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數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板資料僅供參考文件編號(hào):2022年4月數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)參考模板版本號(hào):A修改號(hào):1頁(yè)次:1.0審核:批準(zhǔn):發(fā)布日期:2015-2016第1學(xué)期數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)

題目:醫(yī)療保障基金額度的分配姓名:學(xué)號(hào):班級(jí):時(shí)間:摘要隨著人們生活水平的提高及社會(huì)制度的發(fā)展,醫(yī)療保險(xiǎn)事業(yè)顯得越來(lái)越重要,各企業(yè)也隨之越來(lái)越注重員工的福利措施,醫(yī)療保障基金額度的分配也成為了人們的關(guān)注熱點(diǎn)。擴(kuò)大醫(yī)療保障受益人口也是政府和企業(yè)面臨的難題,因而根據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),合理的構(gòu)造出擬合曲線,分析擬合函數(shù)的擬合程度,從而為基金的調(diào)配以及各種分配方案做方向上的指導(dǎo)。本文針對(duì)A,B兩個(gè)公司關(guān)于醫(yī)療保障基金額度的合理分配問(wèn)題,根據(jù)兩公司從1980-2003年統(tǒng)計(jì)的醫(yī)療費(fèi)用支出數(shù)據(jù),科學(xué)地運(yùn)用了MATLAB軟件并基于最小二乘法則進(jìn)行了多項(xiàng)式曲線擬合,成功建立了醫(yī)療保障基金額度的分配模型。最后,對(duì)不同階數(shù)的多項(xiàng)式擬合曲線的擬合程度進(jìn)行了殘差分析,并輸出相關(guān)結(jié)果,得出擬合程度與多項(xiàng)式階數(shù)的關(guān)聯(lián)。此問(wèn)題建立在收集了大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,以及利用了MATLAB編程擬合曲線,使問(wèn)題更加簡(jiǎn)單,清晰。該模型經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)母脑?,可以推廣到股票預(yù)測(cè),市場(chǎng)銷(xiāo)售額統(tǒng)計(jì)等相關(guān)領(lǐng)域。關(guān)鍵字:matlab,最小二乘多項(xiàng)式擬合,階數(shù),殘差分析一.問(wèn)題重述某集團(tuán)下設(shè)兩個(gè)子公司:子公司A、子公司B。各子公司財(cái)務(wù)分別獨(dú)立核算。每個(gè)子公司都實(shí)施了對(duì)雇員的醫(yī)療保障計(jì)劃,由各子公司自行承擔(dān)雇員的全部醫(yī)療費(fèi)用。過(guò)去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,每個(gè)子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例,在各年度都保持相對(duì)穩(wěn)定。各子公司各年度的醫(yī)療費(fèi)用支出見(jiàn)下表(附錄1)。試?yán)枚囗?xiàng)式數(shù)據(jù)擬合,得到每個(gè)公司醫(yī)療費(fèi)用變化函數(shù),并繪出標(biāo)出原始數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)曲線。需給出三種不同階數(shù)的多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合,并分析擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的擬合程度。二.模型假設(shè)1.假設(shè)A,B兩公司在1980年底才發(fā)放醫(yī)療保障基金。2.假設(shè)在1980—2003年期間,A,B公司的雇員健康狀況基本穩(wěn)定,即沒(méi)有大規(guī)模的疾病出現(xiàn)。3.假設(shè)在年期間,每個(gè)子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例,在各年度都保持相對(duì)穩(wěn)定。三.問(wèn)題分析解決醫(yī)療保障基金額度的分配問(wèn)題,就是為了固定資源得到最優(yōu)配置。在此問(wèn)題中,由于給定的均是離散的數(shù)據(jù)點(diǎn),并且屬于非線性相關(guān)的點(diǎn),因此我們采用最小二乘法的思想對(duì)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,分別作出了不同階數(shù)(一階,二階,三階)的擬合曲線,并對(duì)各擬合曲線的擬合程度進(jìn)行了定性和定量的分析,本文主要采用的是圖示法和殘差分析法。由題設(shè)知,A,B兩個(gè)子公司在1980-2003年的醫(yī)療保障費(fèi)用支出已給定,利用matlab中的繪圖函數(shù)plot函數(shù)先將給定的離散點(diǎn)繪出,觀察圖形的基本走勢(shì),最終確定出利用最小二乘法的基本思想,將多項(xiàng)式作為基函數(shù)對(duì)已知節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擬合,即多項(xiàng)式擬合。