函數(shù)的凹凸性與拐點

關于函數(shù)的凹凸性與拐點第一頁，共八頁，2022年，8月28日1.函數(shù)y=f(x)單調性的判定K切=f'(x)>0y單調遞增凡呈凸型的弧段其切線總位于曲線的上方.凡呈凹型的弧段其切線總位于曲線的下方.K切=f'(x)<0y單調遞減x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo

2.幾何特征Ｉy=f(x)連續(xù)曲線的凹弧段與凸弧段有分界點.第二頁，共八頁，2022年，8月28日一.定義:若曲線y=f(x)在某區(qū)間內位于其切線的上方.則稱該曲線在此區(qū)間內是凹的,此區(qū)間稱為凹區(qū)間.若曲線位于其切線的下方,則稱該曲線在此區(qū)間內是凸的,此區(qū)間稱為凸區(qū)間.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲線的凹凸與拐點ab1.幾何特征Ⅱ

凹型曲線:切線的斜率隨著X的增大而增大.凸型曲線:切線的斜率隨著X的增大而減小.??????x1x2x3x1x2x3第三頁，共八頁，2022年，8月28日連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點稱為拐點.曲線y=f(x)的凹凸性可以用f′的單調性來判定.

即y=f(x)的凹凸性與f″的符號有關.(x)

(x)設f(x)在區(qū)間(a,b)內具有二階導數(shù)f″.(x)(1)如果在(a,b)內f″>0,那末曲線在(a,b)內

是凹的.(x)(2)如果在(a,b)內f″<0,那么曲線在(a,b)內

是凸的.

(x)

2.結論:二.定理:

三.定義:第四頁，共八頁，2022年，8月28日(A)例1.判定y=ax2+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定義域為(?∞,+∞)y'=2ax+b當a>0時，y">0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內是凹的.當a<0時，y"<0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內是凸的.注：凹凸性的判定定理的記憶與二次函數(shù)的開口方向相結合。y"=2a第五頁，共八頁，2022年，8月28日例2.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(B)1.y=x4?2x3+1解：（1）定義域為（?∞,+∞）（2）y'=4x3?6x2y"=12x2?12x=12x(x?1)（4）列表xy″y（?∞，0）+∪00（0，1）?∩10拐點（0，1）拐點（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲線的凹區(qū)間為（?∞，0）∪（1，+∞），凸區(qū)間為（0，1）拐點為（0，1）與（1，0）.（3）令y"=0,得x=0,x=1

12第六頁，共八頁，2022年，8月28日解：（1）定義域為（?∞，+∞）（2）y'=8(2x-1)3（3）顯然x∈

(?∞,+∞),y"≥0∴凹區(qū)間（?∞，+∞），無拐點(B)2.y=(2x-1)+14y"=48(2x-1)21.下列結論是否正確（1）.由f"(x0)=0所確定的點(x0,f(x0))一定是拐點.2.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(B)（2）y=ln(1+x2)（2）.若函數(shù)f(x)在(a,b)內二次可導,且f'(x)<0,f"(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)單調遞減且凹向上.