【中考數(shù)學】證明題：精選真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）

中考真題精編匯總中考真題精編匯總中考真題精編匯總中考真題精編匯總第頁碼99頁/總NUMPAGES總頁數(shù)99頁中考真題精編匯總中考真題精編匯總【中考數(shù)學】證明題：精選真題專項打破沖刺提分60題（含答案解析）一、解答題（共60小題）1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如圖1，連接BD，AF，則BDAF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF．3．（2015?鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE=CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點．（1）求證：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=°時，四邊形BFDE是正方形．4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=時，四邊形BFCE是菱形．9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）求證：四邊形BFDE為矩形．11．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．求證：AD=CE．16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上．（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫?。O(shè)兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結(jié)果保留π）．23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．求證：四邊形ABCD是矩形．25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．（1）當AB=2時，求△GEC的面積；（2）求證：AE=EF．26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．（1）求證：PN與⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；（2）求證：直線BF是⊙O的切線；（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結(jié)論．31．（2015?內(nèi)江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．（1）求證：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01）34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．（1）求證：∠A=∠AEB；（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D．①求證：四邊形AFF′D是菱形．②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長為半徑畫??；②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．38．（2015?龍巖）如圖，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求證：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的長．39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE．（1）求證：AB=AC；（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F．（1）求證：直線FG是⊙O的切線；（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E．（1）求證；∠EDB=∠EBD；（2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由．42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．（1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由．（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結(jié)CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①當AE=cm時，四邊形CEDF是矩形；②當AE=cm時，四邊形CEDF是菱形．（直接寫出答案，不需求闡明理由）44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）求證：CE2=EH?EA；（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經(jīng)過觀察，我們發(fā)現(xiàn)S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．類比扇形，我們探求扇環(huán)（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環(huán)被扇形截得的一部分交作扇環(huán)）的面積公式及其運用．（1）設(shè)扇環(huán)的面積為S扇環(huán)，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數(shù)式表示S扇環(huán)，并證明；（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環(huán)形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由．47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P．（1）求證：∠BCP=∠BAN（2）求證：=．48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE=CF；（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論．51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C．（1）求證：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半徑．52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結(jié)果保留根號）．53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．（1）求證：AF=EF；（2）求證：BF平分∠ABD．54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．（1）求證：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為；②連接OD，當∠PBA的度數(shù)為時，四邊形BPDO是菱形．55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點．（1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形；（2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM．56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM．（1）若AB=4，求的長；（結(jié)果保留π）（2）求證：四邊形ABMC是菱形．57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H．（1）求證：CF=CH；（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結(jié)論．58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求BG的長．59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD．（1）證明：AB=CD；（2）證明：DP?BD=AD?BC；（2）證明：BD2=AB2+AD?BC．60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求證：PB是的切線．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．

2015年全國中考數(shù)學證明題60例參考答案與試題解析一、解答題（共60小題）1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．考點：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD．已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結(jié)論；（3）由直角三角形ABC與菱形有相反的高，根據(jù)等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結(jié)論．解答：（1）證明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD=DC=BC，∴四邊形ADCF是菱形；（3）解：設(shè)菱形DC邊上的高為h，∴RT△ABC斜邊BC邊上的高也為h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面積為：DC?h=×=10．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的運用，菱形的面積計算，次要考查先生的推理能力．2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如圖1，連接BD，AF，則BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠ACB的關(guān)系，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得AC與DF的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)類似三角形的判定與性質(zhì)，可得GM與HN的關(guān)系，BM與FN的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案為：BD=AF；（2）證明：如圖：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了平移的性質(zhì)，類似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．3．（2015?鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE=CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點．（1）求證：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，則當∠EBA=20°時，四邊形BFDE是正方形．考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定．專題：證明題．分析：（1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可證△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四邊形BFDE對角線互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案為：20．點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．本題關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△BAE≌△BCF．4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考點：翻折變換（折疊成績）；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易證FG=FE，故由四邊相等證明四邊形DEFG為菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值．解答：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形；（2）解：設(shè)DE=x，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，F(xiàn)C2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．點評：本題次要考查了折疊的性質(zhì)、菱形的判定以及勾股定理，熟知折疊的性質(zhì)和菱形的判定方法是解答此題的關(guān)鍵．5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．考點：切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定；扇形面積的計算．專題：證明題．分析：（1）由∠BOD=60°E為的中點，得到，于是得到DE∥BC，根據(jù)CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；（2）連接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，根據(jù)扇形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E為的中點，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形；（2）連接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面積為6π，∴=6π，∴r=6．點評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證明是解題的關(guān)鍵．6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根據(jù)鄰補角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE；（2）根據(jù)“邊角邊”證明即可．解答：（1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及鄰補角的定義，利用同角的補角相等求出夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點．