曲線與曲面積分習題參考答案

66.66.十曲線積分與曲面積分習題(一)對弧長的曲線積分1.計算〔(1.計算〔(X2 y2)ds，其中L為圓周Xacost,yasint(0t2).2 2[(x2 y2)ds (a2cos21a2sin2t)Ja2sin2ta2cos21dt a3dt2a3.002.計算曾ds，其中L為由直線yX及拋物線yX2所圍成的區(qū)域的整個邊界.Dxds x72dx xJ14x2dx丄(5j56寸21).3.y23.y2 4x上從O(0,0)到A(1,2)的一段弧.計算Lyds,其中L是拋物線4.5.Lyds=:対14.5.Lyds=:対1e)2dy 0^4y2dy12S2 2 4 '-0J4y2d(4y2)3(2胡21).4 3L(Xy)ds，其中L為從點O(0,0)到A(1,1)的直線段.1 2Ly)ds=0(xx)J11-v2.0 3Lxyzds,其中L是曲線Xt,y2J2t3,z^t3 2計算L(X計算Lxyzds=t2V2t3■1^'12 (V2t)2t2dt.2212r

t—P2t3(103 '(0t1)的一段.t)dt16^2143計算？/2y2■計算？/2y2■Lds，其中L為圓周X2a2,直線yX及X軸在第一象限所圍成的扇形的整個邊界7777解？&卞「ds=. +L1L2解？&卞「ds=. +L1L2+L3害aerr〒dx04e0I 2 2y(acost)(asint)dte\/1 012dx=ea(2-a)147.設在xoy面內有一分布著質量的曲線 L,在點x,y處它的線密度為x,y,試用對弧長的曲線積分分別表達(1)這條曲線弧對x軸,y軸的轉動慣量Ix，Iy；這條曲線弧的質心坐標x,y.lxL這條曲線弧的質心坐標x,y.lxLy2dSlyLx2dSLy(x,y)dSL(x,y)dSLy(x,y)dSL(x,y)dS1.計算Lydxxdy,其中L為圓周xRcost,yRsint上對應t從0到三Lx(x,y)dSL(x,y)dS(二)對坐標的曲線積分的一段弧.2.Lxdyydx，其中L分別為ydxxdy2.Lxdyydx，其中L分別為01I(2x2x)dx2.0沿拋物線y2x2從0(0,0)到B(1,2)的一段;沿從0(0,0)到B(1,2)的直線段.；沿封閉曲線OABO沿封閉曲線OABO，其中A(1,0),B(1,2).11.計算[xy2dxx2ydy，其中 L為圓周x2y2 a2，取逆時針方向.11.計算[xy2dxx2ydy，其中 L為圓周x2y2 a2，取逆時針方向.(3) xdyydx=L，， OA AB BO0〔(3) xdyydx=L，， OA AB BO0〔(2x2x)dx0.2=0 0dy3.計算Lxdxzdy(xy1)dz，其中是從點(1,1,1)到點(2,3,4)的一段直線.解直線方程為2x1"T"變到1.寧，其參數(shù)方程為xt1,y2t1,z3t1，t從010[(t1)2(2t1)3(3t1)]dt 13.4.計算[Xydx(xy)dyx2dz，其中L是螺旋線acost,yasint,zbt5.設0到t上的一段4.計算[Xydx(xy)dyx2dz，其中L是螺旋線acost,yasint,zbt5.設0到t上的一段.[acost?asint(asint)(acostasint)acost0a2bcos2t]dt尹a2b).為曲線xt,yt2,zt3上相應于t從0變到1的曲線弧.把對坐標的曲線積分 PdxQdyRdz化成對弧長的曲線積分.解由于(空理g) (1,2t,3t2) (1,2x,3y)，故dtdtdtcos1&4x29y22x 3ycosr ,cosIJ14x29^ J14x29y"PdxQdyRdz(PcosQcosRcos)dSP2xQ訐(三)格林公式及應用22[xydxxydy= (2xy2xy)dxdy0D2.計算L(x2y)dx(xsin2y)dy，其中L是在圓周yJ2xx2上由點3.4.(0,0)到點(1,1)的一段弧.Px2y,Q(xsin2y)I1 2 .2 . 1.7IxxxsinXdx-Sin2—0 4 62計算(1yex)dx(xex)dy，其中L為橢圓篤L a點A(a,0)到B(a,0)的弧段.P1yex,QxexI0LL1 L1adxdydxD aab2a計算L(2xy3y2cosx)dx2xy2上由點(0,0)到P2xy3y2cosx，(1i，12ysinx3x2y2)dy,其的一段弧.2ysinX3x2y22爲1的上半周由b中L為在拋物線I0LL1 L1 1_25.計算.ydxxdyL2(x2y2)其中L為圓周(X1)2y22，L的方向為逆時針方向.解P解P2(八2)，Q———當x22(x2 y2)'0時，X0 3y0 3x2(x2 y2) yL所圍區(qū)域為D，由于(0,0)D，故不能直接用格林公式.選適當小的r0,作位于D內的小圓周l:x2y2r2.記L與I所圍區(qū)域為

