要求轉(zhuǎn)機，表2給出了結(jié)果

例3（具有按情況決定先后的功能）

假設(shè)又過了兩分鐘，這時D和A已走，剩下B已經(jīng)晚點3分鐘，而另一架飛機E在此刻要求起飛。設(shè)E有如下條件：

1）按時準(zhǔn)備就緒；

2）在可按時到達終點（7：42）之前，還富余42分鐘可以閑置；（3）機上有122名乘客，89人要求轉(zhuǎn)機；（4）晚點增加的費用為每分鐘＄450。

編程序來解此題，如所設(shè)引入一個虛擬變量，飛機X，這一飛機的一切費用系數(shù)都為0。得到如下結(jié)果：

在直觀上不明顯誰應(yīng)先走，事實上，似乎應(yīng)讓B先走好些，但可能由于E在高速飛行時增加的運行費用太昂貴及機上乘客的緣故，使模型選定讓E先走。

歷史ⅱ岳麓版第13課交通與通訊的變化資料精品課件歡迎使用[自讀教材·填要點]一、鐵路，更多的鐵路1．地位鐵路是

建設(shè)的重點，便于國計民生，成為國民經(jīng)濟發(fā)展的動脈。2．出現(xiàn)1881年，中國自建的第一條鐵路——唐山

至胥各莊鐵路建成通車。1888年，宮廷專用鐵路落成。交通運輸開平3．發(fā)展(1)原因：①甲午戰(zhàn)爭以后列強激烈爭奪在華鐵路的

。②修路成為中國人

的強烈愿望。(2)成果：1909年

建成通車；民國以后，各條商路修筑權(quán)收歸國有。4．制約因素政潮迭起，軍閥混戰(zhàn)，社會經(jīng)濟凋敝，鐵路建設(shè)始終未入正軌。修筑權(quán)救亡圖存京張鐵路二、水運與航空1．水運(1)1872年,

正式成立，標(biāo)志著中國新式航運業(yè)的誕生。(2)1900年前后，民間興辦的各種輪船航運公司近百家，幾乎都是在列強排擠中艱難求生。2．航空(1)起步：1918年，附設(shè)在福建馬尾造船廠的海軍飛機工程處開始研制

。(2)發(fā)展：1918年，北洋政府在交通部下設(shè)“

”；此后十年間，航空事業(yè)獲得較快發(fā)展。輪船招商局水上飛機籌辦航空事宜處三、從驛傳到郵政1．郵政(1)初辦郵政：1896年成立“大清郵政局”，此后又設(shè)

，郵傳正式脫離海關(guān)。(2)進一步發(fā)展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驛站；1920年，中國首次參加

。郵傳部萬國郵聯(lián)大會2．電訊(1)開端：1877年，福建巡撫在

架設(shè)第一條電報線，成為中國自辦電報的開端。(2)特點：進程曲折，發(fā)展緩慢，直到20世紀(jì)30年代情況才發(fā)生變化。3．交通通訊變化的影響(1)新式交通促進了經(jīng)濟發(fā)展，改變了人們的通訊手段和

，

轉(zhuǎn)變了人們的思想觀念。(2)交通近代化使中國同世界的聯(lián)系大大增強，使異地傳輸更為便捷。(3)促進了中國的經(jīng)濟與社會發(fā)展，也使人們的生活

。臺灣出行方式多姿多彩[合作探究·提認知]

電視劇《闖關(guān)東》講述了濟南章丘朱家峪人朱開山一家，從清末到九一八事變爆發(fā)闖關(guān)東的前塵往事。下圖是朱開山一家從山東輾轉(zhuǎn)逃亡到東北途中可能用到的四種交通工具。依據(jù)材料概括晚清中國交通方式的特點，并分析其成因。提示：特點：新舊交通工具并存(或：傳統(tǒng)的帆船、獨輪車，近代的小火輪、火車同時使用)。

原因：近代西方列強的侵略加劇了中國的貧困，阻礙社會發(fā)展；西方工業(yè)文明的沖擊與示范；中國民族工業(yè)的興起與發(fā)展；政府及各階層人士的提倡與推動。[串點成面·握全局]一、近代交通業(yè)發(fā)展的原因、特點及影響1．原因(1)先進的中國人為救國救民，積極興辦近代交通業(yè)，促進中國社會發(fā)展。(2)列強侵華的需要。為擴大在華利益，加強控制、鎮(zhèn)壓中國人民的反抗，控制和操縱中國交通建設(shè)。(3)工業(yè)革命的成果傳入中國，為近代交通業(yè)的發(fā)展提供了物質(zhì)條件。2．特點(1)近代中國交通業(yè)逐漸開始近代化的進程，鐵路、水運和航空都獲得了一定程度的發(fā)展。(2)近代中國交通業(yè)受到西方列強的控制和操縱。(3)地域之間的發(fā)展不平衡。3．影響(1)積極影響：促進了經(jīng)濟發(fā)展，改變了人們的出行方式，一定程度上轉(zhuǎn)變了人們的思想觀念；加強了中國與世界各地的聯(lián)系，豐富了人們的生活。(2)消極影響：有利于西方列強的政治侵略和經(jīng)濟掠奪。1．李鴻章1872年在上海創(chuàng)辦輪船招商局，“前10年盈和，成為長江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立之勢”。這說明該企業(yè)的創(chuàng)辦 (

