【基礎知識精講】等式和它的性質

【基礎知識精講】等式和它的性質等式是數(shù)學中的重要研究對象，它是從客觀世界中存在的相等關系中抽象出來的.所以等式的實質是用含有等號的式子來表示相等關系.運用等式的性質可以對等式進行變形.本章的學習重點解一元一次方程，實際上就是等式變形..關于等式的概念首先看下面這樣的式子：2+3=3+2,3+x=5,a(b+c)=ab+ac,1S=2ah,m+2m=3m.它們都是用等號連接兩個代數(shù)式而成.像這種用等號“二”來表示相等關系的式子，叫做等式.等式可以是數(shù)字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的運算律，運算法則等.所以等式可以表示不同的意義.我們看上面的幾個等式，在等式m+2m=3ifi,不論m等于任何數(shù)值，左邊和右邊的值總是相等.在等式a(b+c)=ab+ac中,不論a,b,c各等于任何數(shù)值，左邊和右邊也總是相等的.一個等式，不論用何數(shù)值代替其中的字母，它的左、右兩邊的值總是相等，這樣的等式叫恒等式.由數(shù)字組成的等式，都是恒等式.一個等式，只取某些數(shù)值代替等式中的字母時，等式才成立，而取另外一些數(shù)值代替等式中的字母時，等式不成立，這1樣的等式叫做條件等式.如x+3=5,S=2ah等.綜上所述，等式可以分成兩類：即包等式和條件等式.我們接下來要學習的方程就是條件等式.為方便起見，在等式中，等號左、右兩邊的式子，分別叫做這個等式的左邊、右邊.一般說，等式的左邊和右邊都是代數(shù)式，但等式不是代數(shù)式.等式含有等號，代數(shù)式不含等號..關于等式的性質等式性質1等式兩邊都加上等式性質2等式性質1等式兩邊都加上等式性質2等式兩邊都乘以例如：3x-2=8是■個等式.3x-2+2=8+2得3x=10又如：3x+5=7,得3x=21再如，3x=-9,根據等式性質]3xX3=-9X3得x=-27(或減去)同一個數(shù)或同一個整式(或除以)同一個數(shù)(除數(shù)不能是((((2,得所得結果仍是等式.0),所得結果仍是等式等式兩邊都加上2)所得結果仍是等式)等式兩邊都減去5)所得結果仍是等式)(等式兩邊都乘以3)(所得結果仍是等式)冉如，-5x=15，等式兩邊同除以-5,-5x+(-5)=15+(-5),得x=-3.由此可見，運用等式的性質可以使方程變形為所需形式.所以等式的性質是解方程的理論依據等式還有兩條性質，在解一元一次方程時也會用到，它們是：(1)對稱性：如是a=b,那么b=a..即等式的左、右兩邊交換位置，所得結果仍是等式；(2)傳遞性：如果a=b,且b=c,那么a=c.這一性質也叫做等量代換【重點難點解析】.本節(jié)的重點是等式的兩條性質的變形應用；難點是找出等式變形的根據..運用等式性質1時，必須注意等號兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式、才能保證所得結果仍是等式，否則就會破壞相等關系.如2+3=5,如果左邊加上5,左邊加上6,那么2+3+5*5+6.運用等式性質2時，要注意等式兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)(不是同一個整式)，才能保證所得結果仍是等式，還要注意0不能作除數(shù)..利用等式性質把等式變形，如填空并說明：若5x=4x-7，那么5x-=-7,是怎樣變形的？解答這類題的關鍵是看第二個等式中不需要填空的一邊是怎樣由第一個等式的相應一邊變化而來的.如該例中第二個等式中的右邊-7是由第一個等式的右邊4x-7減4x得到的，所以第二個等式的左邊也應是5x-4x,因此填空為4x.例1判斷下列各式中哪些是等式？哪些是代數(shù)式？①3x-4②a-b-c=a-(b+c)③5x+6=10④6-10=-4⑤a(m+n)=am+an⑥x2-2x+1分析：根據等式，代數(shù)式的意義來進行判斷.解：②、③、④、⑤是等式，①、⑥是代數(shù)式.注：等式和代數(shù)式既有區(qū)別，又有聯(lián)系.首先等號是關系符號，而代數(shù)式中只有運算符號，所以代數(shù)式不是等式，但等式的左、右兩邊可以是代數(shù)式.例2用適當?shù)臄?shù)或整式填空，使所得結果仍是等式，并說明是根據等式的哪條性質以及怎樣變形的？(1)若4x=7x-5,則4x+=7x;(2)若8a=3a+4,則8a-=4;(3)若2x=8,則5x=.分析：題(1)等式的右邊由7x-5變成了7x,說明右邊加上了5,根據等式性質1,左邊4x也要加上5.題(2)等式的右5邊由3a+4變成了4,說明減去了3a,根據等式性質1,左邊8a也要減去3a.題(3)等式的左邊由2x變成了5x,說明乘以2,5根據等式性質2,右邊的8也要乘以2.解：(1)4x+5=7x,根據等式性質1,等式兩邊都加上5.8a-3a=4,根據等式性質1,等式兩邊都減去3a.55x=20根據等式性質2,等式兩邊都乘以2.