Di，在Di上應用格林公式，得ydxxdyydxxdy—c口 2 廠—口 2 —0L2(x y) '2(x2y2)其中l(wèi)取逆時針方向.所以ydxxdy"2(xydxxdy"2(x2y2)°L2(x2y2)2.222rsinrcos2r26.計算星形線xacos6.計算星形線xacos3t,yasin3t,(0t2)所圍成區(qū)域的面積. 2 4 2 2 4 2A-oxdyydx=(3acostsint3asintcost)dtL 07.y4)dx(x24xy37.y4)dx(x24xy3)dy在整個xoy面內與路徑(1,0)無關，并計算積分值.(1)P2xyy4，Qx24xy3P2x4y3yQ在整個xoy面上成立x故曲線積分(：：(2xyy4)dx(x24xy3)dy在整個xoy面內與路徑無故曲線積分L28.驗證2xydxx2dy在整個xoy平面內是某一函數(shù)u(x,y)的全微分，并求這樣的一個u(x,y).(1)驗證略;y2J 2xdyxyAB0AB9.試用曲線積分求(2xsiny)dx(xcosy)dy的原函數(shù).解解P 2xsiny,Qxcosy,解解P 2xsiny,Qxcosy,cosyQ在整個xoy面上成立x所以(x,y)所以u(x,y)(2xsiny)dx(xcosy)dy(0,0)x2xdxx2xdx0xcosydyx(血1)(x2(血1)(x2Dxy0對面積的曲面積分1.計算c(x21.計算c(x2y2)dS，其中是錐面zJx2y2及平面z1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面解 o(x2y2)dS=(x2Dxy川dxdy(x2y2)dxdyDxyy2)dxdy=“22.計算Q(x32y其中z1在第一卦限的部2(12(1(xDxyDxy6/921527、(9x一x)(442,0y33、7x)54/61.醞230(Dxy: 0 x 2Y61 dx303|x3.計算z2dS，其中為球面x2y2z2z2dS=2(a2x2Dxyy2\/1Z：zydxdy2aJa2Dxyx2y2dxdy4.計算（X2a _ ~2 , 44=2adJa d-a0 0 3yz)dS,是球面x2y2z2a,z0.有問題I(XDxy；222yVaxy)Ja2 x2y2dxdy5.1.(x y)Ja2Dxy2a=0d(a200求拋物面殼zMzdS=2)d如2Dxy厶2(3/31)計算15dxdy(a2Dxyx2y2)dxdyy2)(o（五）x2y2zdxdy，其中2zdxdy= x2y2jRDxyz1）的質量，此殼的面密度為 z., 12)J1x2y2dxdy=-d20對坐標的曲面積分是球面x222xydxdy2r71054 2 ?2COSsin計算oxzdxdyxydydzyzdzdxR2的下半部分的下Jr2 2d是平面x0,y 0,z 0,x yz x0,y 0,z 0,x yz 1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的2D2Dyz Dyzx0,y 0,z 0,x yz x0,y 0,z 0,x yz 1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的2D2Dyz Dyz3.4.外側.xzdxdy計算數(shù)，I1I3xydydzyzdzdx3 x(1Dxyxy)dxdy1 1x2=3dx(xx00xy)dy=-8of(x)dydzg(y)dxdz為平行六面體:0of(x)dydzGg(y)dxdz[h(c)h(O)]ab所以II1I2=[f(a)計算 x2dydz上側.h(z)dxdy，其中xa,Oyb,Ozf,g,h為已知連續(xù)函c表面的外側.f(O)dydzDyzg(0)dxdzDyzI3f(O)]bcy2dzdx解 x2dydz x2dydz1(a2[g(b)f(a)dydz=[f(a)Dyzg(b)dxdz=[g(b)Dyzf(0)]bcg(O)]acg(O)]ac[h(c)h(O)]ab.z2dxdy，其中為半球面zJa2x2y2的x2dydzy2z2)dydz(a2y2z2)dydz0(x(x(x(xaa2 2o(a2 2)d同理：y2dzdx0z2dxdy (a2x2y2)dxdyDxy故x2dydzy2dzdxz2dxdy=4—a25.計算xdydzydzdxzdxdy,其中是柱面x2y21被z0及z3所截得的在第一卦限內的部分的前側解zdxdy0xdydz』y2xdydz』y2dydzDyzody。