7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長．考點：切線的判定；扇形面積的計算．專題：證明題．分析：（1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結(jié)論；（2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據(jù)S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案；（3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案．解答：（1）證明：如圖1，連接OC，∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切線；（2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD?DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由題意知OD為△的中位線，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵點E是的中點，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB?cos45°=5，∴EM==4，則CE=CM+EM=7．點評：本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、扇形面積的計算和類似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關(guān)鍵．8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=4時，四邊形BFCE是菱形．考點：平行四邊形的判定；菱形的判定．專題：證明題．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．解答：（1）證明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當BE=4時，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4．點評：此題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，留意數(shù)形思想的運用，留意掌握輔助線的作法．9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據(jù)矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB===2，所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；③BD=CD時，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立；綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于分情況討論．10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）求證：四邊形BFDE為矩形．考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值．解答：證明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，則四邊形BFDE為矩形．點評：此題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，純熟掌握矩形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．11．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．考點：根的判別式；解一元二次方程-公式法．專題：證明題．分析：（1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據(jù)平方的非負性證明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據(jù)題意求出m的值．解答：（1）證明：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程總有實數(shù)根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個不相等的正整數(shù)根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1．點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的運用，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0?方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．考點：切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形；（2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進而求出AD．解答：（1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED．∵BC與⊙O相切于一點D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=AO=0D，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形AODE是菱形．（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半徑為．如圖2，連接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．點評：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及類似三角形的判定和性質(zhì)，是一個綜合題，難度中等．純熟掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：證明題．分析：（1）先根據(jù)EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據(jù)∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BP的長，根據(jù)EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據(jù)EQ=EF﹣QF即可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB與Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ?tan∠FBQ=BQ?tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．點評：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．考點：類似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．專題：證明題．分析：（1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到BE=CE；（2）連結(jié)DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用類似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．解答：（1）證明：連結(jié)AE，如圖，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）連結(jié)DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．點評：本題考查了類似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形類似時，應(yīng)留意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋覓類似三角形的普通方法是經(jīng)過作平行線構(gòu)造類似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．求證：AD=CE．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：作DG∥BC交AC于G，先證明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再證明△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結(jié)論．解答：證明：作DG∥BC交AC于G，如圖所示：則∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等邊三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；純熟掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是處理成績的關(guān)鍵．16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．考點：全等三角形的判定．專題：證明題．分析：根據(jù)同角的余角相等可得到∠3=∠5，條件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可證得結(jié)論．解答：解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．點評：本題次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上．（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB平行且等于CD，然后根據(jù)DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可證明四邊形AFCE是平行四邊形；（2）根據(jù)四邊形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后設(shè)DE=x，表示出AE，CE的長度，根據(jù)相等求出x的值，繼而可求得菱形的邊長及周長．解答：解；（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）∵四邊形AFCE是菱形，∴AE=CE，設(shè)DE=x，則AE=，CE=8﹣x，則=8﹣x，解得：x=，則菱形的邊長為：8﹣=，周長為：4×=25，故菱形AFCE的周長為25．點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是則矩形對邊平行且相等的性質(zhì)以及菱形四條邊相等的性質(zhì)．18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．考點：切線的性質(zhì)；類似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）首先根據(jù)AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據(jù)DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據(jù)此判斷出PE=PD即可．（2）首先根據(jù)△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據(jù)PE=PD，可得，據(jù)此判斷出AC?PD=AP?BC即可．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．（2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC?PD=AP?BC．點評：（1）此題次要考查了切線的性質(zhì)和運用，要純熟掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于切點的半徑．②圓心且垂直于切線的直線必切點．③切點且垂直于切線的直線必圓心．（2）此題還考查了類似三角形的判定和性質(zhì)的運用，要純熟掌握．19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）延伸DE交AB于點G，連接AD．構(gòu)建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）設(shè)AC與FD交于點O．利用（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等，等角的補角相等以及三角形內(nèi)角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．解答：證明：（1）延伸DE交AB于點G，連接AD．∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED與△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）設(shè)AC與FD交于點O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．考點：切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；作圖—基本作圖．專題：證明題．分析：（1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．解答：解：（1）作圖如右圖，連接OA，過O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線；（2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=∴OA=∴==．點評：本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是處理成績的關(guān)鍵．21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．考點：類似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結(jié)論；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．解答：（1）證明：過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形∴BP=BM∴BD+2DE=BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴設(shè)正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．