為了達(dá)到更好的擬合程度,分別采用了不同階數(shù)的曲線擬合,并對(duì)最終擬合結(jié)果進(jìn)行誤差分析。采用最小二乘法則進(jìn)行擬合曲線時(shí),實(shí)際上是求一個(gè)系數(shù)向量,該系數(shù)向量是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)。在matlab中,主要用polyfit函數(shù)求得擬合多項(xiàng)式的系數(shù),再用polyval函數(shù)按所得多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。1.polyfit函數(shù)的調(diào)用格式:[P,S]=polyfit(X,Y,n)2.polyval函數(shù)的調(diào)用格式:Y=polyval(P,X)說(shuō)明:X,Y為已知離散數(shù)據(jù)點(diǎn),n為多項(xiàng)式階數(shù),返回P為冪次從高到低的多項(xiàng)式系數(shù)向量,是一個(gè)行向量。S是一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),返回采樣點(diǎn)的誤差向量。本題中,將年分,公司A,B的保障基金的數(shù)值分別構(gòu)造成矩陣。X=1980:2003;A=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];B=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];其中X是年份矩陣,A是公司A的數(shù)值矩陣,B是公司B的數(shù)值矩陣。四.模型建立通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的分析,基于最小二乘曲線擬合的大量調(diào)研資料結(jié)果表明,采用多項(xiàng)式數(shù)據(jù)擬合所得到的擬合優(yōu)度較其他形式的基函數(shù)所得的擬合結(jié)果高,因此,本題中假定了所給定的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)是服從一般多項(xiàng)式的形式:。于是,以年份X作為自變量,醫(yī)療費(fèi)用支出作為因變量Y,根據(jù)散點(diǎn)圖的走勢(shì),對(duì)A,B兩子公司分別作了以下階數(shù)的數(shù)據(jù)擬合:直線趨勢(shì)方程:二階多項(xiàng)式趨勢(shì)方程:三階多項(xiàng)式趨勢(shì)方程:五階多項(xiàng)式趨勢(shì)方程:利用matlab軟件進(jìn)行了繪圖,殘差分析,相應(yīng)的程序源代碼見(jiàn)附錄。五.模型求解1.A子公司的相關(guān)數(shù)據(jù)擬合信息A公司的離散數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖:根據(jù)離散點(diǎn)圖的走勢(shì),確定擬合階數(shù)。A子公司不同階數(shù)擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較示意圖以及相應(yīng)的殘差變化圖如下:程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)附錄2:2.B子公司的相關(guān)數(shù)據(jù)擬合信息B子公司的離散數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖:根據(jù)離散點(diǎn)圖的走勢(shì),確定擬合階數(shù)。B子公司不同階數(shù)擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較示意圖以及相應(yīng)的殘差變化圖如下:程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)附錄2.六.模型分析與改進(jìn)1.模型分析與檢驗(yàn):本文主要采用的是基于matlab的多項(xiàng)式擬合,實(shí)現(xiàn)了對(duì)于給定離散數(shù)據(jù),在同一坐標(biāo)下繪出不同階數(shù)(一階,二階,三階,五階)的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的對(duì)比圖以及殘差變化圖,并將多項(xiàng)式系數(shù),殘差以表格形式輸出,整個(gè)建模過(guò)程直觀,清晰。下面具體從擬合值的準(zhǔn)確性來(lái)檢驗(yàn)?zāi)P偷膬?yōu)良性。方法一:對(duì)于模型的擬合程度,可直接將擬合函數(shù)和實(shí)際值繪制在同一坐標(biāo)下,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀的對(duì)比,從而判斷所得擬合函數(shù)的優(yōu)良。方法二:可以利用()(二范數(shù))來(lái)求取各階的實(shí)際數(shù)值與擬合函數(shù)值之間的波動(dòng)情況,簡(jiǎn)略的以此來(lái)鑒定該階數(shù)在特定的那種情況下的擬合程度。