/y2dzo^COS2d|o2(1cos2)d同理：ydzdx3故xdydzydzdxzdxdy=3-6.設為平面6.設為平面xza在柱面a2內那一部分的上側，下面兩個積分的解法是否正確？如果不對，給出正確解法(1)(xz)dSadSa(的面積)72a3；(xz)dxdyadxdya的面積)72a3.(1)正確;(2)錯誤.正確解法是:a3.z)dxdyadxdya3.Dxy(六)高斯公式利用高斯公式計算:1.計算ox3dydzy3dzdxz3dxdy，其中為球面xz2a2的內23 (x2y2z2)dv 30d0dR4rsindr0125R52.計算xdydzydzdxzdxdy，其中是曲面y2在第一卦限z1部分的下側.補充曲面:1:z1,(x21,x0,y0)，取上側;2：y0,(0A21,xz1)，取左側;3:x0,(01，y2z1),取后側.3構成閉曲面，所圍的空間閉區(qū)域記為 ，由高斯公式，xdydzydzdxzdxdy=oxdydzydzdxzdxdy3.3dvdxdyDxy0dzdx0Dzx=302d計算3y(xz)dydzx2dzdx(y2取外側，其中{(x,y,z)|0xxz)dxdy,a,0yI(yx)dv=計算O(x2cosdz— .4為正方體a,0za}.aaa4dxdy(xy)dza000y2cos z2cos)dS,其中的表面并y2z2及h(h0)所圍成的閉曲面的外側，cos,cos,cos是此曲面的外法線的方向余弦.0000(Xyz)dxdydz2(xy)dxdydz2zdxdydzdxdyDxyhFV2zdz(h2Dxyx2y2)dxdyh4.斯托克斯公式1.計算1.計算[(2yz)dx(Xz)dy(yz)dz,其中L為平面xyz1與各Q-Q-P)dxdyxydzdxdxdyDzx Dxy坐標面的交線，取逆時針方向為正向解由斯托克斯公式，得[(2$z)dx(Xz)dy(yz)dz(-R—)dydz(上-R)dzdx(yz zx2dydzdzdxdxdy= 2dydzDyz=1.2.計算[(zy)dx(xz)dy(yx)dz，其中L是從(a,0,0)經(jīng)(0,a,0)和(OQa)回到(a,0,0)的三角形.解由斯托克斯公式，得[(zy)dx(xz)dy(yx)dz(衛(wèi)厶dxdyxy(遲2)dydz(衛(wèi)厶dxdyxy22dydz2dxdy2dydz2dxdy4dxdy2a.Dyz Dxy Dxy(八)曲線積分與曲面積分自測題1.計算曲線積分PePexsiny2y,Qexcosyy2(1)iJx2y2ds，其中L為圓周x2y2ax；解L:racos(-2dsJr解L:racos(-2dsJr2r2dJ(acos)22(asin)daJx2yracos[Jx2y2ds=acosgad2a2.Lzds，其中為曲線Lzds，其中為曲線xtcost,ytsint,zt(0tto)；ds賦~y~z2J2t2dttozdstozds=tj2t2dt0(2t2)% 242L(2ay)dxxdy,其中LL(2ay)dxxdy,其應t從0到2的一段弧;L(2ay)dxxdy={[(2aa(1cost))]ga(1cost)a(tsint)gasint}dt02a2tsintdt2a2.0(y2z2)dx2yzdyx2dz，其中是曲線xt,yt2,zt3上由tl0到t21的一段弧;t4)dt35(y2z2)dx2yzdyx2t4)dt35[(t4t6)a2t2gt3g2tt2gt2]dt(3t6中L為上半圓周i^(exsiny2y)dx(excosy2)dy中L為上半圓周(xa)2y2a2,y0沿逆時針方向;補充積分路徑L1:y0,x從0到2a.Jexsiny2y)dx(excosy2)dyL?1Li(衛(wèi)上)dxdyDxy2a(exsin002g))dx2.計算曲面積分(1)dS~2 22xyz，其中是介于平面z0及zH之間的圓柱面x2R2；dSj1Xy2ydydzR7RrydzdS=~~2 22=xyz丿1=2側;Dyz( Jr2 y2)2右dydzy ￡Dyz(Jr2y2)2arctan旦.R(y2z)dydz(z==dydzy_1D R2"Ayz-2^=^dydzzJr2y22x)dzdx(x2y)dxdy,其中為錐面y2(0zh）的外側;—)dxdydz (xz Dxy2y)dxdy0才4匸h4.xdydzydzdxzdxdy,其中為半球面zJrX2—y2的上(上x)dxdydz0dxdyz DxydvR3.ydzdxzdxdy(5)xdydz廠 3J(X2y2z2)M4(z0)的上側;16 9(利用高斯