專題2.6 絕對值的綜合題型2021-2022學年七年級數(shù)學上冊教材同步配套講練(解析版)_第1頁
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文檔簡介

《講亮點》2021-2022學年七年級數(shù)學上冊教材同步配套講練專題2.6絕對值的綜合題型【教學目標】掌握絕對值的含義;理解絕對值表示點的距離【教學重難點】1、絕對值的非負性;2、絕對值的分類討論【知識亮解】絕對值與偶次乘方的非負性【方法點撥】直接利用絕對值及偶次乘方的非負數(shù)的性質(zhì)分別得出字母的值,進而得出答案.【例1】★已知實數(shù)m,n互為倒數(shù),且|m|=1,則m2﹣2mn+n2的值為()A.1 B.2 C.0 D.﹣2【答案】C【分析】m,n互為倒數(shù),則mn=1;|m|=1,則m=±1,求出n代入所求的代數(shù)式即可求解.【解答】解:∵m,n互為倒數(shù),∴mn=1,∵|m|=1,∴m=±1,當m=1時,n=1;當m=﹣1時,n=﹣1;∴m2﹣2mn+n2=(m﹣n)2=0.故選:C.【知識點】倒數(shù)、絕對值、實數(shù)的性質(zhì)【例2】★若|x|=3,|y|=5,|x﹣y|=y(tǒng)﹣x,那么x+y的值為()A.8 B.﹣2 C.﹣2或8 D.2或8【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可求解x,y值,再將x,y值代入計算即可求解,注意分類討論.【解答】解:∵|x|=3,|y|=5,∴x=±3,y=±5,∵|x﹣y|=y(tǒng)﹣x,∴x<y,∴x=3,y=5,或x=﹣3,y=5,當x=3,y=5時,x+y=3+5=8;當x=﹣3,y=5時,x+y=﹣3+5=2.故x+y的值為2或8.故選:D.【知識點】絕對值、有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法【例3】★在數(shù)軸上,表示數(shù)x的點的位置如圖所示,則化簡|x+1|﹣|x﹣2|結(jié)果為()A.3 B.﹣3 C.2x﹣1 D.1﹣2x【答案】C【分析】直接利用數(shù)軸得出x的取值范圍,再利用絕對值的性質(zhì)化簡得出答案.【解答】解:由數(shù)軸可得:﹣1<x<0,則x+1>0,x﹣2<0,故|x+1|﹣|x﹣2|=x+1﹣[﹣(x﹣2)]=x+1+x﹣2=2x﹣1.故選:C.【知識點】絕對值、數(shù)軸【例4】★如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值,P=|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù),則此值為.【答案】1【分析】由于P=|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù),即P的值與x無關,因此化簡后就不含有x項,根據(jù)絕對值的化簡得出答案即可.【解答】解:∵P=|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù),∴P的值與x無關,即,化簡絕對值后就不含有x項,也就是去掉絕對值號以后,x項的系數(shù)之和為0,又∵﹣4﹣5﹣6+7+8=0,∴1﹣4x>0,1﹣5x>0,1﹣6x>0而1﹣7x<0,1﹣8x<0,即<x<,此時P=1﹣4x+1﹣5x+1﹣6x+7x﹣1+8x﹣1=1,故答案為:1.【知識點】絕對值【例5】★已知|x|=3,|y|=7,且xy<0,則x+y的值等于.【答案】±4【分析】根據(jù)絕對值的意義得到x=±3,y=±7,由xy<0,則x=3,y=﹣7或x=﹣3,y=7,然后把它們分別代入x+y中計算即可.【解答】解:∵|x|=3,|y|=7,∴x=±3,y=±7,而xy<0,∴x=3,y=﹣7或x=﹣3,y=7,當x=3,y=﹣7時,x+y=3﹣7=﹣4;當x=﹣3,y=7時,x+y=﹣3+7=4.故答案為±4.【知識點】絕對值【例6】★(2019?沙坪壩區(qū)校級模擬)已知|a+1|=﹣(b﹣2019)2,則ab=.【分析】對原式進行移項,可得|a+1|+(b﹣2019)2=0根據(jù)絕對值、偶次方的非負性,求出a.、b的值,即解【解答】解:原式移項,|a+1|+(b﹣2019)2=0,得a+1=0,b﹣2019=0,解得a=﹣1,b=2019∴ab=(﹣1)2019=﹣1故答案為﹣1【點評】此題主要考查絕對值、偶次方的非負性性質(zhì),解題的關鍵,兩非負數(shù)之和為零,那各項均為零.【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)即可列出方程組求得a,b,c的值,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷.【答案】解:根據(jù)題意得:解得:△ABC的周長是:24+18+30=72.故答案是:72.【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理,能夠正確求出a、b、c的值是解題的關鍵.絕對值的分類討論【例1】★★若有理數(shù)a≠0,b≠0,則的值為.【答案】【例2】★★若a、b、c為有理數(shù),且=-1,求的值.【答案】1【例3】★★已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍,且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點之間的距離為8,求這兩個數(shù).分析:從題目中尋找關鍵的解題信息,“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號相反,即一正一負。那么究竟誰是正數(shù)誰是負數(shù),我們應該用分類討論的數(shù)學思想解決這一問題。若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè)呢?解:設甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得:,(1)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點兩側(cè):若x在原點左側(cè),y在原點右側(cè),即x<0,y>0,則4y=8,所以y=2,x=-6若x在原點右側(cè),y在原點左側(cè),即x>0,y<0,則-4y=8,所以y=-2,x=6(2)數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點位于原點同側(cè):若x、y在原點左側(cè),即x<0,y<0,則-2y=8,所以y=-4,x=-12若x、y在原點右側(cè),即x>0,y>0,則2y=8,所以y=4,x=12【例4】★★如果是非零有理數(shù),且,那么的所有可能的值為().A.0B.1或一lC.2或一2D.0或一2因為a+b+c=0,所以a、b、c、存在兩種情況,即兩個正數(shù)一個負數(shù)和一個正數(shù)兩個負數(shù)。

