函數(shù)的奇偶性精品

關(guān)于函數(shù)的奇偶性精品第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

在日常生活中，有非常多的軸對稱現(xiàn)象，如人與鏡中的影關(guān)于鏡面對稱，請同學(xué)們舉幾個例子。

除了軸對稱外，有些是關(guān)于某點對稱，如風(fēng)扇的葉子，如圖：它關(guān)于什么對稱？

而我們所學(xué)習(xí)的函數(shù)圖像也有類似的對稱現(xiàn)象，請看下面的函數(shù)圖像。第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日觀察下面兩組圖像，它們是否也有對稱性呢？xyO1-1f(x)=x2（1）（2）yxOx0-x0第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日-xxf(-2)=(-2)2=4f(2)=4例如：函數(shù)f(x)=x2

，如下：f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2

f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)結(jié)論:當(dāng)自變量x任取定義域中的一對相反數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)值相等，即f(-x)=f(x)第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日例如：對于函數(shù)f(x)=x3有f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8

f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx結(jié)論:當(dāng)自變量任取定義域中的兩個相反數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù),即f(-x)=-f(x)第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日函數(shù)奇偶性的定義:

偶函數(shù)定義:

如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫偶函數(shù).奇函數(shù)定義:

如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x,

都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫奇函數(shù).第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日理解定義yox4-2思考？函數(shù)具有奇偶性的前提是什么？函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日對于奇、偶函數(shù)定義的幾點說明:(2)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的先決條件。

（3）奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即：若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=－f(x)成立。若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(-x)=f(x)成立。（1）如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就是說函數(shù)f(x)具有奇偶性。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日在線測試1、對于定義在R上的函數(shù)f(x)，下列判斷是否正確？（1）若f(x)是偶函數(shù)，則f(-2)=f(2)()（2）若f(-2)=f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（

）（3）若f(-2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)（

）2、已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f（3）=3，則f(-3)=（

）A、-3B、3C、0D、無法確定3、下列四個結(jié)論：偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖像一定過原點；偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)y=f(x)(x)的圖像必過（-a,f(a)）表述正確的個數(shù)是A、1B、2C、3D、4第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日4、已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(3)=3，則f(-3)等于（

）A、-3B、3C、0D、無法確定5、已知函數(shù)f(x)=x3，-5≤x<5，則下列結(jié)論正確的是（

）（A）函數(shù)f(x)是奇函數(shù)（B）函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點中心對稱（C）函數(shù)定義域中由無數(shù)多個x，使得f(-x)=-f(x)（D）函數(shù)f(x)的定義域是關(guān)于原點對稱的區(qū)域第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日思考：如何判斷一個函數(shù)的奇偶性呢？（1）圖像法（2）定義法第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1.根據(jù)下列函數(shù)圖象,判斷函數(shù)奇偶性.yxyxyxyxy典例詳解第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日xoy(a,f(a))(-a,f(-a))-aa奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù).第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日xoy-aa(a,f(a))(-a,f(-a))偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日oyx例2已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖，畫出y=f(x)在y軸左邊的圖象。第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

第一課時【互動探究案】例2、已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，且知道x≥0是的圖像，請作出另一半圖象。yx練習(xí)第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=x3+x(2)f(x)=3x4+6x2+a解:定義域為R∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)

即f(-x)=-f(x)∴f(x)為奇函數(shù)解:定義域為R∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2+a=3x4+6x2+a

即f(-x)=f(x)∴f(x)為偶函數(shù)

說明：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:⑴先求出定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱.⑵再判斷f(－x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟:(1)先確定函數(shù)定義域,并判斷定義域是否關(guān)于原點對稱;(2)求f(-x)，找f(x)與f(-x)的關(guān)系;若f(-x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x),則f(x)是奇函數(shù).(3)作出結(jié)論.f(x)是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。給出函數(shù)判斷定義域是否對稱結(jié)論是f(-x)與f(x)否第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日練習(xí):說出下列函數(shù)的奇偶性:①f(x)=x4________③f(x)=x

________④f(x)=x-2__________⑤f(x)=x5

__________⑥f(x)=x-3

_______________②f(x)=x-1__________奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

對于形如f(x)=xn

()

的函數(shù)，在定義域R內(nèi):

若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日思考1：函數(shù)f(x)=2x+1是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？xy012f(x)=2x+1-1分析：函數(shù)的定義域為R

但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（也稱為非奇非偶函數(shù)）如右圖所示：圖像既不關(guān)于原點對稱也不關(guān)于y軸對稱。第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日

(1)f(x)=(2)f(x)=x2x∈[-4,4)

解:∵定義域不關(guān)于原點對稱或∵

f(-4)=(-4)2=16;

f(4)在定義域里沒有意義.∴f(x)為非奇非偶函數(shù)解:定義域為[0,+∞)∵定義域不關(guān)于原點對稱∴f(x)為非奇非偶函數(shù)思考2：以下兩個函數(shù)是奇函數(shù)嗎？是偶函數(shù)嗎？第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日思考3：在前面的幾個函數(shù)中有的是奇函數(shù)，有的是偶函數(shù)，也有非奇非偶函數(shù)。那么有沒有這樣的函