根據(jù)圖示以及殘差返回值可知,A,B兩子公司在采用多項(xiàng)式擬合時(shí),不同階數(shù)的擬合曲線都是相對(duì)穩(wěn)定的,比較而言,采用較高(n<=5)階進(jìn)行擬合時(shí),誤差會(huì)較小,擬合程度較為理想,但當(dāng)階數(shù)達(dá)到一定程度時(shí),會(huì)出現(xiàn)龍格現(xiàn)象,即擬合的病態(tài)問(wèn)題。因此,為了避免這種病態(tài)的產(chǎn)生,在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中,應(yīng)盡可能采用低階進(jìn)行擬合,對(duì)于實(shí)現(xiàn)要求較高次數(shù)的多項(xiàng)式擬合,應(yīng)采用分段,低次的多項(xiàng)式進(jìn)行組合擬合。2.模型評(píng)價(jià):模型優(yōu)點(diǎn):(1)本文對(duì)A,B公司在進(jìn)行四個(gè)模型的建模時(shí),基函數(shù)采用的是相對(duì)簡(jiǎn)單,形式較統(tǒng)一化的多項(xiàng)式,整個(gè)擬合過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單,便于理解。(2)利用matlab繪圖功能實(shí)現(xiàn)了對(duì)于給定離散數(shù)據(jù),在同一坐標(biāo)下繪出不同階數(shù)(一階,二階,三階,五階)的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的對(duì)比圖以及殘差變化圖,對(duì)后續(xù)的模型分析和檢驗(yàn)提供了較為直觀的圖形依據(jù)。(3)利用matlab標(biāo)準(zhǔn)輸出,將不同階數(shù)(一階,二階,三階,五階)的多項(xiàng)式系數(shù),殘差以表格形式打印出來(lái),對(duì)后續(xù)的模型分析和檢驗(yàn)提供了較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)依據(jù)。模型缺點(diǎn):(1)在建立模型時(shí),只是對(duì)文中所給定的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的擬合,功能相對(duì)單一,可擴(kuò)展性差。(2)模型的準(zhǔn)確性直接影響模型的正確性,在數(shù)據(jù)處理方面存一定的不足,影響模型的正確性。(3)按題目要求本文只是簡(jiǎn)單的運(yùn)用多項(xiàng)式擬合,得到每個(gè)公司醫(yī)療費(fèi)用變化函數(shù),適用性不強(qiáng)。3模型改進(jìn)和推廣:(1)在擬合時(shí)可用較為復(fù)雜的一般的擬合函數(shù)代替簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式擬合,得到每個(gè)公司醫(yī)療費(fèi)用變化函數(shù),使得結(jié)果更加精確,(2)過(guò)去的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明,每個(gè)子公司的雇員人數(shù)以及每一年齡段的雇員比例,在各年度都保持相對(duì)穩(wěn)定,本文建立的模型可用來(lái)預(yù)測(cè)2003年之后各子公司各年度的醫(yī)療費(fèi)用支出情況。(3)本文建立的模型可用來(lái)預(yù)測(cè)各部分比例較固定的事物的發(fā)展趨勢(shì),比如預(yù)測(cè)某一地區(qū)短期內(nèi)某一類產(chǎn)品的幾類子產(chǎn)品的銷(xiāo)售量;(4)本文建立的模型可推廣到市場(chǎng)預(yù)測(cè),對(duì)市場(chǎng)調(diào)查后的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算、處理以及股票預(yù)測(cè)等應(yīng)用領(lǐng)域。七.建模心得數(shù)學(xué)建模,對(duì)于我們數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生,但又不是太了解。本學(xué)期開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)模型,使我們真正知道了什么叫做數(shù)學(xué)建模。在學(xué)習(xí)之中,鍛煉了我們的能力,獲益非淺。真正用到了數(shù)學(xué)的理論知識(shí)去解決我們?cè)趯?shí)際生活上的一些問(wèn)題。從最初的“建?!焙?jiǎn)介,我們了解到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用之廣、之深、之切。小到日常的衣食住行,大到科技進(jìn)步,人類生存。龐大的數(shù)學(xué)知識(shí)體系良好地規(guī)范我們的生活,與我們每個(gè)人都息息相關(guān),并隨著科技的進(jìn)步,數(shù)學(xué)與我們的關(guān)系也越來(lái)越密切。終于明白了,為什么數(shù)學(xué)是真正的科學(xué)工具,是人類發(fā)展進(jìn)步的基礎(chǔ)學(xué)科,它既能規(guī)范現(xiàn)在,又能預(yù)測(cè)未來(lái)。在這次實(shí)踐中,我們選擇的是關(guān)于醫(yī)療保障基金額度的分配模型,可以說(shuō)是一個(gè)小模型,里面所用到的知識(shí)和方法也是比較容易的。