蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第6章《圖形的相似》單元培優(yōu)卷【含答案】

《圖形的相似》單元培優(yōu)卷___________________一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則等于（）A． B． C． D．2．已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項(xiàng)，若a＝9，b＝4，則c長（）A．18 B．5 C．6 D．±63．若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2（AC＞BC），則AC等于（）A．1 B．3 C． D．1或34．如圖，已知在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．5．下列說法正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似 C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似6．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E為BC中點(diǎn)，H，G分別是邊AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持GH⊥AE，則EH+AG最小值為（）A．2 B． C． D．17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A．16 B．12 C．10 D．88．如圖，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接AE，若S△ADE，S△BCE，則BC＝（）A．4 B．8 C．5 D．109．如圖，已知?ABCD，AB＝2，AD＝6，將?ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到?AEFG，且點(diǎn)G落在對(duì)角線AC上，延長AB交EF于點(diǎn)H，則FH的長為（）A． B． C．5 D．無法確定10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’的坐標(biāo)是（）A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將四邊形ABCD按1：2放大得到四邊形A′B′C′D′，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比是．12．一個(gè)人拿著一把有厘米刻度的小尺站在距離電線桿約20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個(gè)刻度恰好遮住電線桿，已知臂長40cm，則電線桿的高度為m．13．如圖，△ABC是一張直角三角形彩色紙，AC＝15cm，BC＝20cm．若將斜邊上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）張寬度相等的長方形紙條．則這（n﹣1）張紙條的面積和是cm2．14．如圖，DE交△ABC邊AC、BC的延長線分別于D、E兩點(diǎn)，且DE∥AB，若，則△CDE與△ABC的面積比為．15．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則的值等于．16．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在邊DC上有點(diǎn)P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)P有個(gè)．17．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BQ＝時(shí)，△BPQ與△BAC相似．18．已知線段AB＝10cm，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，則AP≈cm．三、解答題（本大題共8小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，1）．（1）△ABC的外接圓圓心M的坐標(biāo)為．（2）①以點(diǎn)M為位似中心，在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)畫出△DEF，使得△DEF與△ABC位似，且點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，位似比為2：1．②點(diǎn)D坐標(biāo)為．（3）△DEF的面積為個(gè)平方單位．20．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，試說明：（1）△ABE∽△ACD；（2）AD?BC＝DE?AC．21．如圖所示，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝60°，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，以DE為直角邊畫出等腰直角三角形△DEF．（1）證△CDE與△BEH相似；（2）若DE＝1，求AB的長．22．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2＝AB?AD；（2）求證：△AFD∽△CFE．23．△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)．（1）如圖（1），若點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，求CD的長．（2）如圖（2），連接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求點(diǎn)E到AC的距離．（3）若點(diǎn)E到三角形兩邊的距離均為1.5，求CD的長．（直接寫出答案）．24．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．25．如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0）和（0，3），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)長度單位的速度沿AO向O運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)直線EF從x軸出發(fā)，以每秒1個(gè)長度單位沿y軸方向向上平移，分別與y軸、線段AB交于EP、FP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t≤2）．（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得△EOP與△AOB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則等于（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)比例的性質(zhì)，即可得到2x＝3y，進(jìn)而得出．∵，∴5x＝3x+3y，即2x＝3y，∴，故選：A．2．已知線段a、b、c，其中c是a、b的比例中項(xiàng)，若a＝9，b＝4，則c長（）A．18 B．5 C．6 D．±6【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出c．根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，得c2＝ab＝36，c＝±6，又線段不能是負(fù)數(shù)，﹣6應(yīng)舍去，取c＝6，故選：C．3．若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AB＝2（AC＞BC），則AC等于（）A．1 B．3 C． D．1或3【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（）叫做黃金比．根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念得：ACAB1．故選：A．4．如圖，已知在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．