注：解這類題時，先從不需填空的一邊入手，看這一邊是怎樣變形的，再根據等式的性質1或性質2,對另一邊進行變形.例3回答下列問題：(1)從2a+3=2b-3,能不能得至Ua=b,為什么？(2)從5ab=6b,能不能得至15a=6,為什么？解：(1)從等式2a+3=2b-3,不能得到a=b.根據等式性質1,等式兩邊都減去3,彳#2a=2b-6;再根據等式性質2,等式兩邊都除以2,得a=b-3.而b不可能等于b-3，.二awb.(2)當b=0時，從5ab=6b,不能得到5a=6.這是因為等式兩邊不能都除以0.當bw0時，根據等式性質2,能得到5a=6.這是在等式兩邊可以同除以b(b*0).【難題巧解點撥】x例1解方程：4=7x分析：若去掉絕對值，則應確定4的符號，故要討論x的范圍，即：x>0,x<0,或x=0.x解：當x>0時，4=7,x=28當x=0時，0=7.這是不可能的.x=0不是此方程的解.x當x<0時，-4=7,..x=-28.綜上所述，此方程的解是：x=28或x=-28.例2解方程：x注：(1)題運用了等式的基本性質1,注：(1)題運用了等式的基本性質1,兩邊都加上-y;(2)題運用于等式的基本性質2.兩邊都乘以y；這兩題從等式變形的角度來講相反數(shù)與倒數(shù)，從而將“互為相反數(shù)”和“互為倒數(shù)”以等式的形式反映出來^2,用適當?shù)臄?shù)填空：(1)如果-1=x,那么x=;(2)如果x=y,y=0.6,那么x=;(3)如果x=0,y=0,那么x=y=.解：(1)當x0-2時：-(x-1)-(x+2)=3.x=-2(2)當-2<x01時：-(x-1)-(x+2)=33=3x為在-2<x01內的任何有理數(shù).(3)當x>1不在x>1的范圍內，故在x>1范圍內此方程無解.「?綜合(1)、(2)、(3)得出此方程的解為-2<x<1注：此為絕對值中含有未知數(shù)的方程，通過對未知數(shù)的范圍進行分段考慮，可把原方程轉化為一元一次方程來解.具體分段方法是：首先令各絕對值內的整體為0,以求出未知數(shù)的各分點.如本題中：令x-1=0和x+2=0，得到分點x=1和x=-2,從而將未知數(shù)x的范圍按從小到大(或從大到小)的順序分為：x<2,-2<x<1,x>1三段.其次分別在未知數(shù)各段內對原方程進行轉化.另外，應注意檢查各方程的解是否在未知數(shù)的對應各段范圍內，只有在內，此解方是方程在這個范圍內的解；若解不在該范圍內則此方程在這個范圍內無解.【課本難題解答】知x、y都是數(shù)，利用等式性質將下列各小題中的等式進行變形，然后填空：(1)如果x+y=0,那么x=.這就是說，如果兩個數(shù)的和為0,那么這兩個數(shù).(2)如果xy=1,那么x=.這就是說，如果兩個數(shù)的積為1,那么這兩個數(shù).1解：(1)-y,互為相反數(shù).(2)y,互為倒數(shù).分析：(1)由于等式具有對稱性，所以等式的左右兩邊的代數(shù)式可以互換位置，交換等式-1=x的左右兩邊即可得x=-1;(2)由于等式具有傳遞性，所以從x=y,y=0.6可知x=0.6,(3)由等式的對稱性和傳遞性可得x=y=0.【典型熱點考題】例1用適當?shù)臄?shù)或整式填空，使所得結果仍是等式，并說明是根據等式的哪一條性質以及怎樣變形的^(1)如果3a=5a-4,那么3a+=5a;(2)如果3a=6,那么5a=;(3)如果5=x,那么x=;(4)如果a=b,b=c,c=d,那么a=.解：(1)3a+4=5a.根據等性質1,等式兩邊都加上4.55a=10.根據等性質2,等式兩邊都乘以3.x=5,根據等式性質3,左右兩邊互換.a=c或a=d,根據等式性質4.等量代換.例2判斷下列各式中，哪些是代數(shù)式？哪些是等式？哪些是恒等式？哪些是條件等式？哪些是不等式？①3a+4;②5a+6=7;③x+2y=8;④am+bm=(a+b)m;⑤5-3=2;⑥x-1>y;⑦2a2-3a2;⑧3a<-2a.解：①⑦是代數(shù)式；②③④⑤是等式；④⑤是恒等式；②③是條件等式；⑥⑧是不等式.TOC\o"1-5"\h\z注：應掌握代數(shù)式、等式、不等式的意義，它們之間的區(qū)別與聯(lián)系.例3選擇題：(1)由等式3a-5=2a+6得到a=11的變形是().A.等式兩邊都除以3;B.等式兩邊都加上6;C.等式兩邊都加上(2a-5);D.等式兩邊都減去(2a-5).(2)下列說法中正確的是().A.在等式ab=ac兩邊都除以a,可得b=c;等式3a=9b兩邊都除以3,可得a=3b;bcC.在等式aa兩邊都除以a,可得b=c；D.在等式ax=bx兩邊都乘以x,可得a=b;(3)下列推理錯誤的是().1A.若x=y,則ax=ay;B.若-2x=6,則x=-12;2b2c,22C.右3a3a則b=c;D.右3x=3y,則x=y解：(1)D;(2)B;(3)D例4已知a、b都是數(shù)，利用等式性質將下列各小題中的等式進行變形，再填空：(1)若a+b=0〃Ua=.這就是說，如果兩個數(shù)之和為0,那么這兩個數(shù).