當兩個正數(shù)一個負數(shù)時a/|a|+b/|b|+c/|c|=1,abc/|abc|=-1,

所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0

當一個正數(shù)兩個負數(shù)時a/|a|+b/|b|+c/|c|=-1,abc/|abc|=1,

所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=2【例5】★已知,且,那么=.因為a>b>c,a最大為1,所以b只能是-2,c<b所以只能是-3,又因為-1>-2所以a=1或-1b=-2c=-3所以a+b+c=-6或-4.【例6】★★已知是有理數(shù),,且,那么.|a-b|≤9,|c-d|≤16,

且25=|a-b-c+d|=|(a-b)+(d-c)|≤|a-b|+|d-c|≤9+16

顯然,上式中只能“=”成立

可見a-b與d-c同號,且|a-b|=9,|d-c|=16

于是|b-a|-|d-c|=9-16=-7【例7】★★已知互為相反數(shù),試求代數(shù)式:的值.思路點撥運用相反數(shù)、絕對值、非負數(shù)的概念與性質(zhì),先求出的值.根據(jù)已知|ab-2|與|b-1|互為相反數(shù),可得b=1,a=2把a,b的值代入原式=1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(2013×2014)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2013-1/2014=1-1/2014=2013/2014【例8】★★有3個的值使等式成立,則的值為.解:①若|x-2|-1=a,

當x≥2時,x-2-1=a,解得:x=a+3,a≥-1;

當x<2時,2-x-1=a,解得:x=1-a;a>-1;

②若|x-2|-1=-a,

當x≥2時,x-2-1=-a,解得:x=-a+3,a≤1;

當x<2時,2-x-1=-a,解得:x=a+1,a<1;

又∵方程有三個整數(shù)解,

∴可得:a=-1或1,根據(jù)絕對值的非負性可得:a≥0.