【分析】A、加一公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得結(jié)論；B、加一公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得結(jié)論；C、其夾角不相等，所以不能判定相似；D、其夾角是公共角，根據(jù)兩邊的比相等，且夾角相等，兩三角形相似．A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，所以此選項(xiàng)的條件可以判定△ACP∽△ABC；B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，∴△ACP∽△ABC，所以此選項(xiàng)的條件可以判定△ACP∽△ABC；C、∵，當(dāng)∠ACP＝∠B時(shí)，△ACP∽△ABC，所以此選項(xiàng)的條件不能判定△ACP∽△ABC；D、∵，又∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，所以此選項(xiàng)的條件可以判定△ACP∽△ABC，本題選擇不能判定△ACP∽△ABC的條件，故選：C．5．下列說法正確的是（）A．所有等邊三角形都相似 B．有一個(gè)角相等的兩個(gè)等腰三角形相似 C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似【分析】根據(jù)等邊三角形各內(nèi)角為60°的性質(zhì)、矩形邊長的性質(zhì)、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)可以解題．（A）等邊三角形各內(nèi)角為60°，各邊長相等，所以所有的等邊三角形均相似，故本選項(xiàng)正確；（B）一對(duì)等腰三角形中，若底角和頂角相等且不等于60°，則該對(duì)三角形不相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；（C）直角三角形中的兩個(gè)銳角的大小不確定，無法判定三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；（D）矩形的鄰邊的關(guān)系不確定，所以并不是所有矩形都相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．6．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E為BC中點(diǎn)，H，G分別是邊AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持GH⊥AE，則EH+AG最小值為（）A．2 B． C． D．1【分析】過G作GN⊥AB于N，依據(jù)△ABE∽△GNH，即可得到GH的長；以AG，AE為鄰邊作平行四邊形AEMG，可得AG+HE＝ME+HE，當(dāng)H，E，M在同一直線上時(shí)，AG+HE的最小值等于HM的長，再根據(jù)勾股定理求得HM的長，即可得到EH+AG的最小值．如圖所示，過G作GN⊥AB于N，則∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，∵GH⊥AE，∴∠ANG＝∠AFG＝90°，∴∠BAE＝∠NGH，∴△ABE∽△GNH，∴，∵Rt△ABE中，AE，∴，∴GH，如圖所示，以AG，AE為鄰邊作平行四邊形AEMG，則AG＝ME，GM＝AE，∠HGM＝∠AFG＝90°，∴AG+HE＝ME+HE，當(dāng)H，E，M在同一直線上時(shí)，AG+HE的最小值等于HM的長，此時(shí)，Rt△GHM中，HM，∴EH+AG的最小值為，故選：B．7．（2020春?吳中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A．16 B．12 C．10 D．8【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，∴，∴△ABC的面積為16，故選：A．8．（2020春?江陰市期中）如圖，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一點(diǎn)，連接BD，與∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，連接AE，若S△ADE，S△BCE，則BC＝（）A．4 B．8 C．5 D．10【分析】過點(diǎn)E作BC，AC的垂線，垂足分別為F，G，設(shè)BC＝4x，則AC＝3x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EG，根據(jù)三角形的面積得到CD＝2x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到EF＝FC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．過點(diǎn)E作BC，AC的垂線，垂足分別為F，G，設(shè)BC＝4x，則AC＝3x，∵CE是∠ACB的平分線，EF⊥BC，EG⊥AC，∴EF＝EG，又S△BCE，S△ADE，∴ADBC＝x，∴CD＝2x，∵四邊形EFCG是正方形，∴EF＝FC，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BDC，∴，即，解得，EFx，則4xx，解得，x＝2，則BC＝4x＝8，故選：B．9．（2020春?常熟市期末）如圖，已知?ABCD，AB＝2，AD＝6，將?ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到?AEFG，且點(diǎn)G落在對(duì)角線AC上，延長AB交EF于點(diǎn)H，則FH的長為（）A． B． C．5 D．無法確定【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得到CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，接著證明△ADC∽△AEH，然后利用相似比求出EH，從而得到FH的長．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，∵?ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到?AEFG，且點(diǎn)G落在對(duì)角線AC上，∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，∴∠E＝∠D，而∠DAC＝∠HAE，∴△ADC∽△AEH，∴AD：AE＝DC：EH，即6：2＝2：EH，解得EH，∴FH＝EF﹣EH＝6．故選：B．10．（秋?泰興市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A’的坐標(biāo)是（）A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，4），則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（2，﹣4），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上11．（2018秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將四邊形ABCD按1：2放大得到四邊形A′B′C′D′，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比是1：4．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)定義得到四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．以點(diǎn)O為位似中心，將四邊形ABCD按1：2放大得到四邊形A′B′C′D′，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，相似比為1：2，∴四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比是1：4，故1：4．12．（秋?靖江市校級(jí)期中）一個(gè)人拿著一把有厘米刻度的小尺站在距離電線桿約20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺豎直，看到尺上約12個(gè)刻度恰好遮住電線桿，已知臂長40cm，則電線桿的高度為6m．