(2)若a=-b,則a+=0.這就是說，如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)的和(3)若ab=1,則2=,這就是說，如果兩個數(shù)的積為1,則這兩個數(shù).1(4)若a=b,則=1,這就是說，如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，則這兩個數(shù)的積.1解：(1)-b,互為相反數(shù).(2)b,0(3)b,互為倒數(shù).(4)ab,1.說明：本例從等式變形角度刻畫相反數(shù)、倒數(shù)【同步達綱練習】(時間45分鐘，滿分100分).填空題：(5'X6=30')(1)在等式7m-6=3m勺兩邊同時,得到4m=6,這是根據.(2)在等式5a-7=8-9a的兩邊同時,得到14a=15,這是根據.320(3)在等式4x=-5的兩邊都或,得到x=-T.a+b=O,可得a=；由a-b=0,可得a=;由ab=1,可得a=由a=-2,b=-2,可得ab;由a=-b,可得b=,-b=.2(6)比x的一半少3的數(shù)是y的3,用等式可以表示為B.B.若7y-6=5-2y,貝U7y+6=17-2y;D.若7x=-7x,則7=-7..選擇題：(6'X5=30')(1)下列結論正確的是(A.若x+3=y-7,貝Ux+7=y-11;C.若0.25x=-4,則x=-1;(2)下列說法錯誤的是(xyA.若aa,貝Ux=y;B.若x3C.若-4x=6,則x=-2;=y3C.若-4x=6,則x=-2;D.若6=-x,貝Ux=-6.(3)已知等式ax=ay,下列變形正確的是(B.ax+1=ay+1D.3-ax=3-ayB.ax+1=ay+1D.3-ax=3-ayC.ay=-ax(4)下列說法正確的是(A.等式兩邊都加上一個數(shù)或一個整式，所得結果仍是等式；B.等式兩邊都乘以一個數(shù)，所得結果仍是等式；C.等式兩邊都除以同一個數(shù)，所以結果仍是等式；D,一個等式的左、右兩邊分別與另一個等式的左、右兩邊分別相加，所得結果仍是等式;A.6-x+1=3B.6-x-1=3C.2-x+1=3D.2-x-1=3A.6-x+1=3B.6-x-1=3C.2-x+1=3D.2-x-1=333.(1)怎樣從等式2x2-3=0,得到x2=2；(10')TOC\o"1-5"\h\zab八20—(2)怎樣從等式23,得到a=3b;(10')1(3)怎樣從等式3m-3=m得到m=-4.5;(10')125(4)怎樣從等式S=2ah,得至ija=7T.(10')【素質優(yōu)化訓練】.判斷題：3(a+b)=3a+b不是恒等式；()(2)由5a-3=2a+3變形，得到7a=6;()(3)由5x-2=x+2變形可得x=1;()(4)無論x取何數(shù)值時，等式3x=5x都不成立；()xy13y(5)由22兩邊都乘以2,可得x+y=1-3y.().選擇題：(1)下列各式中，等式共有()個.a+b+c=d;5a-3a—2a;(a-1)(a-2)=0;a-1<a-2;-a(a-b)=b-a;a2>a;a(a-1)A.2B.3C.4D.5(2)若等式(a-1)(a-2)=0成立，那么a等于().A.1B.2C.1或2D.任意有理數(shù)mx=my貝Um^=my,其中下歹！J說法中：①若mx=my貝Ux=y;②若mx=my貝Umx+my=2my;③若my=my貝mx=my貝Um^=my,其中A.1B.2C.3D.43.解答題：(1)將等式3a-2b=2a-2b變形；兩邊都加上2b,得3a=2a,兩邊同除以a,得3=2,錯在什么地方?12S,b(2)將公式S=2(a+b)h怎樣變形，才能得到a=h(其中字母都不等于0).【生活實際運用】2小時.有一次停電，將有粗細不同的兩支蠟燭，細蠟燭之長為粗蠟燭之長的2倍，細蠟燭點完需12小時.有一次停電，將這樣的兩支未使用過的蠟燭同時點燃，來電時，發(fā)現(xiàn)兩支蠟燭所剩的長度一樣，問停電的時間有多長？【同步達綱練習】431.(1)減去3m-6,等式性質1;(2)加上9a+7,等式性質1;(3)乘以3,都除以4;(4)-b,b,b

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