2018年拉格朗日函數(shù)

/3拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)求極值求函數(shù)f(x,y,z)在條件申(x,y,z)=O下的極值方法(步驟)是：1?做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+g(x,y,z),入稱拉格朗日乘數(shù)2?求L分別對x,y,z,入求偏導(dǎo)，得方程組，求出駐點P(x,y,z)如果這個實際問題的最大或最小值存在，一般說來駐點唯一，于是最值可求.條件極值問題也可以化為無條件極值求解,但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜,代換和運算很繁,而相對來說，“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換,運算簡單一點?這就是優(yōu)勢.條件申(x,y,z)—定是個等式，不妨設(shè)為申(x,y,z)二m則再建一個函數(shù)g(x,y,z)二申(x,y,z)-mg(x,y,z)=O,以g(x,y,z)代替申(x,y,z)在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計一個容積為V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高,使水箱的表面積最小.設(shè)水箱的長、寬、高分別為x,y,z,則水箱容積V二xyz焊制水箱用去的鋼板面積為S=2xz+2yz+xy這實際上是求函數(shù)S在V限制下的最小值問題。這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題，其一般形式是在條件微觀中的應(yīng)用均衡原則微觀經(jīng)濟學(xué)研究消費者行為時，所要闡述的核心問題是消費者均衡的原則。所謂消費者均衡指的是一個有理性的消費者所采取的均衡購買行為。進一步說，它是指保證消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。但人的需要或欲望是無限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟學(xué)所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價格和消費者的貨幣收入水平。首先，我們先引入一些名詞解釋:總效用(TU):消費者在一定時間內(nèi)消費一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。邊際效用(MU):消費者在所有其它商品的消費水平保持不變時，增加消費一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。商品數(shù)量(Q),商品價格(P),收入(I)邊際效用的公式表達為:MU二dTU/dQ那么如何才能實現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢？就是當(dāng)消費者把全部收入用于購買各種商品時，他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。假設(shè)當(dāng)消費者選擇兩種商品x,y時，消費者均衡原則的公式表達為：MUx/Px=MUy/Py("/"為分數(shù)線)制約條件的公式表達式為:I二Px?Qx+PyQy。那么這一結(jié)論是如何推導(dǎo)出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。上面說到：在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。具體方法如下:設(shè)給定二元函數(shù)z=f(x,y)和附加條件申(x,y)=O,為尋找z=f(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=/(x,y)+A^(x/y),其中入為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即L'x(x,y)二fx(x,y)+入0x(x,y)=O,L'y(x,y)二fy(x,y)+g'y(x,y)=O,申(x,y)=O套用到微觀經(jīng)濟學(xué)里面：設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+A(I-Px?Qx-Py?Qy),入為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。即dL/dQx二dU/dQx-入Px=O⑴dU/dQx二入Px(邊際效用的公式表達為:MU二dTU/dQ)dL/dQy二dU/dQy-入Py=O⑵dU/dQy二入PyI-Px?Qx-Py?Qy=O⑶將方程⑴除以方程⑵，得：MUx:MUy=Px:Py所以，消費者要實現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。以上是關(guān)于X和