【分析】如圖，要求電線桿DE的高度可以利用△ABC∽△AED，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例可直接求出．過A作AF⊥DE交BC于O，∵BC∥ED，∴AO⊥BC，∴△ABC∽△AED，∴，∵BC＝0.12m，AO＝0.4m，AF＝20m，DE6（米），∴電線桿的高度近似為6米．13．（通州區(qū)模擬）如圖，△ABC是一張直角三角形彩色紙，AC＝15cm，BC＝20cm．若將斜邊上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）張寬度相等的長方形紙條．則這（n﹣1）張紙條的面積和是cm2．【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AB＝25，再利用面積法計(jì)算出CD＝12，接著證明△CEF∽△CAB，則可計(jì)算出EF?25，同理可得從上往下數(shù)，第2個(gè)矩形的長為?25，…，從上往下數(shù)，第（n﹣1）個(gè)矩形的長為?25，且所有矩形的寬的都為?12，然后把所有矩形的面積相加即可．如圖，∵∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，∴AB25，∵CD?ABAC?BC，∴CD＝12，∵斜邊上的高CD分成n等分，∴CH，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，即，解得EF?25，即從上往下數(shù)，第1個(gè)矩形的長為?25，同理可得從上往下數(shù)，第2個(gè)矩形的長為?25，…從上往下數(shù)，第（n﹣1）個(gè)矩形的長為?25，而所有矩形的寬都為?12，∴這（n﹣1）張紙條的面積和是＝[?25?25?25]??12（1+2+…+n﹣1）??12（cm2）．故答案為．14．（2020?鎮(zhèn)江二模）如圖，DE交△ABC邊AC、BC的延長線分別于D、E兩點(diǎn)，且DE∥AB，若，則△CDE與△ABC的面積比為4：9．【分析】由DE∥AB可判定△CDE∽△CAB，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得答案．∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∵，∴，故4：9．15．（2020?南通）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．設(shè)△ABC的周長為C1，△DEF的周長為C2，則的值等于．【分析】先證明兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，得出周長比的值便可．∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故．16．（秋?揚(yáng)州期中）如圖，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在邊DC上有點(diǎn)P，使△PAD與△PBC相似，則這樣的點(diǎn)P有3個(gè)．【分析】根據(jù)已知分兩種情況△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP來進(jìn)行分析，求得PD的長，從而確定P存在的個(gè)數(shù)．∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．設(shè)PD＝x，則PC＝10﹣x；①若PD：PC＝AD：BC，則△PAD∽△PBC∴x：（10﹣x）＝2：12，解得x，即PD；②若PD：BC＝AD：PC，則△PAD∽△CBP∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．∴這樣的點(diǎn)P存在的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故答案為3．17．（2018秋?贛榆區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BQ＝1或4時(shí)，△BPQ與△BAC相似．【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分別得出答案．當(dāng)△BPQ∽△BAC時(shí)，則，∵AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P是AB邊的中點(diǎn)，∴BP＝2，故，解得：BQ＝4；當(dāng)△BPQ∽△BCA時(shí)，則，∵AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P是AB邊的中點(diǎn)，∴BP＝2，故，解得：BQ＝1，綜上所述：當(dāng)BQ＝1或4時(shí)，△BPQ與△BAC相似．故1或4．18．（秋?贛榆區(qū)期末）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，則AP≈6.18cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義求解．∵點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞PB，AB＝10cm，∴APAB≈6.18（cm）．故答案為6.18．三、解答題（本大題共8小題，共64分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（秋?新吳區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，1）．（1）△ABC的外接圓圓心M的坐標(biāo)為（2，2）．（2）①以點(diǎn)M為位似中心，在網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)畫出△DEF，使得△DEF與△ABC位似，且點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，位似比為2：1．②點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，6）．（3）△DEF的面積為4個(gè)平方單位．【分析】（1）直接利用三角形外心是各邊垂直平分線交點(diǎn)得出M位置；（2）利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（3）利用三角形面積求法得出答案．（1）如圖：M（2，2）；故（2，2）；（2）①如圖所示：△DEF即為所求；②D（4，6）；故（4，6）；（3）△DEF的面積為：4×2＝4．故4．20．（2020秋?寶應(yīng)縣月考）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，試說明：（1）△ABE∽△ACD；（2）AD?BC＝DE?AC．【分析】（1）根據(jù)題目中的條件，可以得到∠AEB＝∠ADC，再根據(jù)∠A＝∠A，即可得到△ABE∽△ACD；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可以得到，再根據(jù)∠A＝∠A，即可得到△ADE∽△ACB，然后即可得到，從而可以AD?BC＝DE?AC．（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE∽△ACD；（2）∵△ABE∽△ACD，∴，在△ADE和△ACB中，，∴△ADE∽△ACB，∴，∴AD?BC＝DE?AC．21．（2020?鎮(zhèn)江模擬）如圖所示，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝60°，D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，以DE為直角邊畫出等腰直角三角形△DEF．（1）證△CDE與△BEH相似；（2）若DE＝1，求AB的長．【分析】（1）由中位線定理證得∠DEC＝∠EBH，證明∠DCE＝∠EHB．則可得出結(jié)論；（2）由中位線定理可得出答案．（1）證明：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，∴∠DEC＝∠EBH，∠DEF＝∠EHB＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠EHB．∴△CDE∽△HEB；（2）解：∵D、E分別為AC、BC的中點(diǎn)，DE＝1，∴AB＝2DE＝2．22．（秋?