在分配到相應(yīng)題目之后,全體組員就開(kāi)始著手分頭行動(dòng),經(jīng)過(guò)三天的努力模型基本建成,通過(guò)三天的互相交流,我們感覺(jué)到團(tuán)隊(duì)精神是數(shù)學(xué)建模是否取得好成績(jī)的最重要的因素,一隊(duì)四個(gè)人要相互支持,相互鼓勵(lì)。在今后的學(xué)習(xí)生活中,我們應(yīng)當(dāng)將理論與實(shí)踐相結(jié)合,努力提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)水平,盡早成為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人。參考文獻(xiàn):[1]姜啟源謝金星葉俊,數(shù)學(xué)模型,北京:高等教育出版社,2011年.[2]李慶揚(yáng)王能超易大義,數(shù)值分析,北京:清華大學(xué)出版社,2008年.[3]劉衛(wèi)國(guó),MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用,北京:高等教育出版社,2009年.[4]GeraldRecktenwald,數(shù)值方法和matlab實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用,北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2004年.附錄:附錄1:年度公司A公司B198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000200120022003附錄2(matlab程序源代碼):X=1980:1:2003;Y=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];xfit=linspace(1980,2003);p1=polyfit(X,Y,1);yfit1=polyval(p1,xfit);r1=Y-polyval(p1,X);p2=polyfit(X,Y,2);yfit2=polyval(p2,xfit);r2=Y-polyval(p2,X);p3=polyfit(X,Y,3);yfit3=polyval(p3,xfit);r3=Y-polyval(p3,X);p5=polyfit(X,Y,5);yfit5=polyval(p5,xfit);r5=Y-polyval(p5,X);fprintf('\nCurvecoefficients\n');fprintf('constantxx^2x^3x^4x^5\n');fprintf('liner');fprintf('%14e',fliplr(p1));fprintf('\n');%fliplr(p1)對(duì)p1實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)fprintf('quadratic');fprintf('%14e',fliplr(p2));fprintf('\n');fprintf('cubic');fprintf('%14e',fliplr(p3));fprintf('\n');fprintf('higher');fprintf('%14e',fliplr(p5));fprintf('\n');subplot(2,1,1);plot(X,Y,'-p',xfit,yfit1,'g-',xfit,yfit2,'m:',xfit,yfit3,'b:',xfit,yfit5,'y-');legend('data','liner','quadratic','cubic','higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性,二階,三階,五階的擬合曲線與原始數(shù)據(jù)比較圖');subplot(2,1,2);plot(X,r1,'-o',X,r2,'--s',X,r3,':d',X,r5,'-*');legend('liner','quadratic','cubic','higher');xlabel('X');ylabel('Y');title('線性,二階,三階,五階的擬合曲線殘差變化圖');fprintf('\nresiduals\n||r||_2maxerror\n');fprintf('liner%%\n',norm(r1),norm(r1,inf));%norm(r1)求矩陣r1的二范數(shù)。fprintf('quadratic%%\n',norm(r2),norm(r2,inf));fprintf('cubic%%\n',norm(r3),norm(r3,inf));fprintf('higher%%\n',norm(r5),norm(r5,inf));附錄3(程序用到的相關(guān)數(shù)據(jù)):X=1980:2003;A=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];B=[,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,];其中X是年份矩陣,A是公司A的數(shù)值矩陣,B是公司B的數(shù)值矩陣。附錄4(最終運(yùn)行結(jié)果):A子公司的運(yùn)行結(jié)果:Curvecoefficientsconstantxx^2x^3x^4liner+002quadratic+004+001cubic+006+004+000higher+012+009+006+003x^5根據(jù)以上運(yùn)行所得數(shù)據(jù),進(jìn)行線性組合,從

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