)A．打破了外商對中國航運業(yè)的壟斷B．阻止了外國對中國的經(jīng)濟侵略C．標(biāo)志著中國近代化的起步D．使李鴻章轉(zhuǎn)變?yōu)槊褡遒Y本家解析：李鴻章是地主階級的代表，并未轉(zhuǎn)化為民族資本家；洋務(wù)運動標(biāo)志著中國近代化的開端，但不是具體以某個企業(yè)的創(chuàng)辦為標(biāo)志；洋務(wù)運動中民用企業(yè)的創(chuàng)辦在一定程度上抵制了列強的經(jīng)濟侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D三項表述都有錯誤。答案：A二、近代以來交通、通訊工具的進步對人們社會生活的影響(1)交通工具和交通事業(yè)的發(fā)展，不僅推動各地經(jīng)濟文化交流和發(fā)展，而且也促進信息的傳播，開闊人們的視野，加快生活的節(jié)奏，對人們的社會生活產(chǎn)生了深刻影響。(2)通訊工具的變遷和電訊事業(yè)的發(fā)展，使信息的傳遞變得快捷簡便，深刻地改變著人們的思想觀念，影響著人們的社會生活。2．清朝黃遵憲曾作詩曰：“鐘聲一及時，頃刻不少留。雖有萬鈞柁，動如繞指柔?！边@是在描寫 (

)A．電話B．汽車C．電報 D．火車解析：從“萬鈞柁”“動如繞指柔”可推斷為火車。答案：D[典題例析][例1]上海世博會曾吸引了大批海內(nèi)外人士利用各種交通工具前往參觀。然而在19世紀(jì)七十年代，江蘇沿江居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是 (

)A．江南制造總局的汽車B．洋人發(fā)明的火車C．輪船招商局的輪船D．福州船政局的軍艦[解析]由材料信息“19世紀(jì)七十年代，由江蘇沿江居民到上?！笨膳袛嘧钣锌赡苁禽喆猩叹值妮喆?。[答案]

C[題組沖關(guān)]1．中國近代史上首次打破列強壟斷局面的交通行業(yè)是(

)A．公路運輸 B．鐵路運輸C．輪船運輸 D．航空運輸解析：根據(jù)所學(xué)1872年李鴻章創(chuàng)辦輪船招商局，這是洋務(wù)運動中由軍工企業(yè)轉(zhuǎn)向兼辦民用企業(yè)、由官辦轉(zhuǎn)向官督商辦的第一個企業(yè)。具有打破外輪壟斷中國航運業(yè)的積極意義，這在一定程度上保護了中國的權(quán)利。據(jù)此本題選C項。答案：C2.右圖是1909年《民呼日報》上登載的一幅漫畫，其要表達的主題是(

)A．帝國主義掠奪中國鐵路權(quán)益B．西方國家學(xué)習(xí)中國文化C．西方列強掀起瓜分中國狂潮D．西方八國組成聯(lián)軍侵略中國解析：從圖片中可以了解到各國舉的燈籠是火車形狀，20世紀(jì)初的這一幅漫畫正反映了帝國主義掠奪中國鐵路權(quán)益。B項說法錯誤，C項不能反映漫畫的主題，D項時間上不一致。答案：A[典題例析][例2]

(2010·福建高考)上海是近代中國茶葉的一個外銷中心。1884年，福建茶葉市場出現(xiàn)了茶葉收購價格與上海出口價格同步變動的現(xiàn)象。與這一現(xiàn)象直接相關(guān)的近代事業(yè)是(

)A．電報業(yè) B．大眾報業(yè)C．鐵路交通業(yè) D．輪船航運業(yè)[解析]材料主要反映了信息交流的快捷，故選A。[答案]

A[題組沖關(guān)]3．假如某愛國實業(yè)家在20世紀(jì)初需要了解全國各地商業(yè)信息，可采用的最快捷的方式是 (

)A．乘坐飛機赴各地了解B．通過無線電報輸送訊息C．通過互聯(lián)網(wǎng)D．乘坐火車赴各地了解解析：本題考查中國近代物質(zhì)生活的變遷。注意題干信息“20世紀(jì)初”“最快捷的方式”，因此應(yīng)選B，火車速度遠不及電報快。20世紀(jì)30年代民航飛機才在中國出現(xiàn)，互聯(lián)網(wǎng)出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代。答案：B4．下列不屬于通訊工具變遷和電訊事業(yè)發(fā)展影響的是(

)A．信息傳遞快捷簡便