東臺(tái)市期末）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2＝AB?AD；（2）求證：△AFD∽△CFE．【分析】（1）根據(jù)兩組對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE＝BE＝AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAC＝∠ECA，推出AD∥CE即可解決問題；（1）證明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB?AD；（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE＝BE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．（秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，點(diǎn)D是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)．（1）如圖（1），若點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，求CD的長．（2）如圖（2），連接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求點(diǎn)E到AC的距離．（3）若點(diǎn)E到三角形兩邊的距離均為1.5，求CD的長．（直接寫出答案）．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝BD，AF＝BF＝5，設(shè)CD＝x，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理列出方程即可解得CD的長；（2）過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，連接CE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF＝EM＝EN，AE、BE、CE將△ABC分割成三個(gè)三角形，利用面積關(guān)系S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，即可求出EF的長；（3）根據(jù)題意可分三種情況：①如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)E到AB和BC的距離為1.5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在∠CBA的角平分線上，設(shè)CD＝x，則DF＝x，AD＝8﹣x，在Rt△AFD中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求出CD的長；②如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)E到AC和BC的距離為1.5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在∠BCA的角平分線上，可得矩形ENCM是正方形，設(shè)CD＝x，則DM＝x﹣1.5，利用△DEM∽△DBC，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CD的長；③如圖5所示，當(dāng)點(diǎn)E到AC和AB的距離為1.5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上，得矩形EFCN，利用面積關(guān)系S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，可求出EF的長即為CN的長，再證明△DEN∽△DBC，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CD的長．∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，∴AB10．（1）如圖1所示，∵點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，設(shè)AB的垂直平分線為DF，垂足為F，∴AD＝BD，AF＝BFAB＝5，設(shè)CD＝x，則AD＝BD＝8﹣x，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理，得62+x2＝（8﹣x）2，解得x，∴點(diǎn)D在AB的垂直平分線上時(shí)，CD的長為；（2）如圖2所示，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，連接CE，∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EM⊥AB，∴EF＝EM，∵BE平分∠ABC，EN⊥BC，EM⊥AB，∴EN＝EM，∴EF＝EM＝EN，設(shè)EF＝EM＝EN＝x，則：S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，即AC?BCAC?EFAB?EMBC?EN，∴6×8＝8x+10x+6x，解得x＝2，∴點(diǎn)E到AC的距離為2；（3）根據(jù)題意可分三種情況：①如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)E到AB和BC的距離為1.5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在∠CBA的角平分線上，即BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，則CD＝DF，∵∠C＝∠BFD＝90°，BD＝BD，∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），∴BF＝BC＝6，∴AF＝4，設(shè)CD＝x，則DF＝x，AD＝8﹣x，在Rt△AFD中，根據(jù)勾股定理，得42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴當(dāng)點(diǎn)E到AB和BC的距離為1.5時(shí)，CD＝3；②方法一：如圖4所示，當(dāng)點(diǎn)E到AC和BC的距離為1.5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在∠BCA的角平分線上，即CE平分∠BCA，過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N，此時(shí)EM＝EN＝1.5，EM∥BC，∵∠NCM＝90°，EM⊥AC，EN⊥BC，∴四邊形ENCM是矩形，∵EM＝EN，∴矩形ENCM是正方形，∴CM＝1.5，設(shè)CD＝x，則DM＝x﹣1.5，∵EM∥BC，∴△DEM∽△DBC，∴，即，解得x＝2，方法二：∵S△BCD＝S△BEC+S△CED，∴BC?CD＝1.5BC+1.5CD，即6x＝9+1.5x，解得x＝2，∴CD＝2．∴當(dāng)點(diǎn)E到AC和BC的距離為1.5時(shí)，CD＝2；③方法一：如圖5所示，當(dāng)點(diǎn)E到AC和AB的距離為1.5時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E在∠BAC的角平分線上，即AE平分∠BAC，過點(diǎn)E作EM⊥A于B點(diǎn)M，EN⊥AC于點(diǎn)N，此時(shí)EM＝EN＝1.5，作EF⊥BC于點(diǎn)F，得矩形EFCN，∵S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，即AC?BCAC?ENAB?EMBC?EF，∴6×8＝8×1.5+10×1.5+6EF，解得EF，∴CN＝EF，設(shè)CD＝x，則DN＝x，∵EN∥BC，∴△DEN∽△DBC，∴，即，解得x，方法二：設(shè)CD＝x，則AD＝8﹣x，EM＝EN＝1.5，AB＝10，BC＝6，∵S△BEA+S△DEA＝S△BDA，∴AB?EMAD?ENAD?BC，即10×1.5+1.5（8﹣x）＝6（8﹣x），解得x．∴當(dāng)點(diǎn)E到AC和AB的距離為1.5時(shí)，CD．綜上所述，點(diǎn)E到三角形兩邊的距離均為1.5，CD的長為3或2或．24．（2020?徐州模擬）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP