2011年合工大工程碩士《矩陣理論》考試范圍與重要習題

2011年合工大工程碩士《矩陣理論》考試范圍與重要習題1、兩個子空間的直和例：設V和V分別是齊次方程組x€x€...€x=0和x=x=...=x的解空間，證1212n12n明V=V十V。12證明：因方程組x+x€...+x=0和x=x=...=x，只有零解，故V€V={o?,12n12n12從而V+V=V十V，且V十V是V的子空間，即V十VwV。12121212又V的維數(shù)是n-1，V的維數(shù)是112故V十V的維數(shù)是n維，所以V十V=V。1212注：任給一個V的子空間V,可以找到子空間V使得：V=V十V1212此式稱為V的一個直和分解，V，V稱為互補空間122、線性空間中線性變換的象空間與核例題1:證明：線性空間V的線性變換T的象空間和核都是V的子空間證明：因為V非空，所以TV非空Vx,yeV,VXePx+yeV…xeVTx+Ty=T(x+y)eT*)…Tx=T(Xx)eTV)故是T(V是V勺線性子空間因為所以非空因為0eker(所以Te非空)Vx,yeker(V…,eP貝l」Tx=Ty0=,0于是T(x+y)=Tx+Ty=0故x+yekEr()T(…x)=…Tx故…xekTr()因此keiT；是的線性子空間。例題2:線性空間V中的線性變化T的象空間和核的維數(shù)之和等于V的維數(shù)dim(T(V))+dim(ker(T))=dim(V)證明：設dim(V)=ndim(ker(T))=s只需證明dim(T(V))=n-s即可取ker(T)的一組基譏,x2,...,xs再添加n-s個向量將這組向量擴充為V的一組基X],X2,…,x,y+],y+2，???,y+2,12s€1€2€2對Vx?Vnnx…九ixi+九x+…+九sxs+,s+++i?.+,y則〃…九]Tx]+九Tx樸..+XsTxs+,s+Tys++1?.+,Tynnnn…,s+Tys+1+...+，Jy.T(V)—Span{Tys+1,Tys+1,...,Tys+1}現(xiàn)在只需證明Ty+},Ty+2,…,Ty線性無關。+1+2n設kTy+kTy+...+kTy…0+1+1+2+2nn貝山T(k+1y+1+k+2y+2+...+ky)=o+1+1+2+2nn故k+1Ty+1+k+2Ty+2+...+knTyn?ker(T)+1+1+2+2nn于是I+]ys+]+ks+2ys+2+…+kJn可由x1,x2,…,xs線性表示

即ky+ky+...+ky…lx+lx+...+lx

s+1s+1s+2s+2nn1122ss故有l(wèi)x+lx+...+lx—ky—ky—...—ky—01122sss+1s+1s+2s+2nn因x1,x2,…,xs,ys+嚴.,yn是v的一組基，所以11…12………ks+1………kn—0因此TVs+1,TVs+2,…,Ty線性無關3、過渡矩陣線性變換在給定基下的矩陣例題：已知€3中的線性變換T在基g=(-1,1,1》,g=G,0,-1》,g=(0,1,1》123ri01]下的矩陣是i10-121<求T在基e…(1,0,0)t,e…(0,1,0)t,e…(0,0,1)t下的矩陣。123解：設基g,g,g到e,e,e的過度矩陣為Q123123則(e,e,e)=(g,g,g)Q123123r100、r—110、即：010=101Q<001丿1一11l丄丄丄丿r—11O'—1r—1i-q所以Q=101=01—1i1—11丿l101丿

所以T在基e,e,e下的矩陣B為1r12031,B=01110??Q【-121〔-110,r10懺11一,1=101??11:0一1??111一1一12丿、110?1〔-11一2,=220??1302丿4、定理:內積空間中必存在標準正交基（施密特正交化）例：設e,e,e,e,e是€5中的一組標準正交基V…Span{a,a,a}12345123其中a…e<e,a…e—e<e,a…2e<e<e11521243123求V的一組標準正交基解：設ka<ka<ka…0，即有112233(k<k<2k)e—(k—k)e<ke<ke<ke…01231232332415因為ei,e2,e3,e4,e5線性無關，故ki…k2…k3…0因此ai,a2,a3線性無關，所以ai,a2巴是V的一組基。現(xiàn)將其化為標準正交基，首先將其正交化取y…a…e+e,y…a111522(a取y…a…e+e,y…a111522Ey222―了21)y,y=a―了31Ey222(y,y丿i33(y,y)11111()(e-ey…\e一e<e()(e-ey…\e一e<e丿一”__乂21244i5e<e丿'+e,e<e丿15=(e-e<e丿一+(e<e)=ie一e<e一+e124215212425()(2e+e+e,e+e)(丿(2e+ey=\2e+e+e丿一i23i5e+e丿一(i丿3123(e+e,e+e丿15(1e一e+e一ie,1e一e+e一ie丿i5i52i24252i2425=(2e+e+e)—今(e+e丿123215=e+e+e一e1235再將其單位化11223354—e)11223354—e)5、正交矩陣與酉矩陣的性質與判定例1:設a是n維歐氏空間V中的單位向量，定義V中的變換T為Tx?x—2(a,x)a。證明T為正交變換證明：Vx,ygV,VXg€T(x+y)?(…:—a(…xay)?(x+y)—2[Xx+(ya)]?[x—2a(x,a)+]y—[a2(ya,?)T]+xTyT(Xx)?Xx—2a(X,xa)?Xx—2X(a,xa)?Xx[—a2(xa,?)X]Tx故t是v的線性變換VxgVTx2?(Tx,Tx)?x(—a2(xa,x)—,ax2a(,))?(x莎—(x,a(xa)—a(x2ax,+)axa(2ax,a),2(,))?(x,x)—2a(x,x)a(—,a)x2a(x,+)(a,x)2a4a(,)(,)?(x,x)—2a(x,2—)a2x(2+,a)x42(,)?(x,x)?x2故Tx2?x2，所以T是正交變換例2證明：n階的方陣A為酉矩陣的充要條件是對任何xg€n都有Ax?x證明：”<"(必要性)注：酉矩陣AhA?AAh?E若A是酉矩陣，則對Vxg€n有Ax2?(Ax,Ax)?(Ax)H(Ax)Ax2?(xHAH)Ax?xH(AHA)x?xHEx?xHx?(x,x)?x則Ax?x

"€"（充分性）取€n中的一組標準正交基e二(1,0,...,0)t,e二(0,1,...,0)te二(0,0,...,1)t,TOC\o"1-5"\h\z12n則存在唯一的線性變換T,使得T在基e,e，…,e下的矩陣是A12n即：T(e,e，…,e)二(e,e，…,e)A(證明t是正交變換)12n12n,xe€n,x=(x,x，…，x)t12nT(e,e,...,e)x=(e,e,...,e)Ax12n12n?Tx=Ax又Ax=x,故Tx=x因此T是正交變換，從而A是酉矩陣。6、矩陣A的約當標準形（初等因子和不變因子）<1例題：求矩陣A=<1<例題：求矩陣A=1不變因子、初等因子。解：不變因子、初等因子。(X-2111(1-1X-21XE-A=-2X+12—3<>3>-2X+12……、1-1X-2丿、X-211…丿J"(入2)r1>(1-1X-21「10010X-12X-(1-1X-21「10010X-12X-2—Jc1，c3(X2)c1>0X-12X-2、0X-1-X2+4X-3丿、0X-1-X2+4X-3丿(10<000、九-100(九—1)2丿故A的不變因子是1，九一1，（九一1）2初等因子是九-1，（X-1》因X-1對應的約當塊（1）21）2對應的約當塊（1;]…100、…110、故A的約當標準形為J=011或J=010?001丿?001丿求約當標準形的步驟：寫出A的特征矩陣九E-A求出九E-A的全部初等因子寫出每個初等因子對應的約當塊寫出約當標準形7、凱萊-哈密頓定理…1—1,例題：設A二，證明：B二2A4+2A3+19A2-29A+36E?25丿為可逆矩陣并將B-1表示為A的多項式。尢11證明：A的特征多項式為f(X)=—A=2九5=沁—6九+7由凱萊-哈密頓定理得：f(A)=A2—6A+7E=0。{f(九)=|九E—A，貝f(A)=0}因2九4—12九3+19九2—29九+36=(2九2+5)《2—6九+7)+(九+1<…2?2故B=…2?2故B=2A4-12A3+19A2-29A+36E=(2A2+5)f(A<+(A+E<=A+E=因為|B=14豐0,所以B可逆。將A=B—E代入f(A<=A2—6A+7E=0中得：(B—E)2—6(B—E)+7E=B2—8B+14E=0???B2—8B=—14E—+B(B—8E)=E14故B-1=—十(B—8E)=—十(A—7E)14148、線性空間的范數(shù)沒有例子就把定義搬上了定義：設V是數(shù)域P上的線性空間，如果對V中的任意向量V都有一個非負實數(shù)與之對應，記為x且滿足下列的性質1>正定性：當x豐0時，x>02>齊次性：對VieP,九x=Xx3>三角不等式：€x,yeV,x,y<x,y稱為x的x范數(shù)并稱定義了范數(shù)的線性空間為賦范空間其他重要例題例題1:設x,xx是數(shù)域P上的線性空間V的一組向量，則由他們的所有線性組合構12n成的集合S={九x,九x,...,九xI九eP,i=1,2,...,n}是V的子空間。1122nni證明：顯然S非空，九ePVa=kx汁kx,...+kxeS1122nnV?=11x1,ix，…+ixneSa+卩=(k1+11)xi+(k2+12)x2+...+(kn+I)xn丘S((k+QeP)九a=(九k1)x1+(九k2)x2+...+(九kn)xneS故S是V的子空間稱S為由x],x2,?.?,xn生成的子空間記作S=Span{x1,x2,...,xn}S=Span{x1,x2,...,xn}x1,x2，...,xn的一個最大線性無關組就是Span{x1,x2,...,xn}的一組基Span{x1,x2,…,xn}的維數(shù)=秩(x1,x2，...,xn)例題2:在n維的向量空間€n中，對向量x=點,g,...,g)t,y=(<,<,...,<)t12n12n定義(x,y)=g<+g<+...+g<=yHx其中yH表示y的共軛轉置1122nn則(x,y)為€n中的內積y=1<2'(—、<1<2yH=(<1,匚…,￡—n“匚n驗證：、n丿眾）=卩,+卩,+...+卩,

①1122口,+丁,+...+工,=（x,y）

1122nnnn②（九x<卩y