函數(shù)微分的概念

關(guān)于函數(shù)微分的概念第一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日若給定函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義有.由定理1.2知，，其中是當(dāng)

時(shí)的無(wú)窮小量，上式可寫(xiě)作.(2.4.1)

函數(shù)微分的概念返回1/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(2.4.1)式表明函數(shù)的增量可以表示為兩項(xiàng)之和．第一項(xiàng)是的線(xiàn)性函數(shù)，第二項(xiàng)，當(dāng)時(shí)是比高階的無(wú)窮小量．因此，當(dāng)很小時(shí)，我們稱(chēng)第一項(xiàng)

為的線(xiàn)性主部，并叫做函數(shù)的微分．

函數(shù)微分的概念返回2/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

定義2.3

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)，則稱(chēng)為在點(diǎn)處的微分，記作，即，(2.4.2)此時(shí)，稱(chēng)在點(diǎn)處是可微的.例如，函數(shù)在點(diǎn)處的微分為．

函數(shù)微分的概念返回3/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，叫做函數(shù)的微分，記作．(2.4.3)如果將自變量當(dāng)作自己的函數(shù)，則有，說(shuō)明自變量的微分就等于它的改變量，于是函數(shù)的微分可以寫(xiě)成

函數(shù)微分的概念返回4/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日，(2.4.4)即，

(2.4.5)也就是說(shuō)，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又叫微商．

函數(shù)微分的概念返回5/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日解；.可見(jiàn).

函數(shù)微分的概念返回6/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例1

求函數(shù)在，時(shí)的改變總量及微分．第七頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日

函數(shù)微分的概念返回7/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)曲線(xiàn)坐標(biāo)的改變量微分的幾何意義示意圖動(dòng)畫(huà)演示第八頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)微分的幾何意義就是：在曲線(xiàn)上某一點(diǎn)處．當(dāng)自變量取得改變量時(shí)，曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)縱坐標(biāo)的改變量．

函數(shù)微分的概念返回8/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第九頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日例2

求下列函數(shù)的微分：(1)；(2)．解(1)所以．(2)，．2.4.2微分的計(jì)算返回9/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第十頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日，無(wú)論是自變量還是中間變量，的微分總可以用與的乘積來(lái)表示．函數(shù)微分的這個(gè)性質(zhì)叫做微分形式的不變性．2.4.3微分的形式的不變性返回10/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)以為中間變量的復(fù)合函數(shù)的微分第十一頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日利用微分可以進(jìn)行近似計(jì)算.這個(gè)公式可以直接用來(lái)計(jì)算函數(shù)增量的近似值．由微分的定義知，當(dāng)很小時(shí)，有近似公式．，，2.4.4微分的應(yīng)用返回11/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第十二頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日即．這個(gè)公式則可以用來(lái)計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值的近似值．2.4.4微分的應(yīng)用返回12/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第十三頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日解令，，因?yàn)橄鄬?duì)于較小，可用上面的近似公式來(lái)求值．2.4.4微分的應(yīng)用返回13/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)例3

設(shè)某國(guó)的國(guó)民經(jīng)濟(jì)消費(fèi)模型為．其中：為總消費(fèi)(單位：十億元)；為可支配收入單位：十億元).當(dāng)時(shí)，問(wèn)總消費(fèi)是多少？第十四頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日(十億元)．2.4.4微分的應(yīng)用返回14/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第十五頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日2.4.4微分的應(yīng)用例4

1830年代后期，法國(guó)生理學(xué)家普瓦澤伊（JeanPoiseuille）發(fā)現(xiàn)了今天我們?nèi)栽谟脕?lái)預(yù)測(cè)必須擴(kuò)張部分受阻塞的動(dòng)脈半徑多少才能恢復(fù)正常的血液流動(dòng)．他的公式為

即流體以固定的壓力在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)的細(xì)管的體積V等于一個(gè)常數(shù)乘以管半徑的四次冪．問(wèn)：半徑r增加10%對(duì)V的影響有多大？返回15/16上一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)下一頁(yè)第十六頁(yè)，共十八頁(yè)，2022年，8月28日解

因?yàn)樗?，r的微分和V的微分之間的關(guān)系為V的相對(duì)變化為即V的相對(duì)變化為4倍的r的相對(duì)變化，故10%的r增