即a只能取1.故答案為1.【例9】★★設分別是一個三位數(shù)的百位、十位和個位數(shù)字,并且,則可能取得的最大值是.解:∵a、b、c分別是一個三位數(shù)的百位、十位和個位數(shù)字,并且a≤b≤c,

∴a最小為1,c最大為9,

∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a=2c-2a,

∴|a-b|+|b-c|+|c-a|可能取得的最大值是2×9-2×1=16.故答案為16.【例10】★★★使等式成立的的值有3個,則的值為.【答案】2【例11】★若,,且,求的值.知x<y則x只能去-5,y可以取3或-3,則=15或-15【例12】★若,,且,求?|a|=4,a=4或-4,|b|=2,b=2或-2,ab>0,a=4,b=2或a=-4,b=-2,6或-6.【例13】★已知,,且,求的值.|a|=2,∴a=2或-2,|b|=4,∴b=4或-4,又∵a+b>0∴a=2,b=4或a=-2,b=4,∴=16或8.【例14】★★★有理數(shù)均不為零,且,設,試求代數(shù)式的值.解:由a,b,c均不為0,知b+c,c+a,a+b均不為0,

又a,b,c中不能全同號,故必一正二負或一負二正,

∴a=﹣(b﹣c),b=(c+a),c=﹣(a+b),

即,

∴中必有兩個同號,另一個符號其相反,

即其值為兩個+1,一個﹣1或兩個﹣1,一個+1,

∴,,

∴x19+99x+1914=1+99+1914=2014.【亮點訓練】【變式1】★已知和互為相反數(shù),那么等于.【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及偶次方的性質(zhì)分析得出答案.【答案】解:∵|a+4|和(b﹣3)2互為相反數(shù),∴a+4=0,b﹣3=0,∴a=﹣4,b=3,∴a+3b=﹣4+9=5.故答案為:5.【點睛】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì),正確得出a,b的值是解題關鍵.【變式2】★已知,則.【分析】對原式進行移項,可得|a+1|+(b﹣2019)2=0根據(jù)絕對值、偶次方的非負性,求出a.、b的值,即解【答案】解:原式移項,|a+1|+(b﹣2019)2=0,得a+1=0,b﹣2019=0,解得a=﹣1,b=2019∴ab=(﹣1)2019=﹣1故答案為﹣1【點睛】此題主要考查絕對值、偶次方的非負性性質(zhì),解題的關鍵,兩非負數(shù)之和為零,那各項均為零.【變式3】★如果|x﹣2y|+(x+y﹣3)2=0成立,那么xy=()A.1 B.2 C.9 D.16【分析】根據(jù)非負數(shù)的意義,得到方程組,解方程組求x、y的值.【解答】解:由|x﹣2y|+(x+y﹣3)2=0,得,解得∴xy=2.故選:B.【點評】本題考查了非負數(shù)的意義,解方程組的基本知識,需要熟練掌握.【知識點】非負數(shù)的性質(zhì):絕對值、解二元一次方程組、非負數(shù)的性質(zhì):偶次方【變式4】★若|x+y﹣5|+(xy﹣3)2=0,則x2+y2的值為()A.19 B.31 C.27 D.23【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得x+y﹣5=0,xy﹣3=0,整理后再利用完全平方公式展開并整理即可得【解答】解:根據(jù)題意得,x+y﹣5=0,xy﹣3=0,∴x+y=5,xy=3,∵(x+y)2=x2+2xy+y2=25,∴x2+y2=25﹣2×3=25﹣6=19.故選:A.【點評】本題考查了完全平方公式,非負數(shù)的性質(zhì),熟記公式的幾個變形公式對解題大有幫助.【知識點】完全平方公式、非負數(shù)的性質(zhì):絕對值、非負數(shù)的性質(zhì):偶次方【變式5】★若|x﹣1|+(y+1)2=0,則(xy)2019的值為()A.1 B.﹣2019 C.﹣1 D.2019【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出算式,求出x、y的值,計算即可.【解答】解:根據(jù)題意得x﹣1=0,y+1=0,解得x=1,y=﹣1,所以(xy)2019=(﹣1×1)2019=﹣1.故選:C.【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì),掌握當幾個非負數(shù)相加和為0時,則其中的每一項都必須等于0是解題的關鍵.【知識點】非負數(shù)的性質(zhì):絕對值、非負數(shù)的性質(zhì):偶次方【變式6】★★★若為有理數(shù),那么,下列判斷中:(1)若,則一定有;(2)若,則一定有;(3)若,則一定有;(4)若,則一定有.正確的是(填序號).解:(1)若a=-2,b=2,|a|=b,但是a≠b,故錯誤;

(2)若a=-3,b=-2,|a|>|b|,但是a<b,故錯誤;

(3)若a=-2,b=-4,|a|>b,但是|a|<|b|,故錯誤;

(4)若|a|=b,那么等號兩邊平方得a2=b2=(-b)2.故正確.故答案為:(4)【變式7】★★已知a、b、c均是不等于0的有理數(shù),則的值為.【分析】分a、b、c三個數(shù)都是正數(shù),兩個正數(shù),一個正數(shù),都是負數(shù)四種情況,根據(jù)絕對值的性質(zhì)去掉絕對值號,再根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則進行計算即可得解.【解答】解:①a、b、c三個數(shù)都是正數(shù)時,a>0,b>0,c>0,ab>0,ac>0,bc>0,abc>0,原式=1+1+1+1+1+1+1,=7;②a、b、c中有兩個正數(shù)時,不妨設為a>0,b>0,c<0,則ab>0,ac<0,bc<0,abc<0,原式=1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1,=﹣1;③a、b、c有一個正數(shù)時,不妨設為a>0,b<0,c<0,則ab<0,ac<0,bc>0,abc>0,原式=1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1,=﹣1;④a、b、c三個數(shù)都是負數(shù)時,即a<0,b<0,c<0,則ab>0,ac>0,bc>0,abc<0,原式=﹣1﹣1﹣1+1+1+1+1﹣1,=﹣1;綜上所述,原式的值為7或﹣1,故答案為:7或﹣1.【點評】本題考查了有理數(shù)的除法,絕對值的性質(zhì),難點在于根據(jù)三個數(shù)的正數(shù)的個數(shù)分情況討論.【變式8】★★★閱讀材料(1)絕對值的幾何意義是表示數(shù)軸上的點到原點的距離,如|﹣2|=2,|x|=2,x=+2或﹣2,特別地|x﹣1|=2表示“x”到“1”的距離是2,就是x﹣1=2或x﹣1=﹣2,所以x=3或﹣1;同理,當|x+1|=2,表示“x”到“﹣1”的距離是2,就是x+1=2或x+1=﹣2,所以x=﹣3或+1;根據(jù)以上說明,求下列各式中x的值.①|(zhì)x|=1②|x﹣2|=2③|x+1|=3(2)由(1)可知,|a|=a或﹣a,|b|=b或﹣b,|c|=c或﹣c,若abc≠0,求的值.(3)若abcd≠0,直接寫出+的值.【分析】(1)根據(jù)絕對值的意義進行計算即可;(2)(2)對a、b、c進行討論,即a、b、c同正、同負、兩正一負、兩負一正,然后計算得結(jié)果;(3)根據(jù)abcd≠0,得出共有5種情況,然后分別進行化簡即可.【解答】解:(1)①|(zhì)x|=1,x=±1;②|x﹣2|=2,x﹣2=2或x﹣2=﹣2,所以x=4或0,③|x+1|=3,x+1=3或x﹣1=﹣3,所以x=2或﹣2,(2)當abc≠0時,①a,b,c三個都是負數(shù)時,=﹣1﹣1﹣1=﹣3;②a,b,c三個都是正數(shù)時,=1+1+1=3;③a,b,c兩負一正,=﹣1﹣1+1=﹣1;④a,b,c兩正一負,=﹣1+1+1=1.故的值為±1,或±3.(3)①若a,b,c,d有一個負數(shù),三個正數(shù),則+=﹣1+3=2;②若a,b,c,d有二個負數(shù),二個正數(shù),則+=﹣2+2=0;③若a,b,c,d有三個負數(shù),一個正數(shù),則+═﹣3+1=﹣2;④若a,b,c,d有四個負數(shù),則+═﹣4;⑤若a,b,c,d有四個正數(shù),則+═4;故+的值為:±2,±4,0.【點評】本題考查了有理數(shù)的加法、絕對值的化簡,解決本題的關鍵是對a、b、c、d的分類討論.注意=±1(x>0,結(jié)果為1,x<0,結(jié)果為﹣1).【亮點檢測】1★★關于x的方程||x+3|-1|=a有三個解,則a的值為.解:①若|x+3|-1=a,

當x≥-3時,x+3-1=a,解得:x=a-2,a≥-1;

當x<-3時,-x-3-1=a,解得:x=-a-4;a>-1;

②若|x+3|-1=-a,

當x≥-3時,x+3-1=-a,解得:x=-a-2,a≤1;

當x<-3時,-x-3-1=-a,解得:x=a-4,a<1;

又∵方程有三個解,

∴可得:a=-1或1,而根據(jù)絕對值的非負性可得a≥0,

故答案為:1.12★=3,=2,且x>y,則x+y的值為()A、5B、1C、5或1D、—5或—1解:∵|x|=3,|y|=2,∴x=±3,y=±2,

又∵x>y,∴x=3,y=±2,∴x+y=5或x+y=1,故答案為D.3★若,則必有()a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、【答案】D4★★設,,則的值是().A.-3B.1C.3或-1D.-3或1原式=-a/|a|-b/|b|-c/|c|=-(a/|a|+b/|b|+c/|c|)因為a+b+c=0,abc>0所以a、b、c中一定有兩個是負數(shù),一個是正數(shù)。所以a/|a|、b/|b|、c/|c|中,有一個是1,兩個是-1所以原式=-(a/|a|+b/|b|+c/|c|)=15★當b=時,5-有最大值,最大值是.當b=0.5時,|2b-1|有最小值為0,即5-|2b-1|有最大值為56★若(a+3)2+|b﹣2|=0,求﹣2b+ab的值.【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b的值,然后代入代數(shù)式進行計算即可得解.【解答】解:由題意得,a+3=0,b﹣2=0,解得a=﹣3,b=2,所以,﹣2b+ab=﹣2×2+(﹣3)2=﹣4+9=5.【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì):幾個非負數(shù)的和為0時,這幾個非負數(shù)都為0.【知識點】非負數(shù)的性質(zhì):絕對值、非負數(shù)的性質(zhì):偶次方【分析】根據(jù)|a|≥0、a2≥0進行解答即可.【答案】解:﹣|x|+5有最大值是5,此時x是0;2(x﹣1)2﹣有最小值是﹣,此時x是1,故答案為:大;5;0;小;﹣;1.【點睛】本題考查的是偶次方和絕對值的非負性,掌握|a|≥0、a2≥0是解題的關鍵.7★|m+n|+(m+3)2=0,則mn的值是.【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì),可以求得m、n的值,從而可以求得mn的值,本題得以解決.【解析】∵|m+n|+(m+3)2=0,∴m+n=0,m+3=0,解得,m=﹣3,n=3,∴mn=(﹣3)3=﹣27,故答案為:﹣27.8.★★能使式子|5+x|=|5|+|x|成立的數(shù)x是()A.任意一個非正數(shù) B.任意一個正數(shù) C.任意一個非負數(shù) D.任意一個負數(shù)【分析】根據(jù)題意利用特殊值的方法,即可判斷出答案.【解答】解:當x=2時,|5+x|=|5+2|=7,而|5|+|x|=5+2=7,故A、D錯誤;當x=0時,|5+x|=|5+0|=5,而|5|+|x|=5+0=5,當x=﹣2時,|5+x|=|5+(﹣2)|=3,而|5|+|x|=5+2=7,故B錯誤,C正確;故選:C.【點評】此題主要考查了絕對值,關鍵是根據(jù)題意選擇符合條件的數(shù).9.★★如果x、y都是不為0的有理數(shù),則代數(shù)式的值是.【分析】此題要分三種情況進行討論:①當x,y中有二正;②當x,y中有一負一正;③當x,y中有二負;分別進行計算.【解答】解:①當x,y中有二正,=1+1=2;②當x,y中有一負一正,=1﹣1=0;③當x,y中有二負,=﹣1﹣1=﹣2.故代數(shù)式的值是2或﹣2或0.故答案為:2或﹣2或0.【點評】此題主要考查了絕對值,以及有理數(shù)的除法,關鍵是要分清分幾種情況,然后分別進行討論計算.10.★★當1﹣|3m﹣5|取的最大值時,3m﹣6=【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)得出m的值,進而

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