故答案為：．點評：本題次要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、類似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，運用三角形類似求出正方形的邊長是處理第2小題的關(guān)鍵．22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫?。O(shè)兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結(jié)果保留π）．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；弧長的計算．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)題意得出BD=CD=BC，由SSS證明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=65°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根據(jù)弧長公式求出、的長度，即可得出結(jié)果．解答：（1）證明：根據(jù)題意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC為等邊三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的長度=的長度==；∴、的長度之和為+=．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長的計算；純熟掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能進行推理計算是處理成績的關(guān)鍵．23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．考點：類似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結(jié)論．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．點評：本題考查了類似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．求證：四邊形ABCD是矩形．考點：矩形的判定；函數(shù)圖象上點的坐標特征．專題：證明題．分析：首先利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定該四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)△ABE的面積得到整個四邊形的面積和AD的長，根據(jù)平行四邊形的面積計算方法得當DA⊥AB即可判定矩形．解答：證明：作EF⊥AB于點F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B兩點縱坐標相反，∴AB∥CD∥x軸，∴m﹣2=4，m=6，將B（6，n）代入直線y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面積是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F(xiàn)（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四邊形ABCD是矩形．點評：本題考查了矩形的判定，解題的關(guān)鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大．25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．（1）當AB=2時，求△GEC的面積；（2）求證：AE=EF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）首先根據(jù)△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC=即可求得S△GEC；（2）取AB的中點H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；解答：解：（1）∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=?EC?CG=×1×=；（2）證明：取AB的中點H，連接EH；∵ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；點評：此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解（2）題的關(guān)鍵是取AB的中點H，得出AH=EC，再根據(jù)全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．考點：菱形的判定．專題：證明題．分析：首先根據(jù)平行四邊形的判定方法，判斷出四邊形ADCE是平行四邊形；然后判斷出AE=CE，即可判斷出四邊形ADCE是菱形，據(jù)此解答即可．解答：證明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形．點評：此題次要考查了菱形的判定和性質(zhì)的運用，要純熟掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．考點：切線的判定．專題：證明題．分析：（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；（2）根據(jù)點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．點評：本題考查的是切線的判定，熟知半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關(guān)鍵．28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．（1）求證：PN與⊙O相切；（2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．考點：切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算．專題：計算題；證明題．分析：（1）連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到=OE，即可確定出PN與圓O相切；（2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數(shù)，利用弧長公式即可求出劣弧的長．解答：（1）證明：連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，∵PM與圓O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，則PN與圓O相切；（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，則的長l==．點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，弧長公式，純熟掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．考點：切線的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠MAP=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得∠P+M=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠M+∠MOB=90°，根據(jù)直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據(jù)切線的判定，可得答案；（2）根據(jù)類似三角形的判定與性質(zhì)，可得==，根據(jù)解方程組，可得答案．解答：（1）證明：∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線；（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=①，=②聯(lián)立①②得，解得，當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，（1）利用了切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)；（2）利用了類似三角形的判定與性質(zhì)，解方程組．30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；（2）求證：直線BF是⊙O的切線；（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結(jié)論．考點：圓的綜合題．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)垂徑定理求得PC，連接OC，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）求得△PBC∽△BFA，根據(jù)類似三角形對應(yīng)角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可證得結(jié)論；（3）經(jīng)過證得AE=BF，AE∥BF，從而證得四邊形AEBF是平行四邊形．解答：（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．（2）證明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直線BF是⊙O的切線；（3）四邊形AEBF是平行四邊形；理由：解：如圖2所示：∵CD⊥AB，垂足為P，∴當點P與點O重合時，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切線，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位線，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位線，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形．點評：本題考查了切線的判定，勾股定理的運用，三角形類似的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定等，純熟掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．31．（2015?內(nèi)江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；（2）欲證明四邊形BECD是矩形，只需推知BC=ED．解答：證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD=EC．∴在△ABD與△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四邊形BECD為矩形．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點的綜合運用，難度較大．32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．專題：證明題．分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用ASA即可得證；（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證．解答：證明：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD=EB，∴DA=DF．點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，純熟掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD．（1）求證：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01）考點：切線的性質(zhì)；解直角三角形．專題：證明題．分析：（1）連接OD，利用切線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系進行證明即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)進行計算即可．解答：證明：（1）連接OD，如圖，∵CD與半圓O相切于點D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半徑為．點評：此題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系進行分析．34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．（1）求證：∠A=∠AEB；（2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，根據(jù)鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB；（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據(jù)∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．點評：此題次要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補．35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=BC，由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結(jié)論．解答：證明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF與△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．點評：本題次要考查了全等三角形性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，運用等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為CA．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D．①求證：四邊形AFF′D是菱形．②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．考點：圖形的剪拼；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定；平移的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)矩形的判定，可得答案；（2）①根據(jù)菱形的判定，可得答案；②根據(jù)勾股定理，可得答案．解答：解：（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，